Теорема Басу

Теорема в статистике

В статистике теорема Басу утверждает, что любая ограниченно полная минимальная достаточная статистика не зависит от любой вспомогательной статистики . Это результат Дебабраты Басу 1955 года . ^[1]

Он часто используется в статистике как инструмент для доказательства независимости двух статистических данных: сначала доказывается, что одна является достаточно полной, а другая является вспомогательной, а затем обращается к теореме. ^[2] Примером этого является демонстрация того, что выборочное среднее и выборочная дисперсия нормального распределения являются независимыми статистическими данными, что сделано в разделе «Примеры» ниже. Это свойство (независимость выборочного среднего и выборочной дисперсии) характеризует нормальное распределение.

Заявление

Пусть — семейство распределений на измеримом пространстве и статистика , отображающаяся из в некоторое измеримое пространство . Если является ограниченно полной достаточной статистикой для и является вспомогательной для , то при условии , не зависит от . То есть, . ${\displaystyle (P_{\theta };\theta \in \Theta )}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle (Y,{\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle T\perp \!\!\!\perp A|\theta }$

Доказательство

Пусть и будут маргинальными распределениями и соответственно. ${\displaystyle P_{\theta }^{T}}$ ${\displaystyle P_{\theta }^{A}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle A}$

Обозначим через прообраз множества под картой . Для любого измеримого множества имеем ${\displaystyle A^{-1}(B)}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$

${\displaystyle P_{\theta }^{A}(B)=P_{\theta }(A^{-1}(B))=\int _{Y}P_{\theta }(A^{-1}(B)\mid T=t)\ P_{\theta }^{T}(dt).}$

Распределение не зависит от т.к. является вспомогательным. Аналогично, не зависит от того, что достаточно. Поэтому ${\displaystyle P_{\theta }^{A}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P_{\theta }(\cdot \mid T=t)}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle \int _{Y}{\big [}P(A^{-1}(B)\mid T=t)-P^{A}(B){\big ]}\ P_{\theta }^{T}(dt)=0.}$

Обратите внимание, что подынтегральная функция (функция внутри интеграла) является функцией , а не . Следовательно, поскольку функция ограниченно полна ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle g(t)=P(A^{-1}(B)\mid T=t)-P^{A}(B)}$

равно нулю почти для всех значений и, следовательно, ${\displaystyle P_{\theta }^{T}}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle P(A^{-1}(B)\mid T=t)=P^{A}(B)}$

почти для всех . Следовательно, не зависит от . ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle T}$

Пример

Независимость выборочного среднего и выборочной дисперсии нормального распределения

Пусть X ₁ , X ₂ , ..., X _n — независимые, одинаково распределенные нормальные случайные величины со средним значением µ и дисперсией σ ² .

Тогда относительно параметра µ можно показать, что

${\displaystyle {\widehat {\mu }}={\frac {\sum X_{i}}{n}},}$

выборочное среднее — это полная и достаточная статистика — это вся информация, которую можно получить для оценки μ, и не более того — и

${\displaystyle {\widehat {\sigma }}^{2}={\frac {\sum \left(X_{i}-{\bar {X}}\right)^{2}}{n-1}},}$

выборочная дисперсия является вспомогательной статистикой – ее распределение не зависит от μ.

Поэтому из теоремы Басу следует, что эти статистики независимы при условии от , условно от . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$

Этот результат независимости также может быть доказан с помощью теоремы Кокрена .

Кроме того, это свойство (то, что выборочное среднее и выборочная дисперсия нормального распределения независимы) характеризует нормальное распределение – ни одно другое распределение не обладает этим свойством. ^[3]

Примечания

1. Басу (1955)
2. Гош, малайский; Мукхопадхьяй, Нитис; Сен, Пранаб Кумар (2011), Последовательная оценка, Ряд Уайли по вероятности и статистике, том. 904, Джон Уайли и сыновья, с. 80, ISBN 9781118165911Следующая теорема Басу ... помогает нам доказать независимость между определенными типами статистики без фактического вывода совместных и маргинальных распределений задействованных статистических данных. Это очень мощный инструмент и его часто используют...
3. Гири, RC (1936). «Распределение коэффициента «Студента» для ненормальных выборок». Приложение к журналу Королевского статистического общества . 3 (2): 178–184. дои : 10.2307/2983669. ЖФМ  63.1090.03. JSTOR  2983669.

Рекомендации

• Басу, Д. (1955). «О статистике, независимой от полной достаточной статистики». Санкхья . 15 (4): 377–380. JSTOR  25048259. MR  0074745. Збл  0068.13401.
• Мухопадьяй, Нитис (2000). Вероятность и статистический вывод . Статистика: Серия учебников и монографий. 162 . Флорида: CRC Press США. ISBN 0-8247-0379-0 . 
• Боос, Деннис Д.; Оливер, Жаклин М. Хьюз (август 1998 г.). «Применения теоремы Басу». Американский статистик . 52 (3): 218–221. дои : 10.2307/2685927. JSTOR  2685927. MR  1650407.
• Гош, малайский (октябрь 2002 г.). «Теорема Басу с приложениями: персоналистический обзор». Санкхья: Индийский статистический журнал, серия A. 64 (3): 509–531. JSTOR  25051412. MR  1985397.