Теорема вириала

Теорема статистической механики

В статистической механике теорема вириала дает общее уравнение, которое связывает среднее по времени значение полной кинетической энергии устойчивой системы дискретных частиц, связанной консервативной силой (где проделанная работа не зависит от пути), с усреднением полной потенциальной энергии системы. Математически теорема гласит , что где T — полная кинетическая энергия N частиц, F _k представляет силу, действующую на k -ю частицу, которая находится в позиции r _k , а угловые скобки представляют среднее по времени значение заключенной в ней величины. Слово вириал для правой части уравнения происходит от vis , латинского слова «сила» или «энергия», и получило свое техническое определение от Рудольфа Клаузиуса в 1870 году. ^[1] $${\displaystyle \left\langle T\right\rangle =-{\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{N}{\bigl \langle }\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}{\bigr \rangle }}$$

Значимость теоремы вириала заключается в том, что она позволяет вычислять среднюю полную кинетическую энергию даже для очень сложных систем, не поддающихся точному решению, таких как рассматриваемые в статистической механике ; эта средняя полная кинетическая энергия связана с температурой системы теоремой о равнораспределении . Однако теорема вириала не зависит от понятия температуры и справедлива даже для систем, которые не находятся в тепловом равновесии . Теорема вириала была обобщена различными способами, наиболее заметным из которых является тензорная форма.

Если сила между любыми двумя частицами системы возникает из потенциальной энергии V ( r ) = αr ⁿ , которая пропорциональна некоторой степени n межчастичного расстояния r , то теорема вириала принимает простую форму $${\displaystyle 2\langle T\rangle =n\langle V_{\text{TOT}}\rangle .}$$

Таким образом, удвоенная средняя полная кинетическая энергия ⟨ T ⟩ равна n раз средней полной потенциальной энергии ⟨ V _TOT ⟩ . В то время как V ( r ) представляет собой потенциальную энергию между двумя частицами на расстоянии r , V _TOT представляет собой полную потенциальную энергию системы, т. е. сумму потенциальной энергии V ( r ) по всем парам частиц в системе. Типичным примером такой системы является звезда, удерживаемая вместе собственной гравитацией, где n равно −1.

История

В 1870 году Рудольф Клаузиус прочитал лекцию «О механической теореме, применимой к теплу» в Ассоциации естественных и медицинских наук Нижнего Рейна, после 20-летнего изучения термодинамики. В лекции утверждалось, что средняя vis viva системы равна ее вириалу, или что средняя кинетическая энергия равна ⁠1/2⁠ средняя потенциальная энергия. Теорема вириала может быть получена непосредственно из тождества Лагранжа ^{[ перемещенный ресурс? ]} , применяемого в классической гравитационной динамике, первоначальная форма которого была включена в «Очерк о задаче трех тел» Лагранжа, опубликованный в 1772 году. Обобщение Карлом Якоби тождества на N  тел и на современную форму тождества Лапласа очень напоминает классическую теорему вириала. Однако интерпретации, приведшие к разработке уравнений, были очень разными, поскольку во время разработки статистическая динамика еще не объединила отдельные исследования термодинамики и классической динамики. ^[2] Позднее теорема была использована, популяризирована, обобщена и далее развита Джеймсом Клерком Максвеллом , лордом Рэлеем , Анри Пуанкаре , Субрахманьяном Чандрасекаром , Энрико Ферми , Полем Леду , Ричардом Бадером и Юджином Паркером . Фриц Цвикки был первым, кто использовал теорему вириала для вывода о существовании невидимой материи, которая теперь называется темной материей . Ричард Бейдер показал, что распределение заряда всей системы можно разбить на ее кинетическую и потенциальную энергии, которые подчиняются теореме вириала. ^[3] В качестве другого примера ее многочисленных применений теорема вириала использовалась для вывода предела Чандрасекара для устойчивости белых карликов .

Иллюстративный частный случай

Рассмотрим N = 2 частицы с одинаковой массой m , на которые действуют силы взаимного притяжения. Предположим, что частицы находятся в диаметрально противоположных точках круговой орбиты с радиусом r . Скорости v ₁ ( t ) и v ₂ ( t ) = − v ₁ ( t ) , которые нормальны к силам F ₁ ( t ) и F ₂ ( t ) = − F ₁ ( t ) . Соответствующие величины зафиксированы на v и F . Средняя кинетическая энергия системы в интервале времени от t ₁ до t ₂ равна

$${\displaystyle \langle T\rangle ={\frac {1}{t_{2}-t_{1}}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}\sum _{k=1}^{N}{\frac {1}{2}}m_{k}\left|\mathbf {v} _{k}(t)\right|^{2}dt={\frac {1}{t_{2}-t_{1}}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left({\frac {1}{2}}m|\mathbf {v} _{1}(t)|^{2}+{\frac {1}{2}}m|\mathbf {v} _{2}(t)|^{2}\right)dt=mv^{2}.}$$Принимая центр масс за начало координат, частицы имеют положения r ₁ ( t ) и r ₂ ( t ) = − r ₁ ( t ) с фиксированной величиной r . Силы притяжения действуют в противоположных направлениях как положения, поэтому F ₁ ( t ) ⋅ r ₁ ( t ) = F ₂ ( t ) ⋅ r ₂ ( t ) = − Fr . Применение формулы центростремительной силы F = mv ² / r дает: как и требовалось. Примечание: если начало координат смещено, то мы получим тот же результат. Это связано с тем, что скалярное произведение смещения с равными и противоположными силами F ₁ ( t ) , F ₂ ( t ) приводит к чистому погашению. $${\displaystyle -{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}{\bigl \langle }\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}{\bigr \rangle }=-{\frac {1}{2}}(-Fr-Fr)=Fr={\frac {mv^{2}}{r}}\cdot r=mv^{2}=\langle T\rangle ,}$$

Заявление и вывод

Хотя теорема вириала зависит от усреднения полной кинетической и потенциальной энергий, в данном изложении усреднение отложено до последнего шага.

Для набора из N точечных частиц скалярный момент инерции I относительно начала координат определяется уравнением где m _k и r _k представляют массу и положение k -й частицы. r _k = | r _k | — величина вектора положения. Скаляр G определяется уравнением где p _k — вектор импульса k - й частицы. ^[4] Предполагая, что массы постоянны, G — это половина производной по времени этого момента инерции В свою очередь, производная по времени от G может быть записана где m _k — масса k -й частицы, F _k = ⁠ $${\displaystyle I=\sum _{k=1}^{N}m_{k}\left|\mathbf {r} _{k}\right|^{2}=\sum _{k=1}^{N}m_{k}r_{k}^{2}}$$ $${\displaystyle G=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {p} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}{\frac {dI}{dt}}&={\frac {1}{2}}{\frac {d}{dt}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}\mathbf {r} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\\&=\sum _{k=1}^{N}m_{k}\,{\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}\cdot \mathbf {r} _{k}\\&=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {p} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}=G\,.\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dG}{dt}}&=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {p} _{k}\cdot {\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}+\sum _{k=1}^{N}{\frac {d\mathbf {p} _{k}}{dt}}\cdot \mathbf {r} _{k}\\&=\sum _{k=1}^{N}m_{k}{\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}\cdot {\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}+\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\\&=2T+\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\end{aligned}}}$$д п _к/дт⁠ — это результирующая сила, действующая на эту частицу, а T — это полная кинетическая энергия системы согласно уравнению v _k = ⁠д р _к/дт⁠ скорость каждой частицы $${\displaystyle T={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}v_{k}^{2}={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}{\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}\cdot {\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}.}$$

Связь с потенциальной энергией между частицами

Полная сила F _k на частицу k представляет собой сумму всех сил от других частиц j в системе , где F _jk — сила, приложенная частицей j к частице k . Следовательно, вириал можно записать $${\displaystyle \mathbf {F} _{k}=\sum _{j=1}^{N}\mathbf {F} _{jk}}$$ $${\displaystyle -{\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}=-{\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}\,.}$$

Поскольку ни одна частица не действует сама на себя (т. е. F _jj = 0 для 1 ≤ j ≤ N ), мы разбиваем сумму на члены, лежащие ниже и выше этой диагонали, и складываем их попарно: где мы предположили, что выполняется третий закон движения Ньютона , т. е. F _jk = − F _kj (равная и противоположная реакция). $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}&=\sum _{k=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}=\sum _{k=2}^{N}\sum _{j=1}^{k-1}\left(\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}+\mathbf {F} _{kj}\cdot \mathbf {r} _{j}\right)\\&=\sum _{k=2}^{N}\sum _{j=1}^{k-1}\left(\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}-\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{j}\right)=\sum _{k=2}^{N}\sum _{j=1}^{k-1}\mathbf {F} _{jk}\cdot \left(\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{j}\right)\end{aligned}}}$$

Часто бывает так, что силы можно вывести из потенциальной энергии V _jk , которая является функцией только расстояния r _jk между точечными частицами j и k . Поскольку сила является отрицательным градиентом потенциальной энергии, в этом случае мы имеем

$${\displaystyle \mathbf {F} _{jk}=-\nabla _{\mathbf {r} _{k}}V_{jk}=-{\frac {dV_{jk}}{dr_{jk}}}\left({\frac {\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{j}}{r_{jk}}}\right),}$$

что равно и противоположно F _kj = −∇ _{r j} V _kj = −∇ _{r j} V _jk , силе, приложенной частицей k к частице j , что может быть подтверждено явным расчетом. Следовательно,

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}&=\sum _{k=2}^{N}\sum _{j=1}^{k-1}\mathbf {F} _{jk}\cdot \left(\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{j}\right)\\&=-\sum _{k=2}^{N}\sum _{j=1}^{k-1}{\frac {dV_{jk}}{dr_{jk}}}{\frac {|\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{j}|^{2}}{r_{jk}}}\\&=-\sum _{k=2}^{N}\sum _{j=1}^{k-1}{\frac {dV_{jk}}{dr_{jk}}}r_{jk}.\end{aligned}}}$$

Таким образом, мы имеем $${\displaystyle {\frac {dG}{dt}}=2T+\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}=2T-\sum _{k=2}^{N}\sum _{j=1}^{k-1}{\frac {dV_{jk}}{dr_{jk}}}r_{jk}.}$$

Частный случай степенных сил

В общем частном случае потенциальная энергия V между двумя частицами пропорциональна степени n их расстояния r _ij , где коэффициент α и показатель n являются константами. В таких случаях вириал задается уравнением , где V _TOT — полная потенциальная энергия системы $${\displaystyle V_{jk}=\alpha r_{jk}^{n},}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}-{\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}&={\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}{\frac {dV_{jk}}{dr_{jk}}}r_{jk}\\&={\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}n\alpha r_{jk}^{n-1}r_{jk}\\&={\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}nV_{jk}={\frac {n}{2}}\,V_{\text{TOT}}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle V_{\text{TOT}}=\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}V_{jk}\,.}$$

Таким образом, мы имеем $${\displaystyle {\frac {dG}{dt}}=2T+\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}=2T-nV_{\text{TOT}}\,.}$$

Для гравитирующих систем показатель степени n равен −1, что дает тождество Лагранжа , выведенное Жозефом-Луи Лагранжем и расширенное Карлом Якоби . $${\displaystyle {\frac {dG}{dt}}={\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}I}{dt^{2}}}=2T+V_{\text{TOT}}}$$

Усреднение времени

Среднее значение этой производной за определенный промежуток времени τ определяется как, из чего мы получаем точное уравнение $${\displaystyle \left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }={\frac {1}{\tau }}\int _{0}^{\tau }{\frac {dG}{dt}}\,dt={\frac {1}{\tau }}\int _{G(0)}^{G(\tau )}\,dG={\frac {G(\tau )-G(0)}{\tau }},}$$ $${\displaystyle \left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }=2\left\langle T\right\rangle _{\tau }+\sum _{k=1}^{N}\left\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\right\rangle _{\tau }.}$$

Теорема вириала утверждает, что если ⟨ ⁠дГ/дт⁠ ⟩ _τ = 0, тогда $${\displaystyle 2\left\langle T\right\rangle _{\tau }=-\sum _{k=1}^{N}\left\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\right\rangle _{\tau }.}$$

Существует много причин, по которым среднее значение производной по времени может исчезнуть, ⟨ ⁠дГ/дт⁠ ⟩ _τ = 0. Одна из часто упоминаемых причин применима к стабильно связанным системам, то есть системам, которые вечно связаны и параметры которых конечны. В этом случае скорости и координаты частиц системы имеют верхние и нижние пределы, так что G ^bound ограничена двумя крайностями, G _min и G _max , а среднее стремится к нулю в пределе бесконечногоτ:

$${\displaystyle \lim _{\tau \to \infty }\left|\left\langle {\frac {dG^{\mathrm {bound} }}{dt}}\right\rangle _{\tau }\right|=\lim _{\tau \to \infty }\left|{\frac {G(\tau )-G(0)}{\tau }}\right|\leq \lim _{\tau \to \infty }{\frac {G_{\max }-G_{\min }}{\tau }}=0.}$$

Даже если среднее значение производной по времени от G лишь приблизительно равно нулю, теорема вириала верна с той же степенью приближения.

Для степенных сил с показателем n общее уравнение имеет место:

$${\displaystyle \langle T\rangle _{\tau }=-{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\rangle _{\tau }={\frac {n}{2}}\langle V_{\text{TOT}}\rangle _{\tau }.}$$

Для гравитационного притяжения n равно −1, а средняя кинетическая энергия равна половине средней отрицательной потенциальной энергии. $${\displaystyle \langle T\rangle _{\tau }=-{\frac {1}{2}}\langle V_{\text{TOT}}\rangle _{\tau }.}$$

Этот общий результат полезен для сложных гравитирующих систем, таких как солнечные системы или галактики .

Простое применение теоремы вириала касается скоплений галактик . Если область пространства необычно заполнена галактиками, можно с уверенностью предположить, что они находятся вместе уже долгое время, и теорема вириала может быть применена. Измерения эффекта Доплера дают нижние границы для их относительных скоростей, а теорема вириала дает нижнюю границу для общей массы скопления, включая любую темную материю.

Если для рассматриваемой системы верна эргодическая гипотеза , то усреднение не обязательно проводить по времени; можно также взять среднее по ансамблю с эквивалентными результатами.

В квантовой механике

Хотя теорема вириала изначально была выведена для классической механики, она справедлива и для квантовой механики, как впервые показал Фок ^[5] с помощью теоремы Эренфеста .

Оцените коммутатор гамильтониана _с оператором положения X n и оператором импульса частицы n , $${\displaystyle H=V{\bigl (}\{X_{i}\}{\bigr )}+\sum _{n}{\frac {P_{n}^{2}}{2m}}}$$ $${\displaystyle P_{n}=-i\hbar {\frac {d}{dX_{n}}}}$$ $${\displaystyle [H,X_{n}P_{n}]=X_{n}[H,P_{n}]+[H,X_{n}]P_{n}=i\hbar X_{n}{\frac {dV}{dX_{n}}}-i\hbar {\frac {P_{n}^{2}}{m}}~.}$$

Суммируя по всем частицам, находим для коммутатора суммы, где есть кинетическая энергия. Левая часть этого уравнения — это просто ⁠ $${\displaystyle Q=\sum _{n}X_{n}P_{n}}$$ $${\displaystyle {\frac {i}{\hbar }}[H,Q]=2T-\sum _{n}X_{n}{\frac {dV}{dX_{n}}}}$$ ${\textstyle T=\sum _{n}{\frac {P_{n}^{2}}{2m}}}$дК/дт⁠ , согласно уравнению движения Гейзенберга . Ожидаемое значение ⟨ ⁠дК/дт⁠ ⟩ этой производной по времени исчезает в стационарном состоянии, что приводит к квантовой теореме вириала , $${\displaystyle 2\langle T\rangle =\sum _{n}\left\langle X_{n}{\frac {dV}{dX_{n}}}\right\rangle ~.}$$

личность Похожаева

В области квантовой механики существует другая форма теоремы вириала, применимая к локализованным решениям стационарного нелинейного уравнения Шредингера или уравнения Клейна–Гордона , — это тождество Похожаева ^[6] , также известное как теорема Деррика .

Пусть будет непрерывным и действительным, причем . ${\displaystyle g(s)}$ ${\displaystyle g(0)=0}$

Обозначим . Пусть — решение уравнения в смысле распределений . Тогда удовлетворяет соотношению ${\textstyle G(s)=\int _{0}^{s}g(t)\,dt}$ $${\displaystyle u\in L_{\mathrm {loc} }^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}),\qquad \nabla u\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n}),\qquad G(u(\cdot ))\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n}),\qquad n\in \mathbb {N} ,}$$ $${\displaystyle -\nabla ^{2}u=g(u),}$$ ${\displaystyle u}$ $${\displaystyle \left({\frac {n-2}{2}}\right)\int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla u(x)|^{2}\,dx=n\int _{\mathbb {R} ^{n}}G(u(x))\,dx.}$$

В специальной теории относительности

Для отдельной частицы в специальной теории относительности не выполняется соотношение T = ⁠1/2⁠ p · v . Вместо этого верно, что T = ( γ − 1) mc ² , где γ — фактор Лоренца

$${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$$и β = ⁠в/с⁠ . Имеем, Последнее выражение можно упростить до . Таким образом, при условиях, описанных в предыдущих разделах (включая третий закон движения Ньютона , F _jk = − F _kj , несмотря на относительность), среднее по времени для N частиц со степенным потенциалом равно В частности, отношение кинетической энергии к потенциальной энергии больше не фиксировано, а обязательно попадает в интервал: где более релятивистские системы демонстрируют большие отношения. $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} &={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\beta }}\gamma mc\cdot {\boldsymbol {\beta }}c\\[5pt]&={\frac {1}{2}}\gamma \beta ^{2}mc^{2}\\[5pt]&=\left({\frac {\gamma \beta ^{2}}{2(\gamma -1)}}\right)T\,.\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \left({\frac {1+{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}{2}}\right)T\qquad {\text{or}}\qquad \left({\frac {\gamma +1}{2\gamma }}\right)T}$$ $${\displaystyle {\frac {n}{2}}\left\langle V_{\mathrm {TOT} }\right\rangle _{\tau }=\left\langle \sum _{k=1}^{N}\left({\frac {1+{\sqrt {1-\beta _{k}^{2}}}}{2}}\right)T_{k}\right\rangle _{\tau }=\left\langle \sum _{k=1}^{N}\left({\frac {\gamma _{k}+1}{2\gamma _{k}}}\right)T_{k}\right\rangle _{\tau }\,.}$$ $${\displaystyle {\frac {2\langle T_{\mathrm {TOT} }\rangle }{n\langle V_{\mathrm {TOT} }\rangle }}\in \left[1,2\right]\,,}$$

Примеры

Теорема вириала имеет особенно простую форму для периодического движения. Она может быть использована для выполнения пертурбативного расчета для нелинейных осцилляторов. ^[7]

Его также можно использовать для изучения движения в центральном потенциале . ^[4] Если центральный потенциал имеет вид , теорема вириала упрощается до . ^{[ необходима ссылка ]} В частности, для гравитационного или электростатического ( кулоновского ) притяжения, . ${\displaystyle U\propto r^{n}}$ ${\displaystyle \langle T\rangle ={\frac {n}{2}}\langle U\rangle }$ ${\displaystyle \langle T\rangle =-{\frac {1}{2}}\langle U\rangle }$

Управляемый затухающий гармонический осциллятор

Анализ основан на ^[7] . Для одномерного осциллятора с массой , положением , движущей силой , жесткостью пружины и коэффициентом затухания уравнение движения имеет вид ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle F\cos(\omega t)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \gamma }$

$${\displaystyle m\underbrace {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}} _{\text{acceleration}}=\underbrace {-kx} _{\text{spring}}\underbrace {-\gamma {\frac {dx}{dt}}} _{\text{friction}}\underbrace {+F\cos(\omega t)} _{\text{external driving}}}$$

Когда осциллятор достигает устойчивого состояния, он совершает устойчивые колебания , где — амплитуда, а — фазовый угол. ${\displaystyle x=X\cos(\omega t+\varphi )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varphi }$

Применяя теорему вириала, имеем , что упрощается до , где — собственная частота осциллятора. ${\displaystyle m\langle {\dot {x}}{\dot {x}}\rangle =k\langle xx\rangle +\gamma \langle x{\dot {x}}\rangle -F\langle \cos(\omega t)x\rangle }$ ${\displaystyle F\cos(\varphi )=m(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})X}$ ${\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {k/m}}}$

Чтобы решить два неизвестных, нам нужно еще одно уравнение. В устойчивом состоянии мощность, потерянная за цикл, равна мощности, полученной за цикл: , что упрощается до . ${\displaystyle \underbrace {\langle {\dot {x}}\;\gamma {\dot {x}}\rangle } _{\text{power dissipated}}=\underbrace {\langle {\dot {x}}\;F\cos \omega t\rangle } _{\text{power input}}}$ ${\displaystyle \sin \varphi =-{\frac {\gamma X\omega }{F}}}$

Теперь у нас есть два уравнения, дающие решение . ${\displaystyle {\begin{cases}X&={\sqrt {\frac {F^{2}}{\gamma ^{2}\omega ^{2}+m^{2}(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}}}}\\\tan \varphi &=-{\frac {\gamma \omega }{m(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})}}\end{cases}}}$

Закон идеального газа

Рассмотрим контейнер, заполненный идеальным газом, состоящим из точечных масс. Сила, приложенная к точечным массам, является отрицательной силой, приложенной к стенке контейнера, которая имеет вид , где — единичный нормальный вектор, направленный наружу. Тогда теорема вириала гласит: По теореме о расходимости , . И поскольку средняя полная кинетическая энергия , то имеем . ^[8] ${\displaystyle d\mathbf {F} =-\mathbf {\hat {n}} PdA}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ $${\displaystyle \langle T\rangle =-{\frac {1}{2}}{\Bigg \langle }\sum _{i}\mathbf {F} _{i}\cdot \mathbf {r} _{i}{\Bigg \rangle }={\frac {P}{2}}\int \mathbf {\hat {n}} \cdot \mathbf {r} dA}$$ ${\textstyle \int \mathbf {\hat {n}} \cdot \mathbf {r} dA=\int \nabla \cdot \mathbf {r} dV=3\int dV=3V}$ ${\textstyle \langle T\rangle =N\langle {\frac {1}{2}}mv^{2}\rangle =N\cdot {\frac {3}{2}}kT}$ ${\displaystyle PV=NkT}$

Темная материя

В 1933 году Фриц Цвикки применил теорему вириала для оценки массы скопления Волос Вероники и обнаружил расхождение в массе около 450, которое он объяснил как вызванное «темной материей». ^[9] Он усовершенствовал анализ в 1937 году, обнаружив расхождение около 500. ^{[10] [11]}

Теоретический анализ

Он аппроксимировал скопление Волосы Вероники как сферический «газ» звезд примерно одинаковой массы , что дает . Полная гравитационная потенциальная энергия скопления равна , что дает . Предполагая, что движение звезд одинаково в течение достаточно длительного времени ( эргодичность ), . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle m}$ ${\textstyle \langle T\rangle ={\frac {1}{2}}Nm\langle v^{2}\rangle }$ ${\displaystyle U=-\sum _{i<j}{\frac {Gm^{2}}{r_{i,j}}}}$ ${\textstyle \langle U\rangle =-Gm^{2}\sum _{i<j}\langle {1}/{r_{i,j}}\rangle }$ ${\textstyle \langle U\rangle =-{\frac {1}{2}}N^{2}Gm^{2}\langle {1}/{r}\rangle }$

Цвикки оценил как гравитационный потенциал однородного шара постоянной плотности, дав . ${\displaystyle \langle U\rangle }$ ${\textstyle \langle U\rangle =-{\frac {3}{5}}{\frac {GN^{2}m^{2}}{R}}}$

Итак, по теореме вириала общая масса скопления равна $${\displaystyle Nm={\frac {5\langle v^{2}\rangle }{3G\langle {\frac {1}{r}}\rangle }}}$$

Данные

Цвикки ^[9] оценил, что в скоплении есть галактики, каждая из которых имеет наблюдаемую звездную массу (предложенную Хабблом), и скопление имеет радиус . Он также измерил лучевые скорости галактик с помощью доплеровских сдвигов в спектрах галактик, которые составили . Предполагая равнораспределение кинетической энергии, . ${\displaystyle _{1933}}$ ${\displaystyle N=800}$ ${\displaystyle m=10^{9}M_{\odot }}$ ${\displaystyle R=10^{6}{\text{ly}}}$ ${\displaystyle \langle v_{r}^{2}\rangle =(1000{\text{km/s}})^{2}}$ ${\displaystyle \langle v^{2}\rangle =3\langle v_{r}^{2}\rangle }$

По теореме вириала общая масса скопления должна быть . Однако наблюдаемая масса равна , то есть общая масса в 450 раз больше наблюдаемой массы. ${\displaystyle {\frac {5R\langle v_{r}^{2}\rangle }{G}}\approx 3.6\times 10^{14}M_{\odot }}$ ${\displaystyle Nm=8\times 10^{11}M_{\odot }}$

Обобщения

Лорд Рэлей опубликовал обобщение теоремы вириала в 1900 году ^[12] , которое было частично переиздано в 1903 году. ^[13] Анри Пуанкаре доказал и применил форму теоремы вириала в 1911 году к проблеме образования Солнечной системы из протозвездного облака (тогда известной как космогония). ^[14] Вариационная форма теоремы вириала была разработана в 1945 году Леду. ^[15] Тензорная форма теоремы вириала была разработана Паркером, ^[16] Чандрасекаром ^[17] и Ферми. ^[18] Следующее обобщение теоремы вириала было установлено Поллардом в 1964 году для случая закона обратных квадратов: ^{[19] [20] [ проверка не удалась ]} В противном случае необходимо добавить граничный член . ^[21] $${\displaystyle 2\lim _{\tau \to +\infty }\langle T\rangle _{\tau }=\lim _{\tau \to +\infty }\langle U\rangle _{\tau }\qquad {\text{if and only if}}\quad \lim _{\tau \to +\infty }{\tau }^{-2}I(\tau )=0\,.}$$

Включение электромагнитных полей

Теорему вириала можно распространить на электрические и магнитные поля. Результат ^[22]

$${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}I}{dt^{2}}}+\int _{V}x_{k}{\frac {\partial G_{k}}{\partial t}}\,d^{3}r=2(T+U)+W^{\mathrm {E} }+W^{\mathrm {M} }-\int x_{k}(p_{ik}+T_{ik})\,dS_{i},}$$

где I - момент инерции , G - плотность импульса электромагнитного поля , T - кинетическая энергия "жидкости", U - случайная "тепловая" энергия частиц, W ^E и W ^M - электрическая и магнитная энергия, содержащаяся в рассматриваемом объеме. Наконец, p _ik - тензор давления жидкости, выраженный в локальной подвижной системе координат

$${\displaystyle p_{ik}=\Sigma n^{\sigma }m^{\sigma }\langle v_{i}v_{k}\rangle ^{\sigma }-V_{i}V_{k}\Sigma m^{\sigma }n^{\sigma },}$$

и T _ik - тензор электромагнитных напряжений ,

$${\displaystyle T_{ik}=\left({\frac {\varepsilon _{0}E^{2}}{2}}+{\frac {B^{2}}{2\mu _{0}}}\right)\delta _{ik}-\left(\varepsilon _{0}E_{i}E_{k}+{\frac {B_{i}B_{k}}{\mu _{0}}}\right).}$$

Плазмоид — это конечная конфигурация магнитных полей и плазмы. С помощью теоремы вириала легко увидеть, что любая такая конфигурация будет расширяться, если не будет сдерживаться внешними силами. В конечной конфигурации без стенок, несущих давление, или магнитных катушек поверхностный интеграл исчезнет. Поскольку все остальные члены в правой части положительны, ускорение момента инерции также будет положительным. Также легко оценить время расширения τ . Если полная масса M ограничена радиусом R , то момент инерции примерно равен MR ² , а левая часть теоремы вириала равна ⁠МР ²/τ2^​⁠ . Члены в правой части составляют около pR ³ , где p — большее из давлений плазмы или магнитного давления. Приравнивая эти два члена и решая для τ , находим

$${\displaystyle \tau \,\sim {\frac {R}{c_{\mathrm {s} }}},}$$

где c _s — скорость ионной акустической волны (или альфвеновской волны , если магнитное давление выше давления плазмы). Таким образом, ожидается, что время жизни плазмоида будет порядка акустического (или альфвеновского) времени прохождения.

Релятивистская однородная система

В случае, когда в физической системе учитываются поле давления, электромагнитное и гравитационное поля, а также поле ускорения частиц, теорема вириала записывается в релятивистской форме следующим образом: ^[23]

$${\displaystyle \left\langle W_{k}\right\rangle \approx -0.6\sum _{k=1}^{N}\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\rangle ,}$$

где величина W _k ≈ γ _c T превышает кинетическую энергию частиц T на коэффициент, равный фактору Лоренца γ _c частиц в центре системы. При нормальных условиях можно считать, что γ _c ≈ 1 , тогда можно увидеть, что в теореме вириала кинетическая энергия связана с потенциальной энергией не коэффициентом ⁠1/2⁠ , а на коэффициент, близкий к 0,6. Отличие от классического случая возникает из-за учета поля давления и поля ускорения частиц внутри системы, при этом производная скаляра G не равна нулю и должна рассматриваться как материальная производная .

Анализ интегральной теоремы об обобщенном вириале позволяет на основе теории поля найти формулу для среднеквадратичной скорости типичных частиц системы без использования понятия температуры: ^[24]

$${\displaystyle v_{\mathrm {rms} }=c{\sqrt {1-{\frac {4\pi \eta \rho _{0}r^{2}}{c^{2}\gamma _{c}^{2}\sin ^{2}\left({\frac {r}{c}}{\sqrt {4\pi \eta \rho _{0}}}\right)}}}},}$$

где - скорость света, - постоянная поля ускорения, - плотность массы частиц, - текущий радиус. ${\displaystyle ~c}$ ${\displaystyle ~\eta }$ ${\displaystyle ~\rho _{0}}$ ${\displaystyle ~r}$

В отличие от теоремы вириала для частиц, для электромагнитного поля теорема вириала записывается следующим образом: ^[25] где энергия рассматривается как кинетическая энергия поля, связанная с четырехполюсным током , а задается потенциальная энергия поля, найденная через компоненты электромагнитного тензора. $${\displaystyle ~E_{kf}+2W_{f}=0,}$$ ${\textstyle ~E_{kf}=\int A_{\alpha }j^{\alpha }{\sqrt {-g}}\,dx^{1}\,dx^{2}\,dx^{3}}$ ${\displaystyle j^{\alpha }}$ $${\displaystyle ~W_{f}={\frac {1}{4\mu _{0}}}\int F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }{\sqrt {-g}}\,dx^{1}\,dx^{2}\,dx^{3}}$$

В астрофизике

Теорема вириала часто применяется в астрофизике, особенно связывая гравитационную потенциальную энергию системы с ее кинетической или тепловой энергией . Некоторые общие вириальные соотношения ^{[ требуется ссылка ]} для массы M , радиуса R , скорости v и температуры T. Константы — это постоянная Ньютона G , постоянная Больцмана k _B и масса протона m _p . Обратите внимание, что эти соотношения являются лишь приблизительными, и часто ведущие числовые множители (например , ⁠ $${\displaystyle {\frac {3}{5}}{\frac {GM}{R}}={\frac {3}{2}}{\frac {k_{\mathrm {B} }T}{m_{\mathrm {p} }}}={\frac {1}{2}}v^{2}}$$ 3/5⁠ или ⁠1/2⁠ ) ​​полностью игнорируются.

Галактики и космология (вириальная масса и радиус)

В астрономии масса и размер галактики (или общая сверхплотность) часто определяются в терминах " вириальной массы " и " вириального радиуса " соответственно. Поскольку галактики и сверхплотности в непрерывных жидкостях могут быть очень протяженными (даже до бесконечности в некоторых моделях, таких как изотермическая сфера ), может быть трудно определить конкретные, конечные меры их массы и размера. Теорема вириала и связанные с ней концепции часто предоставляют удобные средства для количественной оценки этих свойств.

В динамике галактики масса галактики часто выводится путем измерения скорости вращения ее газа и звезд, предполагая круговые кеплеровские орбиты . Используя теорему вириала, дисперсию скорости σ можно использовать аналогичным образом. Принимая кинетическую энергию (на частицу) системы как T = ⁠1/2⁠ v ² ~ ⁠3/2⁠ σ ² , а потенциальная энергия (на частицу) как U ~ ⁠3/5⁠ ⁠ГМ/Р⁠ мы можем написать

$${\displaystyle {\frac {GM}{R}}\approx \sigma ^{2}.}$$

Здесь радиус, на котором измеряется дисперсия скорости, а M — масса в пределах этого радиуса. Вириальная масса и радиус обычно определяются для радиуса, на котором дисперсия скорости максимальна, т.е. ${\displaystyle R}$

$${\displaystyle {\frac {GM_{\text{vir}}}{R_{\text{vir}}}}\approx \sigma _{\max }^{2}.}$$

Поскольку были сделаны многочисленные приближения, в дополнение к приблизительному характеру этих определений, константы пропорциональности порядка-единицы часто опускаются (как в приведенных выше уравнениях). Эти соотношения, таким образом, точны только в смысле порядка величины или при использовании самосогласованно.

Альтернативное определение вириальной массы и радиуса часто используется в космологии, где оно используется для обозначения радиуса сферы с центром в галактике или скоплении галактик , в пределах которой сохраняется вириальное равновесие. Поскольку этот радиус трудно определить наблюдательно, его часто аппроксимируют как радиус, в пределах которого средняя плотность больше, на указанный множитель, критической плотности , где H — параметр Хаббла , а G — гравитационная постоянная . Обычный выбор для множителя — 200, что примерно соответствует типичной избыточной плотности при сферическом коллапсе (см. Вириальная масса ), в этом случае вириальный радиус аппроксимируется как Вириальная масса затем определяется относительно этого радиуса как $${\displaystyle \rho _{\text{crit}}={\frac {3H^{2}}{8\pi G}}}$$ $${\displaystyle r_{\text{vir}}\approx r_{200}=r,\qquad \rho =200\cdot \rho _{\text{crit}}.}$$ $${\displaystyle M_{\text{vir}}\approx M_{200}={\frac {4}{3}}\pi r_{200}^{3}\cdot 200\rho _{\text{crit}}.}$$

Звезды

Теорема вириала применима к ядрам звезд, устанавливая связь между гравитационной потенциальной энергией и тепловой кинетической энергией (т. е. температурой). Поскольку звезды на главной последовательности преобразуют водород в гелий в своих ядрах, средний молекулярный вес ядра увеличивается, и оно должно сжиматься, чтобы поддерживать достаточное давление для поддержки собственного веса. Это сжатие уменьшает его потенциальную энергию и, как утверждает теорема вириала, увеличивает его тепловую энергию. Температура ядра увеличивается даже по мере потери энергии, фактически отрицательная удельная теплоемкость . ^[26] Это продолжается и за пределами главной последовательности, если только ядро ​​не становится вырожденным, поскольку это приводит к тому, что давление становится независимым от температуры, и вириальное соотношение с n, равным −1, больше не выполняется. ^[27]

Смотрите также

• Вириальный коэффициент
• Вирусный стресс
• Вириальная масса
• Тензор Чандрасекара
• Уравнения вириала Чандрасекара
• Теорема Деррика
• Теорема о равнораспределении
• Теорема Эренфеста
• личность Похожаева

Ссылки

1. Клаузиус, Р. Дж. Э. (1870). «О механической теореме, применимой к теплу». Philosophical Magazine . Серия 4. 40 (265): 122–127. doi :10.1080/14786447008640370.
2. Коллинз, GW (1978). "Введение". Теорема вириала в звездной астрофизике. Pachart Press. Bibcode :1978vtsa.book.....C. ISBN 978-0-912918-13-6.
3. Бадер, RFW ; Беддалл, PM (1972). «Соотношение вириального поля для распределений молекулярного заряда и пространственное разбиение молекулярных свойств». Журнал химической физики . 56 (7): 3320–3329. Bibcode : 1972JChPh..56.3320B. doi : 10.1063/1.1677699.
4. Goldstein, Herbert (1980). Классическая механика (2-е изд.). Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9. OCLC  5675073.
5. Фок, В. (1930). «Bemerkung zum Virialsatz». Zeitschrift für Physik A. 63 (11): 855–858. Бибкод : 1930ZPhy...63..855F. дои : 10.1007/BF01339281. S2CID  122502103.
6. Берестицкий, Х.; Лионс, П. -Л. (1983). "Уравнения нелинейного скалярного поля, I существование основного состояния". Arch. Rational Mech. Anal . 82 (4): 313–345. Bibcode :1983ArRMA..82..313B. doi :10.1007/BF00250555. S2CID  123081616.
7. Sivardiere, Jean (декабрь 1986 г.). «Использование теоремы вириала». American Journal of Physics . 54 (12): 1100–1103. Bibcode : 1986AmJPh..54.1100S. doi : 10.1119/1.14723. ISSN  0002-9505.
8. "2.11: Теорема вириала". Physics LibreTexts . 2018-03-22 . Получено 2023-06-07 .
9. Zwicky, Fritz (1933). «Красное смещение внегалактических туманностей». Helvetica Physica Acta . 6. Перевод Хайнца Андернаха: 110–127. ISSN  0018-0238.
10. Цвикки, Ф. (октябрь 1937 г.). «О массах туманностей и скоплений туманностей». The Astrophysical Journal . 86 : 217. Bibcode : 1937ApJ....86..217Z. doi : 10.1086/143864 . ISSN  0004-637X.
11. Бертоне, Джанфранко; Хупер, Дэн (2018-10-15). "История темной материи". Reviews of Modern Physics . 90 (4): 045002. arXiv : 1605.04909 . Bibcode : 2018RvMP...90d5002B. doi : 10.1103/RevModPhys.90.045002. ISSN  0034-6861. S2CID  18596513.
12. Лорд Рэлей (август 1900 г.). «XV. О теореме, аналогичной теореме вириала». The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science . 5. 50 (303): 210–213. doi :10.1080/14786440009463903.
13. Лорд Рэлей (1903). Научные труды: 1892–1901. Кембридж: Cambridge University Press. С. 491–493.
14. Пуанкаре, Анри (1911). Leçons sur les hispotèses cosmogoniques [Лекции по теориям космогонии] . Париж: Германн. стр. 90–91 и след.
15. Леду, П. (1945). «О радиальной пульсации газообразных звезд». Астрофизический журнал . 102 : 143–153. Bibcode : 1945ApJ...102..143L. doi : 10.1086/144747 .
16. Паркер, EN (1954). «Тензорные вириальные уравнения». Physical Review . 96 (6): 1686–1689. Bibcode : 1954PhRv...96.1686P. doi : 10.1103/PhysRev.96.1686.
17. Чандрасекар, С ; Лебовиц Н. Р. (1962). «Потенциалы и суперпотенциалы однородных эллипсоидов». Astrophys. J. 136 : 1037–1047. Bibcode : 1962ApJ...136.1037C. doi : 10.1086/147456 .
18. Чандрасекар, С.; Ферми Э. (1953). «Проблемы гравитационной устойчивости в присутствии магнитного поля». Astrophys. J. 118 : 116. Bibcode : 1953ApJ...118..116C. doi : 10.1086/145732.
19. Поллард, Х. (1964). «Точная форма теоремы вириала». Bull. Amer. Math. Soc . LXX (5): 703–705. doi : 10.1090/S0002-9904-1964-11175-7 .
20. Поллард, Гарри (1966). Математическое введение в небесную механику . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice–Hall, Inc. ISBN 978-0-13-561068-8.
21. Колар, М.; О'Ши, С.Ф. (июль 1996 г.). «Высокотемпературное приближение для квантового метода Монте-Карло с интегралом по траектории». Журнал физики A: Mathematical and General . 29 (13): 3471–3494. Bibcode : 1996JPhA...29.3471K. doi : 10.1088/0305-4470/29/13/018.
22. Шмидт, Джордж (1979). Физика высокотемпературной плазмы (второе издание). Academic Press. стр. 72.
23. Федосин, СГ (2016). «Теорема вириала и кинетическая энергия частиц макроскопической системы в общей полевой концепции». Continuum Mechanics and Thermodynamics . 29 (2): 361–371. arXiv : 1801.06453 . Bibcode :2017CMT....29..361F. doi :10.1007/s00161-016-0536-8. S2CID  53692146.
24. Федосин, Сергей Г. (2018-09-24). "Интегральная теорема обобщенного вириала в релятивистской однородной модели". Continuum Mechanics and Thermodynamics . 31 (3): 627–638. arXiv : 1912.08683 . Bibcode :2019CMT....31..627F. doi :10.1007/s00161-018-0715-x. ISSN  1432-0959. S2CID  125180719.
25. Федосин, СГ (2019). «Интегральная теорема энергии поля». Газийский университетский журнал науки . 32 (2): 686–703. doi : 10.5281/zenodo.3252783 . S2CID  197487015.
26. БАЙДЬЯНАТХ БАСУ; ТАНУКА ЧАТТОПАДХАЙ; СУДХИНДРА НАТХ БИСВАС (1 января 2010 г.). ВВЕДЕНИЕ В АСТРОФИЗИКУ. PHI Learning Pvt. Ltd., стр. 365–. ISBN 978-81-203-4071-8.
27. Уильям К. Роуз (16 апреля 1998 г.). Advanced Stellar Astrophysics. Cambridge University Press. стр. 242–. ISBN 978-0-521-58833-1.

Дальнейшее чтение

• Голдштейн, Х. (1980). Классическая механика (2-е изд.). Эддисон–Уэсли. ISBN 978-0-201-02918-5.
• Коллинз, Г. В. (1978). Теорема вириала в звездной астрофизике. Pachart Press. Bibcode :1978vtsa.book.....C. ISBN 978-0-912918-13-6.
• i̇Pekoğlu, Y.; Turgut, S. (2016). «Элементарный вывод квантовой теоремы вириала из теоремы Геллмана–Фейнмана». European Journal of Physics . 37 (4): 045405. Bibcode : 2016EJPh...37d5405I. doi : 10.1088/0143-0807/37/4/045405. S2CID  125030620.

Внешние ссылки

• Теорема вириала на MathPages
• Гравитационное сжатие и звездообразование, Университет штата Джорджия