Теорема кристаллографического ограничения в своей базовой форме основывалась на наблюдении, что вращательные симметрии кристалла обычно ограничены 2-кратной, 3-кратной, 4-кратной и 6-кратной. Однако квазикристаллы могут встречаться с другими симметриями дифракционной картины, такими как 5-кратная; они не были обнаружены до 1982 года Дэном Шехтманом . [1]
Кристаллы моделируются как дискретные решетки , генерируемые списком независимых конечных трансляций (Коксетер, 1989). Поскольку дискретность требует, чтобы расстояния между точками решетки имели нижнюю границу, группа вращательных симметрий решетки в любой точке должна быть конечной группой (в качестве альтернативы, точка является единственной системой, допускающей бесконечную вращательную симметрию). Сила теоремы в том, что не все конечные группы совместимы с дискретной решеткой; в любом измерении у нас будет только конечное число совместимых групп.
Особые случаи 2D ( группы обоев ) и 3D ( группы пространства ) наиболее часто используются в приложениях, и их можно рассматривать вместе.
Симметрия вращения в измерении 2 или 3 должна перемещать точку решетки в последовательность других точек решетки в той же плоскости, образуя правильный многоугольник копланарных точек решетки. Теперь мы сосредоточим наше внимание на плоскости, в которой действует симметрия (Scherrer 1946), проиллюстрированной векторами решетки на рисунке.
Теперь рассмотрим 8-кратный поворот и векторы смещения между соседними точками многоугольника. Если смещение существует между любыми двумя точками решетки, то это же смещение повторяется везде в решетке. Поэтому соберите все смещения ребер, чтобы начать с одной точки решетки. Векторы ребер становятся радиальными векторами, и их 8-кратная симметрия подразумевает правильный восьмиугольник точек решетки вокруг точки сбора. Но это невозможно , потому что новый восьмиугольник примерно на 80% больше исходного. Значение сжатия в том, что оно неограниченно. То же самое построение можно повторить с новым восьмиугольником, и снова и снова, пока расстояние между точками решетки не станет настолько малым, насколько нам нужно; таким образом, ни одна дискретная решетка не может иметь 8-кратную симметрию. Тот же аргумент применим к любому k -кратному повороту для k больше 6.
Аргумент сокращения также устраняет 5-кратную симметрию. Рассмотрим правильный пятиугольник из точек решетки. Если он существует, то мы можем взять каждое другое смещение ребра и (голова к хвосту) собрать 5-конечную звезду, при этом последнее ребро вернется в исходную точку. Вершины такой звезды снова являются вершинами правильного пятиугольника с 5-кратной симметрией, но примерно на 60% меньше исходного.
Таким образом, теорема доказана.
Существование квазикристаллов и мозаик Пенроуза показывает, что предположение о линейной трансляции необходимо. Мозаики Пенроуза могут иметь 5-кратную вращательную симметрию и дискретную решетку, и любая локальная окрестность мозаики повторяется бесконечно много раз, но для мозаики в целом не существует линейной трансляции. И без предположения о дискретной решетке приведенная выше конструкция не только не достигает противоречия, но и создает (недискретный) контрпример. Таким образом, 5-кратная вращательная симметрия не может быть устранена аргументом, упускающим любое из этих предположений. Однако мозаика Пенроуза всей (бесконечной) плоскости может иметь только точную 5-кратную вращательную симметрию (всей мозаики) относительно одной точки, тогда как 4-кратная и 6-кратная решетки имеют бесконечно много центров вращательной симметрии.
Рассмотрим две точки решетки A и B, разделенные вектором трансляции r . Рассмотрим угол α такой, что поворот на угол α вокруг любой точки решетки является симметрией решетки. Поворот вокруг точки B на α отображает точку A в новую точку A'. Аналогично поворот вокруг точки A на α отображает B в точку B'. Поскольку оба упомянутых поворота являются операциями симметрии, A' и B' должны быть точками решетки. Из-за периодичности кристалла новый вектор r' , который их соединяет, должен быть равен целому кратному r :
с целым числом. Четыре вектора переноса, три длиной и один, соединяющий A' и B', длиной , образуют трапецию. Следовательно, длина r' также определяется как:
Объединение двух уравнений дает:
где также является целым числом. Имея в виду, что мы разрешили целые числа . Решение для возможных значений показывает, что единственными значениями в диапазоне от 0° до 180° являются 0°, 60°, 90°, 120° и 180°. В радианах единственные разрешенные вращения, соответствующие периодичности решетки, задаются как 2π/ n , где n = 1, 2, 3, 4, 6. Это соответствует 1-, 2-, 3-, 4- и 6-кратной симметрии соответственно и, следовательно, исключает возможность 5-кратной или более чем 6-кратной симметрии.
Рассмотрим линию атомов AOB , разделенных расстоянием a . Поворачиваем весь ряд на θ = +2π/ n и θ = −2π/ n , при этом точка O остается неподвижной. После поворота на +2π/ n , A перемещается в точку решетки C , а после поворота на -2π/ n , B перемещается в точку решетки D. Из-за предполагаемой периодичности решетки, две точки решетки C и D также будут находиться на линии непосредственно под исходным рядом; более того, C и D будут разделены r = ma , где m — целое число. Но по тригонометрии расстояние между этими точками равно:
Приравнивая эти два отношения, получаем:
Этому удовлетворяет только n = 1, 2, 3, 4, 6.
Для альтернативного доказательства рассмотрим свойства матрицы . Сумма диагональных элементов матрицы называется следом матрицы. В 2D и 3D каждое вращение является плоским вращением, а след является функцией только угла. Для 2D вращения след равен 2 cos θ; для 3D вращения — 1 + 2 cos θ.
Примеры
При выборе базиса, сформированного из векторов, охватывающих решетку, не гарантируется ни ортогональность, ни единичная длина, только линейная независимость. Однако след матрицы вращения одинаков относительно любого базиса. След является инвариантом подобия относительно линейных преобразований. В базисе решетки операция вращения должна отображать каждую точку решетки в целое число векторов решетки, поэтому элементы матрицы вращения в базисе решетки — и, следовательно, след — обязательно являются целыми числами. Подобно другим доказательствам, это подразумевает, что единственные допустимые симметрии вращения соответствуют 1, 2, 3, 4 или 6-кратной инвариантности. Например, обои и кристаллы не могут быть повернуты на 45° и оставаться инвариантными, единственные возможные углы: 360°, 180°, 120°, 90° или 60°.
Пример
Общее кристаллографическое ограничение на вращения не гарантирует, что вращение будет совместимо с конкретной решеткой. Например, вращение на 60° не будет работать с квадратной решеткой; а вращение на 90° не будет работать с прямоугольной решеткой.
Когда размерность решетки увеличивается до четырех или более, вращения больше не должны быть плоскими; двумерное доказательство недостаточно. Однако ограничения все еще применяются, хотя допустимо больше симметрий. Например, гиперкубическая решетка имеет восьмикратную вращательную симметрию, соответствующую восьмикратной вращательной симметрии гиперкуба . Это представляет интерес не только для математики, но и для физики квазикристаллов в рамках теории разрезания и проецирования . С этой точки зрения трехмерный квазикристалл с восьмикратной вращательной симметрией можно описать как проекцию пластины, вырезанной из четырехмерной решетки.
Следующая 4D-матрица вращения представляет собой вышеупомянутую восьмеричную симметрию гиперкуба ( и кросс-политопа ):
Преобразуем эту матрицу в новые координаты, заданные формулой
Эта третья матрица затем соответствует повороту как на 45° (в первых двух измерениях), так и на 135° (в последних двух). Проецирование плиты гиперкубов вдоль первых двух измерений новых координат создает мозаику Аммана–Бинкера (еще одна такая мозаика создается путем проецирования вдоль последних двух измерений), которая, следовательно, также имеет в среднем 8-кратную вращательную симметрию.
Решетка A4 и решетка F4 имеют вращательную симметрию 10-го и 12-го порядка соответственно.
Чтобы сформулировать ограничение для всех измерений, удобно отвлечься от одних только вращений и сосредоточиться на целочисленных матрицах (Bamberg, Cairns & Kilminster 2003). Мы говорим, что матрица A имеет порядок k , когда ее k -я степень (но не ниже), A k , равна единице. Таким образом, 6-кратная матрица вращения в базисе равностороннего треугольника является целочисленной матрицей с порядком 6. Пусть Ord N обозначает множество целых чисел, которые могут быть порядком целочисленной матрицы N × N. Например, Ord 2 = {1, 2, 3, 4, 6}. Мы хотим сформулировать явную формулу для Ord N .
Определим функцию ψ на основе функции тотиента Эйлера φ; она будет отображать положительные целые числа в неотрицательные целые числа. Для нечетного простого числа p и положительного целого числа k установим ψ( p k ) равным значению функции тотиента φ( p k ), которое в данном случае равно p k − p k−1 . Проделаем то же самое для ψ(2 k ), когда k > 1. Приравняем ψ(2) и ψ(1) к 0. Используя фундаментальную теорему арифметики , мы можем записать любое другое положительное целое число однозначно как произведение степеней простых чисел m = Π α p α k α ; установим ψ( m ) = Σ α ψ( p α k α ). Это отличается от самого тотиента, потому что это сумма, а не произведение.
Кристаллографическое ограничение в общем виде гласит, что Ord N состоит из тех положительных целых чисел m, что ψ( m ) ≤ N .
При m > 2 значения ψ( m ) равны удвоенной алгебраической степени cos(2π/ m ); следовательно, ψ( m ) строго меньше m и достигает этого максимального значения тогда и только тогда, когда m является простым числом .
Эти дополнительные симметрии не позволяют плоскому срезу иметь, скажем, 8-кратную симметрию вращения. В плоскости ограничения 2D все еще применяются. Таким образом, разрезы, используемые для моделирования квазикристаллов, обязательно имеют толщину.
Целочисленные матрицы не ограничиваются вращениями; например, отражение также является симметрией порядка 2. Но, настаивая на определителе +1, мы можем ограничить матрицы собственными вращениями .
Кристаллографическую теорему об ограничении можно сформулировать в терминах изометрий евклидова пространства . Набор изометрий может образовывать группу . Под дискретной группой изометрий мы будем понимать группу изометрий, которая отображает каждую точку в дискретное подмножество RN , т.е. орбита любой точки представляет собой набор изолированных точек . С этой терминологией кристаллографическую теорему об ограничении в двух и трех измерениях можно сформулировать следующим образом .
Изометрии порядка n включают, но не ограничиваются, n -кратными вращениями. Теорема также исключает S 8 , S 12 , D 4d и D 6d (см. точечные группы в трех измерениях ), хотя они имеют только 4- и 6-кратную вращательную симметрию. Вращательная симметрия любого порядка относительно оси совместима с трансляционной симметрией вдоль этой оси.
Результат в таблице выше подразумевает, что для каждой дискретной группы изометрий в четырех- и пятимерном пространстве, которая включает трансляции, охватывающие все пространство, все изометрии конечного порядка имеют порядок 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10 или 12.
Все изометрии конечного порядка в шести- и семимерном пространстве имеют порядок 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 18, 20, 24 или 30.
