неравенство Соболева

В математике , в математическом анализе есть класс неравенств Соболева , связывающих нормы , в том числе и норм пространств Соболева . Они используются для доказательства теоремы вложения Соболева , дающей включения между некоторыми пространствами Соболева , и теоремы Реллиха–Кондрахова , показывающей, что при несколько более сильных условиях некоторые пространства Соболева компактно вложены в другие. Они названы в честь Сергея Львовича Соболева .

Теорема вложения Соболева

Пусть $W k,p (R n)$ обозначает пространство Соболева, состоящее из всех вещественных функций на $R n$ , слабые производные которых до порядка $k$ являются функциями из $L p$ . Здесь $k$ — неотрицательное целое число и $1 \leq p < \infty$ . Первая часть теоремы вложения Соболева утверждает, что если $k > ℓ$ , $p < n$ и $1 \leq p < q < \infty$ — два вещественных числа, такие что

{\frac {1}{p}}-{\frac {k}{n}}={\frac {1}{q}}-{\frac {\ell }{n}},

затем

W^{k,p}(\mathbf {R} ^{n})\subseteq W^{\ell ,q}(\mathbf {R} ^{n})

и вложение непрерывно. В частном случае $k = 1$ и $ℓ = 0$ вложение Соболева дает

W^{1,p}(\mathbf {R} ^{n})\subseteq L^{p^{*}}(\mathbf {R} ^{n})

где $p *$ — это соболевское сопряжение p , заданное $формулой$

{\frac {1}{p^{*}}}={\frac {1}{p}}-{\frac {1}{n}}.

Этот особый случай вложения Соболева является прямым следствием неравенства Гальярдо–Ниренберга–Соболева. Результат следует интерпретировать так, что если функция в имеет одну производную в , то она сама имеет улучшенное локальное поведение, что означает, что она принадлежит пространству, где . (Заметим, что , так что .) Таким образом, любые локальные сингулярности в должны быть более мягкими, чем для типичной функции в . $f$ $L^{p}(\mathbb {R} ^{n})$ $L^{p}$ $f$ $L^{p^{*}}$ $p^{*}>p$ $1/p^{*}<1/p$ $p^{*}>p$ $f$ $L^{p}$

Вторая часть теоремы Соболева о вложении применима к вложениям в пространства Гельдера $C r,α (R n)$ . Если $n < pk$ и

{\frac {1}{p}}-{\frac {k}{n}}=-{\frac {r+\alpha }{n}},{\mbox{ or, equivalently, }}r+\alpha =k-{\frac {n}{p}}

при $α \in (0, 1)$ имеет место вложение

W^{k,p}(\mathbf {R} ^{n})\subset C^{r,\alpha }(\mathbf {R} ^{n}).

Эта часть вложения Соболева является прямым следствием неравенства Морри. Интуитивно это включение выражает тот факт, что существование достаточно большого числа слабых производных подразумевает некоторую непрерывность классических производных. Если то для любого . $\alpha =1$ $W^{k,p}(\mathbf {R} ^{n})\subset C^{r,\gamma }(\mathbf {R} ^{n})$ $\gamma \in (0,1)$

В частности, пока , критерий вложения будет выполняться при и некотором положительном значении . То есть, для функции на , если имеет производные в и , то будет непрерывной (и фактически непрерывной по Гёльдеру с некоторым положительным показателем ). $pk>n$ $r=0$ $\alpha$ $f$ $\mathbb {R} ^{n}$ $f$ $k$ $L^{p}$ $pk>n$ $f$ $\alpha$

Обобщения

Теорема вложения Соболева справедлива для пространств Соболева $W k,p (M)$ на других подходящих областях $M$ . В частности (Aubin 1982, Глава 2; Aubin 1976), обе части вложения Соболева справедливы, когда

$M$ — ограниченное открытое множество в $Rn$ с липшицевой границей (или граница которого удовлетворяет условию конуса ; Адамс 1975, теорема 5.4 $)$
$M$ — компактное риманово многообразие
$M$ — компактное риманово многообразие с границей , причем граница является липшицевой (это означает, что граница может быть локально представлена в виде графика непрерывной функции Липшица).
$M$ — полное риманово многообразие с радиусом инъективности $δ > 0$ и ограниченной секционной кривизной .

Если $M$ — ограниченное открытое множество в $Rn$ с непрерывной границей, то $W1,2$ $(M) компактно$ вложено в $L2 (M) (Нечас 2012, раздел 1.1.5$ $, теорема$ $1.4$ ).

Теорема вложения Кондрахова

На компактном многообразии $M$ с границей $C 1$ теорема вложения Кондрахова утверждает, что если $k > ℓ$ , то вложение Соболева ${\frac {1}{p}}-{\frac {k}{n}}<{\frac {1}{q}}-{\frac {\ell }{n}}$

W^{k,p}(M)\subset W^{\ell ,q}(M)

является вполне непрерывным (компактным). ^[1] Обратите внимание, что условие такое же, как в первой части теоремы вложения Соболева, с заменой равенства на неравенство, что требует более регулярного пространства $W k,p (M)$ .

Неравенство Гальярдо–Ниренберга–Соболева.

Предположим, что $u$ — непрерывно дифференцируемая вещественная функция на $R n$ с компактным носителем . Тогда для $1 \leq p < n$ существует константа $C,$ зависящая только от $n$ и $p$ , такая, что

\|u\|_{L^{p^{*}}(\mathbf {R} ^{n})}\leq C\|Du\|_{L^{p}(\mathbf {R} ^{n})}.

с . Случай принадлежит Соболеву ^[2] , а случай Гальярдо и Ниренбергу независимо друг от друга. ^[3]^[4] Неравенство Гальярдо–Ниренберга–Соболева напрямую влечет вложение Соболева $1/p^{*}=1/p-1/n$ $1<p<n$ $p=1$

W^{1,p}(\mathbf {R} ^{n})\subset L^{p^{*}}(\mathbf {R} ^{n}).

Затем вложения в другие порядки на $Rn$ $получаются$ с помощью подходящей итерации.

Лемма Харди–Литтлвуда–Соболева

Первоначальное доказательство Соболева теоремы вложения Соболева основывалось на следующем, иногда известном как теорема Харди–Литтлвуда–Соболева о дробном интегрировании . Эквивалентное утверждение известно как лемма Соболева в (Aubin 1982, Глава 2). Доказательство находится в (Stein 1970, Глава V, §1.3).

Пусть $0 < α < n$ и $1 < p < q < \infty$ . Пусть $I α = (-Δ) - α /2$ — потенциал Рисса на $R n$ . Тогда для $q,$ определенного как

{\frac {1}{q}}={\frac {1}{p}}-{\frac {\alpha }{n}}

существует константа $C,$ зависящая только от $p,$ такая, что

\left\|I_{\alpha }f\right\|_{q}\leq C\|f\|_{p}.

Если $p = 1$ , то есть две возможные оценки замены. Первая — более классическая оценка слабого типа:

m\left\{x:\left|I_{\alpha }f(x)\right|>\lambda \right\}\leq C\left({\frac {\|f\|_{1}}{\lambda }}\right)^{q},

где $1/ q = 1 - α / n$ . В качестве альтернативы можно получить оценку , где — векторное преобразование Рисса , см. (Schikorra, Spector & Van Schaftingen 2017). Ограниченность преобразований Рисса подразумевает, что последнее неравенство дает единый способ записи семейства неравенств для потенциала Рисса. $\left\|I_{\alpha }f\right\|_{q}\leq C\|Rf\|_{1},$ $Rf$

Лемма Харди–Литтлвуда–Соболева подразумевает вложение Соболева по существу через связь между преобразованиями Рисса и потенциалами Рисса.

Неравенство Моррея

Предположим, $что n < p \leq \infty$ . Тогда существует константа $C$ , зависящая только от $p$ и $n$ , такая, что

\|u\|_{C^{0,\gamma }(\mathbf {R} ^{n})}\leq C\|u\|_{W^{1,p}(\mathbf {R} ^{n})}

для всех $u \in C1 (Rn) \capLp (Rn), где $

\gamma =1-{\frac {n}{p}}.

Таким образом, если $u \in W 1, p (R n)$ , то $u$ на самом деле является непрерывным по Гёльдеру с показателем $γ$ , после возможного переопределения на множестве меры 0.

Аналогичный результат имеет место в ограниченной области $U$ с липшицевой границей. В этом случае

\|u\|_{C^{0,\gamma }(U)}\leq C\|u\|_{W^{1,p}(U)}

где константа $C$ теперь зависит от $n, p$ и $U$ . Эта версия неравенства следует из предыдущей путем применения сохраняющего норму расширения $W 1, p (U)$ к $W 1, p (R n)$ . Неравенство названо в честь Чарльза Б. Морри-младшего.

Общие неравенства Соболева

Пусть $U$ — ограниченное открытое подмножество $R n$ с границей $C 1.$ ( $U$ может быть и неограниченным, но в этом случае его граница, если она существует, должна быть достаточно хорошо себя вести.)

Предположим, что $u \in W k,p (U)$ . Тогда рассмотрим два случая:

к < н / пилик = н,р = 1

В этом случае заключаем, что $u \in L q (U)$ , где

{\frac {1}{q}}={\frac {1}{p}}-{\frac {k}{n}}.

У нас есть в дополнение оценка

\|u\|_{L^{q}(U)}\leq C\|u\|_{W^{k,p}(U)}

константа $C$ зависит только от $k, p, n$ и $U.$

к > н / п

Здесь мы приходим к выводу, что $u$ принадлежит пространству Гёльдера , точнее:

u\in C^{k-\left[{\frac {n}{p}}\right]-1,\gamma }(U),

где

\gamma ={\begin{cases}\left[{\frac {n}{p}}\right]+1-{\frac {n}{p}}&{\frac {n}{p}}\notin \mathbf {Z} \\{\text{any element in }}(0,1)&{\frac {n}{p}}\in \mathbf {Z} \end{cases}}

У нас есть в дополнение оценка

\|u\|_{C^{k-\left[{\frac {n}{p}}\right]-1,\gamma }(U)}\leq C\|u\|_{W^{k,p}(U)},

константа $C$ зависит только от $k, p, n, γ$ и $U.$ В частности, условие гарантирует, что является непрерывной (и фактически непрерывной по Гёльдеру с некоторым положительным показателем). $k>n/p$ $u$

Случайр = н , к =1

Если , то $u$ является функцией ограниченного среднего колебания и $u\in W^{1,n}(\mathbf {R} ^{n})$

\|u\|_{BMO}\leq C\|Du\|_{L^{n}(\mathbf {R} ^{n})},

для некоторой константы $C,$ зависящей только от $n$ . ^[5]^{: §I.2} Эта оценка является следствием неравенства Пуанкаре .

неравенство Нэша

Неравенство Нэша, введенное Джоном Нэшем (1958), утверждает, что существует константа $C > 0$ , такая, что для всех $u \in L 1 (R n) \cap W 1,2 (R n)$ ,

\|u\|_{L^{2}(\mathbf {R} ^{n})}^{1+2/n}\leq C\|u\|_{L^{1}(\mathbf {R} ^{n})}^{2/n}\|Du\|_{L^{2}(\mathbf {R} ^{n})}.

Неравенство следует из основных свойств преобразования Фурье . Действительно, интегрируя по дополнению шара радиуса $ρ$ ,

потому что . С другой стороны, есть $1\leq |x|^{2}/\rho ^{2}$

|{\hat {u}}|\leq \|u\|_{L^{1}}

что при интегрировании по шару радиуса $ρ$ дает

где $ω n$ - объем $n$ -шара . Выбираем $ρ$ для минимизации суммы ( 1 ) и ( 2 ) и применяем теорему Парсеваля:

\|{\hat {u}}\|_{L^{2}}=\|u\|_{L^{2}}

дает неравенство.

В частном случае $n = 1$ неравенство Нэша можно распространить на случай $L p$ , в этом случае оно является обобщением неравенства Гальярдо-Ниренберга-Соболева (Brezis 2011, Комментарии к главе 8). Фактически, если $I$ — ограниченный интервал, то для всех $1 \leq r < \infty$ и всех $1 \leq q \leq p < \infty$ выполняется следующее неравенство

\|u\|_{L^{p}(I)}\leq C\|u\|_{L^{q}(I)}^{1-a}\|u\|_{W^{1,r}(I)}^{a},

где:

a\left({\frac {1}{q}}-{\frac {1}{r}}+1\right)={\frac {1}{q}}-{\frac {1}{p}}.

Логарифмическое неравенство Соболева

Простейшая из теорем вложения Соболева, описанная выше, утверждает, что если функция из имеет одну производную в , то она сама принадлежит , где $f$ $L^{p}(\mathbb {R} ^{n})$ $L^{p}$ $f$ $L^{p^{*}}$

1/p^{*}=1/p-1/n.

Мы видим, что при стремлении к бесконечности приближается к . Таким образом, если размерность пространства, на котором определено, велика, улучшение локального поведения от наличия производной в мало ( лишь немного больше ). В частности, для функций на бесконечномерном пространстве нельзя ожидать прямого аналога классических теорем вложения Соболева. $n$ $p^{*}$ $p$ $n$ $f$ $f$ $L^{p}$ $p^{*}$ $p$

Однако существует тип неравенства Соболева, установленный Леонардом Гроссом (Gross 1975) и известный как логарифмическое неравенство Соболева , которое имеет константы, не зависящие от размерности, и поэтому продолжает выполняться в бесконечномерной обстановке. Логарифмическое неравенство Соболева, грубо говоря, гласит, что если функция находится в относительно гауссовой меры и имеет одну производную, которая также находится в , то находится в " -log", что означает, что интеграл от конечен. Неравенство, выражающее этот факт, имеет константы, которые не включают размерность пространства, и, таким образом, неравенство выполняется в обстановке гауссовой меры на бесконечномерном пространстве. Теперь известно, что логарифмические неравенства Соболева выполняются для многих различных типов мер, а не только для гауссовых мер. $L^{p}$ $L^{p}$ $f$ $L^{p}$ $|f|^{p}\log |f|$

Хотя может показаться, что условие -log является очень небольшим улучшением по сравнению с тем, что находится в , этого улучшения достаточно, чтобы вывести важный результат, а именно гиперсжимаемость для соответствующего оператора формы Дирихле . Этот результат означает, что если функция находится в диапазоне экспоненты оператора формы Дирихле — что означает, что функция имеет, в некотором смысле, бесконечно много производных в — то функция принадлежит для некоторых (Теорема 6 Гросса 1975 г.). $L^{p}$ $L^{p}$ $L^{p}$ $L^{p^{*}}$ $p^{*}>p$

Ссылки

^ Тейлор, Майкл Э. (1997). Уравнения с частными производными I - Основная теория (2-е изд.). С. 286. ISBN 0-387-94653-5.
^ Соболев, Сергей Львович (1938). «Теорема функционального анализа». Comptes Rendus (Doklady) de l'Académie des Sciences de l'URSS, Nouvelle Série . 20 :5–9.
^ Гальярдо, Эмилио (1958). «Собственность некоторых классических функций с большим количеством вариаций». Ричерче ди Математика . 7 : 102–137.
^ Ниренберг, Луи (1959). «Об эллиптических уравнениях в частных производных». Аннали делла Нормальная школа Пизы. Класс науки. Серия III . 13 : 115–162.
^ Брезис, Х.; Ниренберг, Л. (сентябрь 1995 г.). «Теория степеней и BMO; часть I: Компактные многообразия без границ». Selecta Mathematica . 1 (2): 197–263. doi :10.1007/BF01671566. S2CID 195270732.

Адамс, Роберт А. (1975), Пространства Соболева , Чистая и прикладная математика, т. 65, Academic Press, ISBN 978-0-12-044150-1, МР 0450957.
Обен, Тьерри (1976), «Пространства Соболева среди риманских вариаций», Bulletin des Sciences Mathématiques , 2e Série, 100 (2): 149–173, MR 0488125
Обен, Тьерри (1982), Нелинейный анализ многообразий. Уравнения Монжа-Ампера , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Основные принципы математических наук], вып. 252, Springer-Verlag , номер документа : 10.1007/978-1-4612-5734-9, ISBN. 978-0-387-90704-8, МР 0681859.
Брезис, Хаим (1983), Анализ Fonctionnelle: теория и приложения , Париж: Массон , ISBN 0-8218-0772-2
Брезис, Хаим (2011), Функциональный анализ, пространства Соболева и уравнения с частными производными , Springer Science & Business Media , ISBN 978-0-387-70913-0
Эванс, Лоуренс (1998), Уравнения с частными производными , Providence RI: Американское математическое общество , ISBN 0-8218-0772-2
Гросс, Леонард (1975), «Логарифмические неравенства Соболева», American Journal of Mathematics , 97 (4): 1061–1083, doi :10.2307/2373688, JSTOR 2373688
Леони, Джованни (2009), Первый курс по пространствам Соболева, аспирантура по математике, Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-4768-8 MR 2527916, Zbl 1180.46001, обзор MAA
Мазья, Владимир Г. (1985), Пространства Соболева , Springer Series in Soviet Mathematics, Springer-Verlag, Перевод с русского Т.О. Шапошниковой.
Нэш, Дж. (1958), «Непрерывность решений параболических и эллиптических уравнений», American Journal of Mathematics , 80 (4): 931–954, Bibcode : 1958AmJM...80..931N, doi : 10.2307/2372841, hdl : 10338.dmlcz/101876 , JSTOR 2372841.
Нечас, Я. (2012), Прямые методы в теории эллиптических уравнений , Springer Monographs in Mathematics.
Никольский, С.М. (2001) [1994], "Теоремы вложения", Энциклопедия математики , Издательство EMS
Шикорра, Армин; Спектор, Дэниел; Ван Шафтинген, Жан (2017), « Оценка -типа для потенциалов Рисса», Revista Matemática Iberoamericana , 33 (1): 291–304, arXiv : 1411.2318 , doi : 10.4171/rmi/937, S2CID 55497245 $L^{1}$
Стайн, Элиас (1970), Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press , ISBN 0-691-08079-8