Теорема Дирихле об арифметических прогрессиях

Теорема о количестве простых чисел в арифметических последовательностях

В теории чисел теорема Дирихле , также называемая теоремой Дирихле о простых числах , утверждает, что для любых двух положительных взаимно простых целых чисел a и  d существует бесконечно много простых чисел вида a  +  nd , где n также является положительным целым числом. Другими словами, существует бесконечно много простых чисел, которые сравнимы с a по модулю d . Числа вида a  +  nd образуют арифметическую прогрессию

${\displaystyle a,\ a+d,\ a+2d,\ a+3d,\ \dots ,\ }$

и теорема Дирихле утверждает, что эта последовательность содержит бесконечно много простых чисел. Теорема расширяет теорему Евклида о том, что существует бесконечно много простых чисел. Более сильные формы теоремы Дирихле утверждают, что для любой такой арифметической прогрессии сумма обратных величин простых чисел в прогрессии расходится и что различные такие арифметические прогрессии с одинаковым модулем имеют приблизительно одинаковые пропорции простых чисел. Эквивалентно, простые числа равномерно распределены (асимптотически) среди классов конгруэнтности по модулю d, содержащих взаимно простое с d число a .

Теорема названа в честь немецкого математика Петера Густава Лежена Дирихле , который доказал ее в 1837 году.

Примеры

Простые числа вида 4 n + 3 (последовательность A002145 в OEIS )

3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 67, 71, 79, 83, 103, 107, 127, 131, 139, 151, 163, 167, 179, 191, 199, 211, 223, 227, 239, 251, 263, 271, 283, ...

Они соответствуют следующим значениям n : (последовательность A095278 в OEIS )

0, 1, 2, 4, 5, 7, 10, 11, 14, 16, 17, 19, 20, 25, 26, 31, 32, 34, 37, 40, 41, 44, 47, 49, 52, 55, 56, 59, 62, 65, 67, 70, 76, 77, 82, 86, 89, 91, 94, 95, ...

Сильная форма теоремы Дирихле подразумевает, что

${\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{19}}+{\frac {1}{23}}+{\frac {1}{31}}+{\frac {1}{43}}+{\frac {1}{47}}+{\frac {1}{59}}+{\frac {1}{67}}+\cdots }$

является расходящимся рядом .

Последовательности dn  +  a с нечетным d часто игнорируются, потому что половина чисел четные, а другая половина — те же числа, что и последовательность с 2 d , если начать с n  = 0. Например, 6 n  + 1 дает те же простые числа, что и 3 n  + 1, тогда как 6 n  + 5 дает то же самое, что и 3 n  + 2, за исключением единственного четного простого числа 2. В следующей таблице перечислены несколько арифметических прогрессий с бесконечным количеством простых чисел и первые несколько единиц в каждой из них.

Распределение

Поскольку простые числа в среднем редеют в соответствии с теоремой о простых числах , то же самое должно быть верно и для простых чисел в арифметических прогрессиях. Естественно спросить о том, как простые числа распределяются между различными арифметическими прогрессиями для заданного значения d (их , по сути, d , если мы не различаем две прогрессии, разделяющие почти все свои члены). Ответ дается в такой форме: количество возможных прогрессий по модулю  d — тех, где a и d не имеют общего множителя > 1 — задается функцией Эйлера

${\displaystyle \varphi (d).\ }$

Далее, доля простых чисел в каждом из них равна

${\displaystyle {\frac {1}{\varphi (d)}}.\ }$

Например, если d — простое число q , то каждая из q  − 1 прогрессий

${\displaystyle q+1,2q+1,3q+1,\dots \ }$

${\displaystyle q+2,2q+2,3q+2,\dots \ }$

${\displaystyle \dots \ }$

${\displaystyle q+q-1,2q+q-1,3q+q-1,\dots \ }$

(все, кроме ) ${\displaystyle q,2q,3q,\dots \ }$

содержит долю 1/( q  − 1) простых чисел.

При сравнении друг с другом прогрессии с квадратичным невычетным остатком обычно имеют немного больше элементов, чем прогрессии с квадратичным вычетным остатком ( смещение Чебышева ).

История

В 1737 году Эйлер связал изучение простых чисел с тем, что сейчас известно как дзета-функция Римана: он показал, что значение сводится к отношению двух бесконечных произведений, Π p / Π ( p –1), для всех простых чисел p , и что это отношение бесконечно. ^{[1] [2]} В 1775 году Эйлер сформулировал теорему для случаев a + nd , где a = 1. ^[3] Этот особый случай теоремы Дирихле может быть доказан с помощью циклотомических многочленов . ^[4] Общая форма теоремы была впервые высказана Лежандром в его безуспешных попытках доказательства квадратичной взаимности ^[5] — как отметил Гаусс в своих Disquisitiones Arithmeticae ^[6] — но она была доказана Дирихле  (1837) с помощью L -рядов Дирихле . Доказательство смоделировано на основе более ранней работы Эйлера, связывающей дзета-функцию Римана с распределением простых чисел. Теорема представляет собой начало строгой аналитической теории чисел . ${\displaystyle \zeta (1)}$

Атле Сельберг  (1949) дал элементарное доказательство .

Доказательство

Теорема Дирихле доказывается путем демонстрации того, что значение L-функции Дирихле (нетривиального характера ) в точке 1 отлично от нуля. Доказательство этого утверждения требует некоторого исчисления и аналитической теории чисел (Serre 1973). Частный случай a = 1 (т. е. касающийся простых чисел, которые сравнимы с 1 по модулю некоторого n ) может быть доказан путем анализа поведения расщепления простых чисел в циклотомических расширениях, без использования исчисления (Neukirch 1999, §VII.6).

Обобщения

Гипотеза Буняковского обобщает теорему Дирихле на многочлены более высокой степени. Могут ли даже простые квадратичные многочлены, такие как x ² + 1 (известные из четвертой проблемы Ландау ), достигать бесконечного числа простых значений, является важной открытой проблемой .

Гипотеза Диксона обобщает теорему Дирихле на случай более чем одного многочлена.

Гипотеза Шинцеля H обобщает эти две гипотезы, т.е. обобщает более чем один полином со степенью больше единицы.

В алгебраической теории чисел теорема Дирихле обобщается до теоремы Чеботарёва о плотности .

Теорема Линника (1944) касается размера наименьшего простого числа в заданной арифметической прогрессии. Линник доказал, что прогрессия a  +  nd (когда n пробегает положительные целые числа) содержит простое число величиной не более cd ^L для абсолютных констант c и L. Последующие исследователи уменьшили L до 5.

Аналог теоремы Дирихле имеет место в рамках динамических систем ( Т. Сунады и А. Кацуды, 1990).

Шу показал, что любая арифметическая прогрессия, удовлетворяющая гипотезе теоремы Дирихле, на самом деле будет содержать произвольно длинные последовательности последовательных простых чисел. ^[7]

Смотрите также

• Теорема Бомбьери–Виноградова
• Теорема Бруна–Титчмарша
• Теорема Зигеля–Вальфиса
• Теорема Дирихле о приближении
• Теорема Грина–Тао

Примечания

1. Эйлер, Леонард (1737). «Различные наблюдения о бесконечных сериях». Комментарии Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae . 9 : 160–188.; в частности, Теорема 7 на стр. 172–174.
2. Сэндифер, К. Эдвард, Ранняя математика Леонарда Эйлера (Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки, 2007), стр. 253.
3. Леонард Эйлер, "De summa seriei ex numeris primis formatae 1/3 - 1/5 + 1/7 + 1/11 - 1/13 - 1/17 + 1/19 + 1/23 - 1/29 + 1/ 31 и т. д. ubi numeri primi formae 4 n - 1 habent Signum positivum, formae autem 4 n + 1 Signum negativum" (О сумме рядов [составленных] простых чисел, расположенных 1/3 - 1/5 + 1/7 + 1 /11 − 1/13 − 1/17 + 1/19 + 1/23 − 1/29 + 1/31 и т. д., где простые числа вида 4 n − 1 имеют положительный знак, тогда как [те] вида 4 n + 1 [имеют] отрицательный знак.) в: Леонард Эйлер, Opuscula analytica (Санкт-Петербург, Россия: Императорская Академия наук, 1785), т. 2, стр. 240–256; см. стр. 241. Со стр. 241: «Quoniam porro numeri primi praeter binarium quasi a natura in duasclasses distinguuntur, prouti fuerint vel formae 4n + 1, vel formae 4n - 1, dum Priores omnes sunt summae duorum Quadatorum, postiores vero ab hac proprietate penitus excluduntur: series reciprocae ex форматы utraque классов, scillicet: 1/5 + 1/13 + 1/17 + 1/29 + и т. д. и 1/3 + 1/7 + 1/11 + 1/19 + 1/23 + и т. д. ambae erunt pariter infinitae, id quod etiam de omnibus speciebus numerorum primorum est tenendum Ita si ex numeris primis ii. tantum excerpantur, qui sunt formae 100n + 1, cuiusmodi sunt 101, 401, 601, 701 и т. д., non solum multitudo eorum est infinita, sed etiam summa huius seriei ex illis formatae, scillicet: 1/101 + 1/401 + 1 /601 + 1/701 + 1/1201 + 1/1301 + 1/1601 + 1/1801 + 1/1901 + и т. д. etiam est infinita». (Поскольку, далее, простые числа, большие двух, как будто по природе делятся на два класса, в зависимости от того, имеют ли они вид 4 n + 1 или вид 4 n − 1, так как все первые являются суммами два квадрата, но последние полностью исключены из этого свойства: обратные ряды, образованные из обоих классов, а именно: 1/5 + 1/13 + 1/17 + 1/29 + и т.д. и 1/3 + 1/7 + 1 /11 + 1/19 + 1/23 + и т. д. оба будут одинаково бесконечны, что [свойство] также должно быть получено от всех типов простых чисел. Таким образом, если из простых чисел будут выбраны только те, которые имеют форма 100n + 1, к которым относятся виды 101, 401, 601, 701 и т. д., не только множество этих чисел бесконечно, но также и сумма ряда, образованного из этого [множества], а именно: 1/101 + 1/401 + 1/601 + 1/701 + 1/1201 + 1/1301 + 1/1601 + 1/1801 + 1/1901 + и т.д. также бесконечно.)
4. Нойкирх (1999), §I.10, Упражнение 1.
5. См.:
   • Le Gendre (1785) «Recherches d'analyse indéterminée» (Исследования интердетерминированного анализа), Histoire de l'Académie royale des Sciences, avec les mémoires de Mathématique et de Physique , стр. 465–559; см. особенно стр. 552. Со с. 552: «34. Ремарк . Il seroit peut-être nécessaire de démontrer rigoreusement une выбрал que nous avons, предполагаемый в plusieurs endroits de этой статье, знающий, что бесконечные числа премьер-министров включают в себя всю арифметическую прогрессию, не le premier terme & la raison sont premiers entr'eux, ou, ce qui revient au même, dans la formule 2mx + μ, lorsque 2m & μ n'ont point de commun diviseur Это предложение est assez démontrer, в зависимости от возможного подтверждения. что это такое действительно, при сравнении арифметической прогрессии не волнуйтесь, как в обычной прогрессии 1, 3, 5, 7 и т. д. Если вы знаете, что такое большое число терминов в этих прогрессиях, le même dans les deux, и qu'on les располагать, например, de manière que le plus grand terme soit égal & à la même Place de Part & d'autre; on verra qu'en omettant de chaque côté les кратные 3, 5, 7 и т. д. играю под определенным номером премьер-министра , il doit rester des deux côtés le même nombre de termes, ou meme il en restera moins dans la Progression 1, 3, 5, 7 и т. д. Но, как и в случае с ячейками, остальное необходимо для первых чисел, и должно быть также и в других. (34. Замечание . Возможно, будет необходимо строго доказать то, что мы предположили в нескольких местах этой статьи, а именно, что существует бесконечное множество простых чисел, входящих в каждую арифметическую прогрессию, первый член которой и разность являются взаимно простыми, или, что то же самое, в формуле 2mx + μ, когда 2m и μ не имеют общих делителей вообще. Это предложение довольно трудно доказать, однако можно убедиться в его истинности, сравнив рассматриваемую арифметическую прогрессию с обычной прогрессией 1, 3, 5, 7 и т. д. Если взять большое количество термины этих прогрессий, то же самое [количество терминов] в обоих, и если расположить их, например, таким образом, что наибольший член должен быть одинаковым и находиться в одном и том же месте в обоих; можно увидеть, что, исключая из каждого числа кратные 3, 5, 7 и т. д., вплоть до некоторого простого числа p , в обоих должно остаться одинаковое количество членов , или даже их останется меньше в прогрессии 1, 3, 5, 7 и т. д. Но как в этом [множестве] обязательно останутся простые числа, так и в другом [множестве] останутся некоторые простые числа.)
   • А. М. Лежандр, Essai sur la Théorie des Nombres (Париж, Франция: Дюпра, 1798), Введение, стр. 9–16. Из стр. 12: «XIX. … В общем, этот номер не был определен, все номера обесценены, возможно, они представлены в соответствии с формулой 4ax ± b, в этой формуле b est impair et moindre que 2a. qui ont un commun diviseur avec a, les formes restantes 4ax ± b comprendront tous les nombres premiers partagee,…» (XIX. … В общем, a — любое заданное число, все нечетные числа могут быть представлены формулой 4ax ± b , в где b нечетно и меньше 2a . Если среди всех возможных значений b удалить те, которые имеют общий делитель с a , то остальные формулы 4ax ±. b включают в себя все простые числа среди них … )
   • А. М. Лежандр, Essai sur la Théorie des Nombres , 2-е изд. (Париж, Франция: Курсье, 1808), с. 404. Со с. 404: «Soit donnée une una arithmétique Progressive quelconque A — C, 2A — C, 3A — C и т. д., dans laquelle A et C sont premiers entre eux; soit donnée aussi une suite θ, λ, μ… ψ, ω, composée de k nombres premiers impairs, pris à volonté et disposés dans un order quelconque si on appelle en général π ^(z) le z ^ième terme de la suite natural des nombres premiers 3, 5, 7, 11 и т. д., je dis que; sur π ^(k-1) условия, способствующие прогрессу Предлагается, il y en aura au moins un qui ne sera divisible par aucun des nombres Premieres θ, λ, μ… ψ, ω». (Пусть дана любая арифметическая прогрессия A − C , 2 A − C , 3 A − C и т. д., в которой A и C являются простыми между собой [т. е. взаимно простыми]; пусть также даны ряды θ, λ , μ … ψ, ω, составленные из k нечетных простых чисел, взятых по желанию и расположенных в любом порядке; если назвать в общем случае π ^{( z )} z -й ^член натурального ряда простых чисел 3, 5, 7, 11, и т. д., я утверждаю, что среди π ^{( k −1)} последовательных членов предлагаемой прогрессии найдется по крайней мере один, который не будет делиться ни на одно из простых чисел θ, λ, μ … ψ, ω. ) Это утверждение было опровергнуто в 1858 году Антанасом Луи Дюпре (1808–1869). См.:

   • Дюпре, А. (1859) Examen d'une proposition de Legendrerelative à la théorie des nombres [Исследование предложения Лежандра относительно теории чисел] (Париж, Франция: Малле-Башелье, 1859).
   • Наркевич, Владислав, Развитие теории простых чисел: от Евклида до Харди и Литтлвуда (Берлин, Германия: Springer, 2000); см. особенно стр. 50.

6. Карл Фридрих Гаусс, Disquisitiones arithmeticae (Лейпциг, (Германия): Герхард Фляйшер-младший, 1801), раздел 297, стр. 507–508. Со стр. 507–508: «Ill. Le Gendre ipse Fatetur, демострация теорематис, sub tali forma kt + l , designantibus k , l numeros inter se primos datos, t indefinitum, certo contineri numeros primos, satis difficilem videri, Methodumque obiter addigitat , quae forsan illuc conducere possit; (Сам прославленный Ле Жандр признает, [что] доказательство теоремы — [а именно, что] среди [целых чисел] вида kt + l , [где] k и l обозначают заданные целые числа, [которые] являются простыми между собой [т.е. , взаимно простое число] [и] t обозначает переменную, несомненно, простые числа содержатся — кажется достаточно сложным, и, между прочим, он указывает метод, который, возможно, мог бы к этому привести; однако, многие предварительные и необходимые исследования [предвидены] нами прежде чем эта [гипотеза] действительно сможет достичь пути к строгому доказательству.)
7. Шиу, Д.К.Л. (2000). «Строки конгруэнтных простых чисел». J. London Math. Soc . 61 (2): 359–373. doi :10.1112/s0024610799007863.

Ссылки

• Апостол, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел , Бакалаврские тексты по математике, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR  0434929, Zbl  0335.10001
• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Дирихле». MathWorld .
• Крис Колдуэлл, «Теорема Дирихле о простых числах в арифметических прогрессиях» на Prime Pages .
• Дирихле, PGL (1837), «Beweis des Satzes, dass jede unbegrenzte arithmetische Progression, deren erstes Glied und Differenz ganze Zahlen ohne gemeinschaftlichen Factor sind, unendlich viele Primzahlen enthält» [Доказательство теоремы о том, что каждая неограниченная арифметическая прогрессия, первый член которой и общая разность — целые числа без общих делителей, содержит бесконечно много простых чисел], Abhandlungen der Königlichen Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin , 48 : 45–71.
• Нойкирх, Юрген (1999), Алгебраическая теория чисел. Переведено с немецкого оригинала 1992 года и с примечанием Норберта Шаппахера , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Фундаментальные принципы математических наук], том. 322, Берлин: Springer-Verlag , ISBN 3-540-65399-6, MR  1697859, Zbl  0956.11021.
• Сельберг, Атле (1949), «Элементарное доказательство теоремы Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии», Annals of Mathematics , 50 (2): 297–304, doi :10.2307/1969454, JSTOR  1969454, Zbl  0036.30603.
• Серр, Жан-Пьер (1973), Курс арифметики , Graduate Texts in Mathematics , т. 7, Нью-Йорк; Гейдельберг; Берлин: Springer-Verlag , ISBN 3-540-90040-3, ЗБЛ  0256.12001.
• Сунады, Тошикадзу ; Кацуда, Ацуши (1990), «Замкнутые орбиты в классах гомологии», Publ. Math. IHÉS , 71 : 5–32, doi :10.1007/BF02699875, S2CID  26251216.

Внешние ссылки

• Сканы оригинальной статьи на немецком языке
• Дирихле: существует бесконечно много простых чисел во всех арифметических прогрессиях, где первый член и разность взаимно просты. Английский перевод оригинальной статьи в arXiv
• Теорема Дирихле Джея Варендорфа, Wolfram Demonstrations Project .