Теорема Веддерберна – Артина

Классификация полупростых колец и алгебр

В алгебре теорема Веддерберна -Артина является классификационной теоремой для полупростых колец и полупростых алгебр . Теорема утверждает, что (артиново) ^[a] полупростое кольцо R изоморфно произведению конечного числа колец матриц размером n _i на n _i над телами D _i , для некоторых целых чисел n _i , оба из которых однозначно определены с точностью до к перестановке индекса i . В частности, любое простое левое или правое артиново кольцо изоморфно матричному кольцу размера n на n над телом D , где и n , и D определены однозначно. ^[1]

Теорема

Пусть R — (артиново) полупростое кольцо . Тогда теорема Веддерберна-Артина утверждает, что _R изоморфно произведению конечного числа _колец матриц n _i -x i над телами Di для некоторых целых чисел n _i , оба из которых определяются однозначно с точностью до перестановки индекса я . ${\displaystyle M_{n_{i}}(D_{i})}$

Существует также версия теоремы Веддерберна–Артина для алгебр над полем k . Если R — конечномерная полупростая k -алгебра, то каждый D _i в приведенном выше утверждении является конечномерной алгеброй с делением над k . Центр каждого D _i не обязательно должен быть k ; это может быть конечное расширение k .

Обратите внимание , что если R — конечномерная простая алгебра над телом E , D не обязательно содержится в E. Например, кольца матриц над комплексными числами представляют собой конечномерные простые алгебры над действительными числами .

Доказательство

Существуют различные доказательства теоремы Веддерберна – Артина. ^{[2] [3]} Распространенный современный подход ^[4] использует следующий подход.

Предположим, что кольцо полупростое. Тогда правый -модуль изоморфен конечной прямой сумме простых модулей (которые совпадают с минимальными правыми идеалами ) . Запишите эту прямую сумму как ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R_{R}}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle R_{R}\;\cong \;\bigoplus _{i=1}^{m}I_{i}^{\oplus n_{i}}}$

где - взаимно неизоморфные простые правые -модули, причем i -й появляется с кратностью . Это дает изоморфизм колец эндоморфизмов ${\displaystyle I_{i}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle n_{i}}$

${\displaystyle \mathrm {End} (R_{R})\;\cong \;\bigoplus _{i=1}^{m}\mathrm {End} {\big (}I_{i}^{\oplus n_{i}}{\big )}}$

и мы можем отождествить его с кольцом матриц ${\displaystyle \mathrm {End} {\big (}I_{i}^{\oplus n_{i}}{\big )}}$

${\displaystyle \mathrm {End} {\big (}I_{i}^{\oplus n_{i}}{\big )}\;\cong \;M_{n_{i}}{\big (}\mathrm {End} (I_{i}){\big )}}$

где кольцо эндоморфизмов является телом по лемме Шура , поскольку оно простое. Поскольку мы заключаем ${\displaystyle \mathrm {End} (I_{i})}$ ${\displaystyle I_{i}}$ ${\displaystyle I_{i}}$ ${\displaystyle R\cong \mathrm {End} (R_{R})}$

${\displaystyle R\;\cong \;\bigoplus _{i=1}^{m}M_{n_{i}}{\big (}\mathrm {End} (I_{i}){\big )}\,.}$

Здесь мы использовали правильные модули, потому что ; если бы мы использовали левые модули, они были бы изоморфны противоположной алгебре , но доказательство все равно прошло бы. Чтобы увидеть это доказательство в более широком контексте, см. «Разложение модуля» . Доказательство важного частного случая см. в разделе «Простое артиново кольцо» . ${\displaystyle R\cong \mathrm {End} (R_{R})}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathrm {End} ({}_{R}R)}$

Последствия

Поскольку конечномерная алгебра над полем является артиновой, из теоремы Веддерберна–Артина следует, что каждая конечномерная простая алгебра над полем изоморфна n -n кольцу матриц над некоторой конечномерной алгеброй D над , где и n , и D определены однозначно. ^[1] Это было показано Джозефом Веддерберном . Позже Эмиль Артин обобщил этот результат на случай простых левых или правых артиновых колец . ${\displaystyle k}$

Поскольку единственной конечномерной алгеброй с делением над алгебраически замкнутым полем является само поле, теорема Веддерберна – Артина имеет в этом случае сильные последствия. Пусть R — полупростое кольцо , являющееся конечномерной алгеброй над алгебраически замкнутым полем . Тогда R — конечное произведение , где — целые положительные числа, и — алгебра матриц над . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \textstyle \prod _{i=1}^{r}M_{n_{i}}(k)}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle M_{n_{i}}(k)}$ ${\displaystyle n_{i}\times n_{i}}$ ${\displaystyle k}$

Более того, теорема Веддерберна-Артина сводит проблему классификации конечномерных центральных простых алгебр над полем к проблеме классификации конечномерных центральных алгебр с делением над : то есть алгебр с делением над центром которого является . Это означает, что любая конечномерная центральная простая алгебра над изоморфна матричной алгебре где – конечномерная центральная алгебра с делением над . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \textstyle M_{n}(D)}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle k}$

Смотрите также

• Теорема Машке
• Группа Брауэра
• Теорема плотности Джейкобсона
• Гиперкомплексное число
• Эмиль Артин
• Джозеф Веддерберн

Примечания

1. По используемому здесь определению полупростые кольца автоматически являются артиновыми кольцами . Однако некоторые авторы используют слово «полупростой» по-другому, имея в виду, что кольцо имеет тривиальный радикал Джекобсона . Для артиновых колец эти два понятия эквивалентны, поэтому слово «артиново» включено сюда, чтобы устранить эту двусмысленность.

Цитаты

1. Бичи 1999
2. Хендерсон 1965
3. Николсон 1993
4. Кон 2003

Рекомендации

• Бичи, Джон А. (1999). Вводные лекции по кольцам и модулям . Издательство Кембриджского университета. п. 156. ИСБН 978-0-521-64407-5.
• Кон, премьер-министр (2003). Базовая алгебра: группы, кольца и поля . стр. 137–139.
• Хендерсон, Д.В. (1965). «Краткое доказательство теоремы Веддерберна». Американский математический ежемесячник . 72 (4): 385–386. дои : 10.2307/2313499. JSTOR  2313499.
• Николсон, Уильям К. (1993). «Краткое доказательство теоремы Веддерберна – Артина» (PDF) . Новая Зеландия Дж. Математика . 22 : 83–86.
• Веддерберн, JHM (1908). «О гиперкомплексных числах». Труды Лондонского математического общества . 6 : 77–118. дои : 10.1112/plms/s2-6.1.77.
• Артин, Э. (1927). «Теория гиперкомплекса Залена». Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg . 5 : 251–260. дои : 10.1007/BF02952526. ЖФМ  53.0114.03.