Идеальное свойство

В математической области дескриптивной теории множеств подмножество польского пространства имеет свойство совершенного множества , если оно либо счетно , либо имеет непустое совершенное подмножество (Kechris 1995, стр. 150). Обратите внимание, что иметь свойство совершенного множества — это не то же самое, что быть совершенным множеством .

Поскольку непустые совершенные множества в польском пространстве всегда имеют мощность континуума , а действительные числа образуют польское пространство, множество действительных чисел со свойством совершенного множества не может быть контрпримером к гипотезе континуума , сформулированной в форме, что каждое несчетное множество действительных чисел имеет мощность континуума.

Теорема Кантора –Бендиксона утверждает, что замкнутые множества польского пространства X обладают свойством совершенного множества в особенно сильной форме: любое замкнутое подмножество X может быть записано единственным образом как непересекающееся объединение совершенного множества и счетного множества. В частности, каждое несчетное польское пространство обладает свойством совершенного множества и может быть записано как непересекающееся объединение совершенного множества и счетного открытого множества .

Аксиома выбора подразумевает существование множеств действительных чисел, которые не обладают свойством совершенного множества, например, множества Бернштейна . Однако в модели Соловея , которая удовлетворяет всем аксиомам ZF , но не аксиоме выбора, каждое множество действительных чисел обладает свойством совершенного множества, поэтому использование аксиомы выбора необходимо. Каждое аналитическое множество обладает свойством совершенного множества. Из существования достаточно больших кардиналов следует , что каждое проективное множество обладает свойством совершенного множества.

Обобщения

Пусть будет наименьшим несчетным ординалом . В аналоге пространства Бэра , полученном из -кратного декартова произведения с самим собой, любое замкнутое множество является несвязным объединением -совершенного множества и множества мощности , где -замкнутость множества определяется с помощью топологической игры , в которой разыгрываются члены из . ^[1] $\омега _{1}$ $\омега _{1}$ $\омега _{1}$ $\омега _{1}$ $\leq \aleph _{1}$ $\омега _{1}$ $\omega _{1}^{\omega _{1}}$

Ссылки

Кехрис, Александр С. (1995), Классическая описательная теория множеств , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-1-4612-8692-9

Цитаты

^ Й. Вяэнянен, "Теорема Кантора-Бендиксона для пространства ω 1 ω 1 {\displaystyle \omega _{1}^{\omega _{1}}} ". Fundamenta Mathematicae, том. 137, вып. 3, стр. 187-199 (1991).