Теорема Колмогорова–Арнольда–Мозера

Результат в динамических системах

Теорема Колмогорова–Арнольда–Мозера ( КАМ ) является результатом в динамических системах о сохранении квазипериодических движений при малых возмущениях. Теорема частично решает проблему малых делителей, которая возникает в теории возмущений классической механики .

Проблема заключается в том, приводит ли малое возмущение консервативной динамической системы к устойчивой квазипериодической орбите . Первоначальный прорыв в решении этой проблемы был сделан Андреем Колмогоровым в 1954 году. ^[1] Это было строго доказано и расширено Юргеном Мозером в 1962 году ^[2] (для гладких твист-отображений) и Владимиром Арнольдом в 1963 году ^[3] (для аналитических гамильтоновых систем ), а общий результат известен как теорема КАМ.

Арнольд изначально думал, что эта теорема может применяться к движениям Солнечной системы или другим примерам задачи n тел , но оказалось, что она работает только для задачи трех тел из-за вырождения в его формулировке задачи для большего числа тел. Позже Габриэлла Пинзари показала, как устранить это вырождение, разработав инвариантную относительно вращения версию теоремы. ^[4]

Заявление

Интегрируемые гамильтоновы системы

Теорема КАМ обычно формулируется в терминах траекторий в фазовом пространстве интегрируемой гамильтоновой системы . Движение интегрируемой системы ограничено инвариантным тором ( поверхностью в форме бублика ). Различные начальные условия интегрируемой гамильтоновой системы будут описывать различные инвариантные торы в фазовом пространстве. Построение координат интегрируемой системы показало бы, что они являются квазипериодическими.

Возмущения

Теорема КАМ утверждает, что если система подвергается слабому нелинейному возмущению, некоторые из инвариантных торов деформируются и выживают, т. е. существует отображение исходного многообразия в деформированное, которое непрерывно в возмущении. Наоборот, другие инвариантные торы разрушаются: даже произвольно малые возмущения заставляют многообразие больше не быть инвариантным, и такого отображения в близлежащие многообразия не существует. Выжившие торы удовлетворяют условию нерезонансности, т. е. они имеют «достаточно иррациональные» частоты. Это означает, что движение на деформированном торе продолжает быть квазипериодическим , с измененными независимыми периодами (как следствие условия невырожденности). Теорема КАМ количественно определяет уровень возмущения, который может быть применен, чтобы это было верно.

Те торы КАМ, которые разрушаются возмущением, становятся инвариантными множествами Кантора , названными Кантори Яном С. Персивалем в 1979 году. ^[5]

Условия нерезонансности и невырожденности теоремы КАМ становятся все более трудновыполнимыми для систем с большим числом степеней свободы. По мере увеличения числа измерений системы объем, занимаемый торами, уменьшается.

По мере увеличения возмущения и распада гладких кривых мы переходим от теории КАМ к теории Обри–Мезера, которая требует менее строгих гипотез и работает с множествами, подобными канторовским.

Существование теоремы КАМ для возмущений квантовых многочастичных интегрируемых систем все еще остается открытым вопросом, хотя считается, что произвольно малые возмущения разрушат интегрируемость в пределе бесконечных размеров.

Последствия

Важным следствием теоремы КАМ является то, что для большого набора начальных условий движение остается вечно квазипериодическим. ^{[ какое? ]}

теория КАМ

Методы, введенные Колмогоровым, Арнольдом и Мозером, развились в большой корпус результатов, связанных с квазипериодическими движениями, теперь известный как теория КАМ . В частности, она была распространена на негамильтоновы системы (начиная с Мозера), на непертурбативные ситуации (как в работе Майкла Германа ) и на системы с быстрыми и медленными частотами (как в работе Михаила Б. Севрюка).

КАМ тор

Многообразие , инвариантное относительно действия потока , называется инвариантным -тором, если существует диффеоморфизм в стандартный -тор такой, что результирующее движение на является равномерным линейным, но не статическим, т.е.，где - ненулевой постоянный вектор, называемый вектором частот . ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{d}}$ ${\displaystyle \phi ^{t}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\varphi }}:{\mathcal {T}}^{d}\rightarrow \mathbb {T} ^{d}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{d}:=\underbrace {\mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1}\times \cdots \times \mathbb {S} ^{1}} _{d}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{d}}$ ${\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\varphi }}/\mathrm {d} t={\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\in \mathbb {R} ^{d}}$

Если вектор частот : ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

• рационально независимы ( иначе говоря, несоизмеримы, то есть для всех ) ${\displaystyle {\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {\omega }}\neq 0}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {k}}\in \mathbb {Z} ^{d}\backslash \left\{{\boldsymbol {0}}\right\}}$
• и «плохо» аппроксимируется рациональными числами, как правило, в диофантовом смысле: , ${\displaystyle \exists ~\gamma ,\tau >0{\text{ such that }}|{\boldsymbol {\omega }}\cdot {\boldsymbol {k}}|\geq {\frac {\gamma }{\|{\boldsymbol {k}}\|^{\tau }}},\forall ~{\boldsymbol {k}}\in \mathbb {Z} ^{d}\backslash \left\{{\boldsymbol {0}}\right\}}$

тогда инвариантный -тор ( ) называется тором КАМ . Случай обычно исключается в классической теории КАМ, поскольку он не включает в себя малые делители. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{d}}$ ${\displaystyle d\geq 2}$ ${\displaystyle d=1}$

Смотрите также

• Устойчивость Солнечной системы
• диффузия Арнольда
• Эргодическая теория
• Бабочка Хофштадтера
• Оценки Нехорошева

Примечания

1. А. Н. Колмогоров, «О сохранении условнопериодических движений при малом возмущении гамильтониана», Докл. Акад. Наук ССР 98 (1954).
2. Й. Мозер, «Об инвариантных кривых сохраняющих площадь отображений кольца», Nachr. Akad. Wiss. Göttingen Math.-Phys. Kl. II 1962 (1962), 1–20.
3. В. И. Арнольд, "Доказательство теоремы А. Н. Колмогорова о сохранении условно-периодических движений при малом возмущении гамильтониана", Успехи мат. Наук 18 (1963) (англ. пер.: Russ. Math. Surv. 18 , 9--36, doi:10.1070/RM1963v018n05ABEH004130).
4. Хесин, Борис (24 октября 2011 г.), Коллиандер, Джеймс (ред.), «Приложение к семинару памяти Арнольда: Хесин о выступлении Пынзари», блог Джеймса Коллиандера , архивировано из оригинала 29 марта 2017 г. , извлечено 29 марта 2017 г.
5. Percival, IC (1979-03-01). "Вариационный принцип для инвариантных торов фиксированной частоты". Journal of Physics A: Mathematical and General . 12 (3): L57–L60. Bibcode : 1979JPhA...12L..57P. doi : 10.1088/0305-4470/12/3/001.

Ссылки

• Арнольд, Вайнштейн, Фогтманн. Математические методы классической механики , 2-е изд., Приложение 8: Теория возмущений условно-периодического движения и теорема Колмогорова. Springer 1997.
• Севрюк, МБ Перевод статьи В.И. Арнольда «От суперпозиций к теории КАМ» (Владимир Игоревич Арнольд. Избранное — 60, М.: ФАЗИС, 1997, с. 727–740). Regul. Chaot. Dyn. 19, 734–744 (2014) . https://doi.org/10.1134/S1560354714060100
• Wayne, C. Eugene (январь 2008 г.). "Введение в теорию КАМ" (PDF) . Препринт : 29. Получено 20 июня 2012 г.
• Юрген Пешель (2001). "Лекция о классической КАМ-теореме" (PDF) . Труды Симпозиумов по чистой математике . 69 : 707–732. CiteSeerX  10.1.1.248.8987 . doi :10.1090/pspum/069/1858551. ISBN 9780821826829. Архивировано из оригинала (PDF) 2016-03-03 . Получено 2006-06-06 .
• Рафаэль де ла Льяв (2001) Учебник по теории КАМ .
• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Колмогорова-Арнольда-Мозера». MathWorld .
• Теория КАМ: наследие статьи Колмогорова 1954 года
• Теория Колмогорова-Арнольда-Мозера из Scholarpedia
• H Scott Dumas. История KAM – Дружественное введение в содержание, историю и значение классической теории Колмогорова–Арнольда–Мозера , 2014, World Scientific Publishing, ISBN 978-981-4556-58-3 . Глава 1: Введение