Теорема Акса–Кохена , названная в честь Джеймса Акса и Саймона Б. Кохена , утверждает, что для каждого положительного целого числа d существует конечное множество Y d простых чисел, такое, что если p — любое простое число, не лежащее в Y d , то каждый однородный многочлен степени d над p-адическими числами по крайней мере от d 2 + 1 переменных имеет нетривиальный ноль. [1]
Доказательство теоремы широко использует методы математической логики , такие как теория моделей .
Сначала доказывается теорема Сержа Ланга , утверждающая, что аналогичная теорема верна для поля F p (( t )) формальных рядов Лорана над конечным полем F p с . Другими словами, каждый однородный многочлен степени d с более чем d 2 переменными имеет нетривиальный нуль (поэтому F p (( t )) является полем C 2 ).
Затем показывается, что если два гензелевских поля значений имеют эквивалентные группы значений и поля остатков, а поля остатков имеют характеристику 0, то они элементарно эквивалентны (что означает, что предложение первого порядка истинно для одного из них тогда и только тогда, когда оно истинно для другого).
Далее это применяется к двум полям, одно из которых задается ультрапроизведением по всем простым числам полей F p (( t )) и другое задается ультрапроизведением по всем простым числам p -адических полей Q p . Оба поля вычетов задаются ультрапроизведением по полям F p , поэтому они изоморфны и имеют характеристику 0, и обе группы значений одинаковы, поэтому ультрапроизведения элементарно эквивалентны. (Взятие ультрапроизведений используется для того, чтобы заставить поле вычетов иметь характеристику 0; поля вычетов F p (( t )) и Q p оба имеют ненулевую характеристику p .)
Элементарная эквивалентность этих ультрапроизведений подразумевает, что для любого предложения на языке нормированных полей существует конечное множество Y исключительных простых чисел, такое, что для любого p, не входящего в это множество, предложение истинно для F p (( t )) тогда и только тогда, когда оно истинно для поля p -адических чисел. Применяя это к предложению, утверждающему, что каждый непостоянный однородный многочлен степени d по крайней мере от d 2 +1 переменных представляет 0, и используя теорему Лэнга, получаем теорему Акса–Кохена.
Ян Денеф нашел чисто геометрическое доказательство гипотезы Жана-Луи Коллио-Телена, обобщающей теорему Акса–Кохена. [2] [3]
Эмиль Артин предположил, что эта теорема допускает, что конечное исключительное множество Y d является пустым (то есть, что все p -адические поля являются C 2 ), но Гай Терджанян [4] нашел следующий 2-адический контрпример для d = 4. Определим
Тогда G обладает свойством, что он равен 1 mod 4, если какой-то x нечетен, и 0 mod 16 в противном случае. Из этого легко следует, что однородная форма
степени d = 4 от 18 > d 2 переменных не имеет нетривиальных нулей над 2-адическими целыми числами.
Позднее Терджанян [5] показал, что для каждого простого числа p и кратного d > 2 числа p ( p − 1) существует форма над p -адическими числами степени d с более чем d 2 переменными, но без нетривиальных нулей. Другими словами, для всех d > 2 Y d содержит все простые числа p такие, что p ( p − 1) делит d .
Браун (1978) дал явную, но очень большую границу для исключительного множества простых чисел p . Если степень d равна 1, 2 или 3, исключительное множество пусто. Хит-Браун (2010) показал, что если d = 5, исключительное множество ограничено 13, а Вули (2008) показал, что при d = 7 исключительное множество ограничено 883, а при d = 11 — 8053.
