В геометрии теорема о четырёх вершинах утверждает, что кривизна вдоль простой, замкнутой , гладкой плоской кривой имеет по крайней мере четыре локальных экстремума (в частности, по крайней мере два локальных максимума и по крайней мере два локальных минимума ). Название теоремы происходит от соглашения называть экстремальную точку функции кривизны вершиной . Эта теорема имеет много обобщений, включая версию для пространственных кривых , где вершина определяется как точка исчезающего кручения .
Кривизна в любой точке гладкой кривой на плоскости может быть определена как обратная величина радиуса соприкасающейся окружности в этой точке или как норма второй производной параметрического представления кривой, параметризованного согласованно с длиной вдоль кривой . [1] Для того чтобы вершины кривой были хорошо определены, сама кривизна должна непрерывно меняться , [2] как это происходит для кривых гладкости . [3] Тогда вершина является локальным максимумом или локальным минимумом кривизны. Если кривизна постоянна по дуге кривой, все точки этой дуги считаются вершинами. Теорема о четырех вершинах утверждает, что гладкая замкнутая кривая всегда имеет по крайней мере четыре вершины.
Эллипс имеет ровно четыре вершины: два локальных максимума кривизны, где он пересекается большой осью эллипса, и два локальных минимума кривизны, где он пересекается малой осью. В окружности каждая точка является как локальным максимумом, так и локальным минимумом кривизны, поэтому существует бесконечно много вершин. [ 3] Если гладкая замкнутая кривая пересекает окружность раз, то она имеет по крайней мере вершины, поэтому кривая с ровно четырьмя вершинами, такая как эллипс, может пересечь любую окружность не более четырех раз. [4]
Каждая кривая постоянной ширины имеет по крайней мере шесть вершин. Хотя многие кривые постоянной ширины, такие как треугольник Рело , не являются гладкими или имеют дуги окружности на своих границах, существуют гладкие кривые постоянной ширины, которые имеют ровно шесть вершин. [5] [6]
Теорема о четырех вершинах была впервые доказана для выпуклых кривых (т. е. кривых со строго положительной кривизной) в 1909 году Шьямадасом Мукхопадхьяей . [7] Его доказательство использует тот факт, что точка на кривой является экстремумом функции кривизны тогда и только тогда, когда соприкасающаяся окружность в этой точке имеет контакт четвертого порядка с кривой; в общем случае соприкасающаяся окружность имеет только контакт третьего порядка с кривой. Теорема о четырех вершинах была доказана для более общих кривых Адольфом Кнезером в 1912 году с использованием проективного аргумента. [8]
В течение многих лет доказательство теоремы о четырех вершинах оставалось сложным, но простое и концептуальное доказательство было дано Оссерманом (1985), основанное на идее минимальной охватывающей окружности . [9] Это окружность, которая содержит заданную кривую и имеет наименьший возможный радиус. Если кривая включает дугу окружности, она имеет бесконечно много вершин. В противном случае кривая и окружность должны касаться по крайней мере в двух точках, потому что окружность, которая касается кривой в меньшем количестве точек, может быть уменьшена в размере, все еще охватывая ее. При каждом касании кривизна кривой больше, чем у окружности, иначе кривая продолжила бы касание вне окружности, а не внутри. Однако между каждой парой касаний кривизна должна уменьшаться до значения, меньшего, чем у окружности, например, в точке, полученной путем переноса окружности до тех пор, пока она больше не будет содержать никакой части кривой между двумя точками касания и с учетом последней точки контакта между переведенной окружностью и кривой. Следовательно, существует локальный минимум кривизны между каждой парой касаний, дающий две из четырех вершин. Должен быть локальный максимум кривизны между каждой парой локальных минимумов (не обязательно в точках касания), дающий две другие вершины. [9] [3]
Обратное утверждение к теореме о четырех вершинах утверждает, что любая непрерывная действительная функция окружности, имеющая по крайней мере два локальных максимума и два локальных минимума, является функцией кривизны простой замкнутой плоской кривой. Обратное утверждение было доказано для строго положительных функций в 1971 году Германом Глюком как частный случай общей теоремы о предварительном задании кривизны n -сфер . [10] Полное обращение к теореме о четырех вершинах было доказано Бьёрном Дальбергом незадолго до его смерти в январе 1998 года и опубликовано посмертно. [11] Доказательство Дальберга использует аргумент числа витков , который в некотором роде напоминает стандартное топологическое доказательство Основной теоремы алгебры . [12]
Одно из следствий теоремы заключается в том, что однородный плоский диск, катящийся по горизонтальной поверхности под действием силы тяжести, имеет по крайней мере 4 точки равновесия. Дискретная версия этого заключается в том, что не может быть моностатического многоугольника . Однако в трех измерениях существуют моностатические многогранники , а также существует выпуклый однородный объект с ровно 2 точками равновесия (одна устойчивая, а другая неустойчивая), Гёмбёк .
Существует несколько дискретных версий теоремы о четырех вершинах, как для выпуклых, так и для невыпуклых многоугольников. [13] Вот некоторые из них:
Некоторые из этих вариаций сильнее других, и все они подразумевают (обычную) теорему о четырех вершинах с помощью предельного аргумента. [ необходима ссылка ]
Стереографическая проекция с однажды проколотой сферы на плоскость сохраняет критические точки геодезической кривизны . Таким образом, простые замкнутые сферические кривые имеют четыре вершины. Более того, на сфере вершины кривой соответствуют точкам, где ее кручение обращается в нуль. Таким образом, для пространственных кривых вершина определяется как точка исчезающего кручения. Каждая простая замкнутая пространственная кривая, которая лежит на границе выпуклого тела, имеет четыре вершины. [14] Эту теорему можно обобщить на все кривые, которые ограничивают локально выпуклый диск. [15]
