Теорема Тейдемана

Существует не более конечного числа последовательных степеней

В теории чисел теорема Тиждемана утверждает, что существует не более конечного числа последовательных степеней. Другими словами, множество решений в целых числах x , y , n , m показательного диофантова уравнения

${\displaystyle y^{m}=x^{n}+1,}$

для показателей n и m больше единицы, конечно. ^{[1] [2]}

История

Теорема была доказана голландским теоретиком чисел Робертом Тейдеманом в 1976 году, ^[3] используя метод Бейкера в теории трансцендентных чисел, чтобы дать эффективную верхнюю границу для x , y , m , n . Мишель Ланжевен вычислил значение exp exp exp exp 730 для этой границы. ^{[1] [4] [5]}

Теорема Тиждемана дала мощный импульс к окончательному доказательству гипотезы Каталана Предой Михайлеску . ^[6] Теорема Михайлеску утверждает, что существует только один элемент множества последовательных пар степеней, а именно 9=8+1. ^[7]

Обобщенная задача Тиждемана

То, что мощности являются последовательными, имеет существенное значение для доказательства Тиждемана; если мы заменим разность 1 любой другой разностью k и спросим о числе решений

${\displaystyle y^{m}=x^{n}+k}$

при n и m больше единицы мы имеем нерешенную проблему, ^[8] называемую обобщенной проблемой Тиждемана. Предполагается, что этот набор также будет конечным. Это вытекает из еще более сильной гипотезы Суббайи Шивасанкаранараяны Пиллаи (1931), см. гипотезу Каталана , утверждающую, что уравнение имеет только конечное число решений. Истинность гипотезы Пиллаи, в свою очередь, вытекает из истинности гипотезы abc . ^[9] ${\displaystyle Ay^{m}=Bx^{n}+k}$

Ссылки

1. Narkiewicz, Wladyslaw (2011), Теория рациональных чисел в 20 веке: от PNT до FLT , Springer Monographs in Mathematics, Springer-Verlag , стр. 352, ISBN 978-0-857-29531-6
2. Шмидт, Вольфганг М. (1996), Диофантовы приближения и диофантовы уравнения , Lecture Notes in Mathematics, т. 1467 (2-е изд.), Springer-Verlag , стр. 207, ISBN 978-3-540-54058-8, ЗБЛ  0754.11020
3. Тейдеман, Роберт (1976), «Об уравнении каталонского языка», Acta Arithmetica , 29 (2): 197–209, doi : 10.4064/aa-29-2-197-209 , Zbl  0286.10013
4. Рибенбойм, Пауло (1979), 13 лекций по Великой теореме Ферма , Springer-Verlag , стр. 236, ISBN 978-0-387-90432-0, ЗБЛ  0456.10006
5. Ланжевен, Мишель (1977), «Quelques application de nouveaux résultats de Van der Poorten», Séminaire Delange-Pisot-Poitou, 17 лет (1975/76), Théorie des Nombres , 2 (G12), MR  0498426
6. Metsänkylä, Tauno (2004), «Гипотеза Каталана: решена еще одна старая диофантова проблема» (PDF) , Бюллетень Американского математического общества , 41 (1): 43–57, doi : 10.1090/S0273-0979-03-00993-5
7. Михайлеску, Преда (2004), «Первичные циклотомные единицы и доказательство гипотезы Каталана», Journal für die reine und angewandte Mathematik , 2004 (572): 167–195, doi : 10.1515/crll.2004.048, MR  2076124
8. Shorey, Tarlok N.; Tijdeman, Robert (1986). Экспоненциальные диофантовы уравнения . Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 87. Cambridge University Press . p. 202. ISBN 978-0-521-26826-4. MR  0891406. Zbl  0606.10011.
9. Наркевич (2011), стр. 253–254.