Теорема Дюпена

Ортогональные поверхности через точку

Две плоскости (фиолетовая, синяя) как элементы тройной ортогональной системы пересекают цилиндр по линиям кривизны (синий круг, фиолетовая линия)

В дифференциальной геометрии теорема Дюпена , названная в честь французского математика Шарля Дюпена , представляет собой утверждение: ^[1]

• Кривая пересечения любой пары поверхностей различных пучков тройной ортогональной системы является линией кривизны .

Тройная ортогональная система поверхностей состоит из трех пучков поверхностей, таких, что любая пара поверхностей из разных пучков пересекается ортогонально.

Самый простой пример тройной ортогональной системы состоит из координатных плоскостей и их параллелей. Но этот пример не представляет интереса, поскольку плоскость не имеет линий кривизны.

Простой пример хотя бы с одним пучком криволинейных поверхностей: 1) все прямые круговые цилиндры с осью z в ​​качестве оси, 2) все плоскости, содержащие ось z, 3) все горизонтальные плоскости (см. схему).

Линия кривизны — это кривая на поверхности, которая в любой точке имеет направление главной кривизны (максимальной или минимальной кривизны). Набор линий кривизны прямого кругового цилиндра состоит из набора окружностей (максимальная кривизна) и линий (минимальная кривизна). Плоскость не имеет линий кривизны, поскольку любая нормальная кривизна равна нулю. Следовательно, интерес представляют только линии кривизны цилиндра: Горизонтальная плоскость пересекает цилиндр по окружности, а вертикальная плоскость имеет общие линии с цилиндром.

Идею трехкратных ортогональных систем можно рассматривать как обобщение ортогональных траекторий . Особыми примерами являются системы софокусных конических сечений .

Приложение

Теорема Дюпена является инструментом для определения линий кривизны поверхности путем пересечения с подходящими поверхностями (см. примеры), без трудоемкого вычисления производных и главных кривизн. Следующий пример показывает, что вложение поверхности в тройную ортогональную систему не является единственным.

Примеры

Прямой круговой конус

Дано: Прямой круговой конус, на схеме зеленый.
Требуется: Линии кривизны.

ортогональная система (фиолетовая, зеленая, синяя) поверхностей для конуса (зеленый), линии кривизны: зеленые, красные

1. карандаш : Сдвиг заданного конуса C с вершиной S вдоль его оси порождает пучок конусов (зеленый).
2. карандаш : Конусы с вершинами на оси заданного конуса, такие, что прямые ортогональны прямым данного конуса (синий).
3. карандаш : Плоскости, проходящие через ось конуса (фиолетовый).

Эти три пучка поверхностей являются ортогональной системой поверхностей. Синие конусы пересекают данный конус C по окружности (красной). Фиолетовые плоскости пересекаются по линиям конуса C (зеленой).

Альтернатива со сферами

Точки пространства можно описать сферическими координатами . Положим S=M=origin. ${\displaystyle (r,\varphi ,\theta )}$

1. карандаш: Конусы с вершиной S, оси которых являются осями данного конуса C (зеленый): . 2. карандаш: Сферы с центром в точке M=S (синий): 3. карандаш: Плоскости, проходящие через ось конуса C (фиолетовый): . ${\displaystyle (r,\varphi ,\theta _{0})}$
${\displaystyle (r_{0},\varphi ,\theta )}$
${\displaystyle (r,\varphi _{0},\theta )}$

Тор

Ортогональная система (фиолетовая, зеленая, синяя) поверхностей для тора (зеленый)
Линии кривизны: зеленые, красные

1. карандаш : Торы с одной и той же направляющей (зеленые).
2. карандаш : Конусы, содержащие направляющую окружность тора с вершинами на оси тора (синие).
3. карандаш : Плоскости, содержащие ось данного тора (фиолетовые).

Синие конусы пересекают тор по горизонтальным окружностям (красным). Фиолетовые плоскости пересекаются по вертикальным окружностям (зеленым).

Линии кривизны тора образуют сетку ортогональных окружностей.

Тор содержит больше окружностей: окружности Вилларсо , которые не являются линиями кривизны.

Поверхность вращения

Ортогональная система для поверхности вращения (зеленая)

Обычно поверхность вращения определяется образующей плоской кривой (меридианом) . Вращение вокруг оси порождает поверхность вращения. Метод, используемый для конуса и тора, можно распространить на поверхность вращения: ${\displaystyle m_{0}}$ ${\displaystyle m_{0}}$

1. карандаш : Поверхности, параллельные данной поверхности вращения.
2. карандаш : Конусы с вершинами на оси вращения с образующими, ортогональными данной поверхности (синие).
3. карандаш : Плоскости, содержащие ось вращения (фиолетовые).

Конусы пересекают поверхность вращения по окружностям (красные). Фиолетовые плоскости пересекаются по меридианам (зеленые). Следовательно:

• Линии кривизны поверхности вращения — это горизонтальные окружности и меридианы.

Конфокальные квадрики

Эллипсоид с линиями кривизны

Гиперболоид с линиями кривизны

Статья confocal conic sections также посвящена confocal quadrics . Они являются ярким примером нетривиальной ортогональной системы поверхностей. Теорема Дюпена показывает, что

линии кривизны любого из квадрик можно рассматривать как кривые пересечения с квадриками из других пучков (см. диаграммы).

Конфокальные квадрики никогда не являются вращательными квадриками, поэтому результат на поверхностях вращения (выше) не может быть применен. Линии кривизны являются кривыми ig степени 4. (Линии кривизны вращательных квадрик всегда являются коническими сечениями!)

Эллипсоид (см. схему)

Полуоси: . Линии кривизны — сечения с однополостными (синими) и двухполостными (фиолетовыми) гиперболоидами . Красные точки — точки омбилии . ${\displaystyle \;a=1,\;b=0.8,\;c=0.6\;}$

Однополостный гиперболоид (см. схему)

Полуоси: Линии кривизны являются пересечениями с эллипсоидами (синие) и двуполостными гиперболоидами (фиолетовые). ${\displaystyle \;a=0.67,\;b=0.3,\;c=0.44\;}$

Циклиды Дюпена

Кольцевая циклида с ее фокальными кониками (темно-красный: эллипс, темно-синий: гипербола). Фиолетовый: нормаль к поверхности и общая линия двух конусов в точке P

Циклида Дюпена и ее параллели определяются парой фокальных конических сечений. На схеме изображена кольцевая циклида вместе с ее фокальными коническими сечениями (эллипс: темно-красный, гипербола: темно-синий). Циклиду можно рассматривать как элемент ортогональной системы поверхностей:

1. карандаш : параллельные поверхности циклиды.
2. карандаш: прямые круговые конусы, проходящие через эллипс (их вершины находятся на гиперболе)
3. карандаш: прямые круговые конусы, проходящие через гиперболу (их вершины находятся на эллипсе)

Особенностью циклида является свойство:

Линии кривизны циклиды Дюпена — окружности .

Доказательство теоремы Дюпена

Любая рассматриваемая точка содержится ровно в одной поверхности любого пучка ортогональной системы. Три параметра, описывающие эти три поверхности, можно рассматривать как новые координаты. Следовательно, любая точка может быть представлена ​​как: ${\displaystyle u,v,w}$

${\displaystyle x=x(u,v,w)}$

${\displaystyle y=y(u,v,w)}$

${\displaystyle z=z(u,v,w)\quad }$или коротко: ${\displaystyle \quad {\vec {x}}={\vec {x}}(u,v,w)\;.}$

Для примера (цилиндр) в свинце новые координаты — радиус фактического цилиндра, угол между вертикальной плоскостью и осью x и высота горизонтальной плоскости. Следовательно, можно считать цилиндрическими координатами точки рассмотрения. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle r,\varphi ,\zeta }$

Условие «поверхности пересекаются ортогонально» в точке означает, что нормали к поверхностям попарно ортогональны. Это верно, если ${\displaystyle {\vec {x}}(u,v,w)}$ ${\displaystyle \;{\vec {x}}_{u}\times {\vec {x}}_{v},\;{\vec {x}}_{v}\times {\vec {x}}_{w},\;{\vec {x}}_{w}\times {\vec {x}}_{u}}$

${\displaystyle {\vec {x}}_{u},\;{\vec {x}}_{v},\;{\vec {x}}_{w}\quad }$попарно ортогональны. Это свойство можно проверить с помощью тождества Лагранжа .

Следовательно

(1) ${\displaystyle \quad {\vec {x}}_{u}\cdot {\vec {x}}_{v}=0,\quad {\vec {x}}_{v}\cdot {\vec {x}}_{w}=0,\quad {\vec {x}}_{w}\cdot {\vec {x}}_{u}=0\;.}$

Выводя эти уравнения для переменной, которая не содержится в уравнении, получаем

${\displaystyle {\vec {x}}_{uw}\cdot {\vec {x}}_{v}+{\vec {x}}_{u}\cdot {\vec {x}}_{vw}=0\;,}$

${\displaystyle {\vec {x}}_{uv}\cdot {\vec {x}}_{w}+{\vec {x}}_{v}\cdot {\vec {x}}_{uw}=0\;,}$

${\displaystyle {\vec {x}}_{vw}\cdot {\vec {x}}_{u}+{\vec {x}}_{w}\cdot {\vec {x}}_{vw}=0\;.}$

Решение этой линейной системы для трех появляющихся скалярных произведений дает:

(2) ${\displaystyle \quad {\vec {x}}_{uv}\cdot {\vec {x}}_{w}=0,\quad {\vec {x}}_{vw}\cdot {\vec {x}}_{u}=0,\quad {\vec {x}}_{uw}\cdot {\vec {x}}_{v}=0\;.}$

Из (1) и (2) : Три вектора ортогональны вектору и, следовательно, линейно зависимы (лежат в общей плоскости), что можно выразить следующим образом: ${\displaystyle {\vec {x}}_{u},{\vec {x}}_{v},{\vec {x}}_{uv}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}_{w}}$

(3) ${\displaystyle \quad \det({\vec {x}}_{uv},{\vec {x}}_{u},{\vec {x}}_{v})=0\;.}$

Из уравнения (1) получаем (коэффициент первой фундаментальной формы ), а из уравнения (3) : (коэффициент второй фундаментальной формы ) поверхности . ${\displaystyle F=0}$
${\displaystyle M=0}$ ${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {x}}(u,v,w_{0})}$

Следствие: кривые параметров представляют собой линии кривизны.

Аналогичный результат верен и для двух других поверхностей, проходящих через точку . ${\displaystyle {\vec {x}}(u_{0},v_{0},w_{0})}$

Ссылки

1. В. Блашке: Vorlesungen über Differentialgeometry 1 , Springer-Verlag, 1921, S. 63

• HSM Coxeter : Введение в геометрию , Wiley, 1961, стр. 11, 258.
• Ч. Дюпен: Развитие геометрии , Париж, 1813 г.
• Ф. Кляйн : Vorlesungen über Höhere Geometrie , Springer-Verlag, 2013, ISBN  3642886744 , стр. 9.
• Людвиг Шлефли : Über die allgemeinste Flächenschar zweiten Grades, die mit irgend zwei anderen Flächenscharen ein ortagonales System bildet , в L. Schläfli: Gesammelte mathematische Abhandlungen p. 163, Springer-Verlag, 2013, ISBN 3034841167 . 
• Дж. Вайнгартен : Über die Bedingung, unter welcher eine Flächenfamilie einem ortagonalen Flächensystem angehört. , Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 1877, Heft 83, стр. 1–12, ISSN (онлайн) 1435–5345, ISSN (печать) 0075–4102.
• TJ Willmore: Введение в дифференциальную геометрию , Courier Corporation, 2013, ISBN 0486282104 , стр. 295.