Условие Хокинса-Саймона

Результат математической экономики о существовании неотрицательного равновесного вектора выпуска.

Условие Хокинса -Саймона относится к результату математической экономики , приписываемому Дэвиду Хокинсу и Герберту А. Саймону ^[1] , который гарантирует существование неотрицательного вектора выпуска, который решает соотношение равновесия в модели ввода-вывода , где спрос равно предложению . Точнее, оно формулирует условие, при котором система ввода-вывода ${\displaystyle [\mathbf {I} -\mathbf {A} ]}$

${\displaystyle [\mathbf {I} -\mathbf {A} ]\cdot \mathbf {x} =\mathbf {d} }$

имеет решение для любого . Вот единичная матрица , которая называется матрицей ввода-вывода или матрицей Леонтьева в честь Василия Леонтьева , который эмпирически оценил ее в 1940-х годах. ^[2] Вместе они описывают систему, в которой ${\displaystyle \mathbf {\hat {x}} \geq 0}$ ${\displaystyle \mathbf {d} \geq 0}$ ${\displaystyle \mathbf {I} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}+d_{i}=x_{i}\quad i=1,2,\ldots ,n}$

где - количество i- го товара, использованное для производства одной единицы j -го товара, - количество произведенного j -го товара, - объем конечного спроса на товар i . Переставленное и записанное в векторной форме, это дает первое уравнение. ${\displaystyle a_{ij}}$ ${\displaystyle x_{j}}$ ${\displaystyle d_{i}}$

Определите , где находится матрица с . ^[3] Тогда теорема Хокинса–Саймона утверждает, что следующие два условия эквивалентны ${\displaystyle [\mathbf {I} -\mathbf {A} ]=\mathbf {B} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} =\left[b_{ij}\right]}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle b_{ij}\leq 0,i\neq j}$

(i) Существует такое, что . ${\displaystyle \mathbf {x} \geq 0}$ ${\displaystyle \mathbf {B} \cdot \mathbf {x} >0}$

(ii) Все последовательные ведущие главные миноры положительны , то есть ${\displaystyle \mathbf {B} }$

${\displaystyle b_{11}>0,{\begin{vmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{vmatrix}}>0,\ldots ,{\begin{vmatrix}b_{11}&b_{12}&\dots &b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&\dots &b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{n1}&b_{n2}&\dots &b_{nn}\end{vmatrix}}>0}$

Доказательство см. Моришима (1964), ^[4] Никайдо (1968), ^[3] или Мурата (1977). ^[5] Условие (ii) известно как условие Хокинса–Саймона . Эта теорема была независимо открыта Давидом Котелянским ^{[6] , а} Феликс Гантмахер назвал ее леммой Котелянского . ^[7]

Смотрите также

• Диагонально доминирующая матрица
• Теорема Перрона – Фробениуса
• критерий Сильвестра

Рекомендации

1. Хокинс, Дэвид; Саймон, Герберт А. (1949). «Некоторые условия макроэкономической стабильности». Эконометрика . 17 (3/4): 245–248. JSTOR  1905526.
2. Леонтьев, Василий (1986). Экономика «затраты-выпуск» (2-е изд.). Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-503525-9.
3. Никайдо, Хукукане (1968). Выпуклые структуры и экономическая теория. Академическая пресса. стр. 90–92.
4. Моришима, Мичио (1964). Равновесие, стабильность и рост: многосекторальный анализ. Лондон: Издательство Оксфордского университета. стр. 15–17.
5. Мурата, Ясуо (1977). Математика для стабильности и оптимизации экономических систем. Нью-Йорк: Академическая пресса. стр. 52–53.
6. Котелянский, Д.М. (1952). «О некоторых свойствах матриц с переменными элементами» [О некоторых свойствах матриц с положительными элементами] (PDF) . Мат. Сб. НС 31 (3): 497–506.
7. Гантмахер, Феликс (1959). Теория матриц. Том. 2. Нью-Йорк: Челси. стр. 71–73.

дальнейшее чтение

• Маккензи, Лайонел (1960). «Матрицы с доминирующими диагоналями и экономическая теория». В «Стреле», Кеннет Дж .; Карлин, Сэмюэл ; Суппес, Патрик (ред.). Математические методы в социальных науках . Издательство Стэнфордского университета. стр. 47–62. ОСЛК  25792438.
• Такаяма, Акира (1985). «Теоремы Фробениуса, доминантные диагональные матрицы и приложения». Математическая экономика (Второе изд.). Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. стр. 359–409.