Теорема Лежандра о сферических треугольниках

В геометрии теорема Лежандра о сферических треугольниках , названная в честь Адриена-Мари Лежандра , формулируется следующим образом:

Пусть ABC — сферический треугольник на единичной сфере с малыми сторонами a , b , c . Пусть A'B'C' — плоский треугольник с теми же сторонами. Тогда углы сферического треугольника превышают соответствующие углы плоского треугольника примерно на одну треть сферического избытка (сферический избыток — это величина, на которую сумма трех углов превышает π ).

Теорема сыграла очень важную роль в упрощении сложной числовой работы по вычислению результатов традиционных (до GPS и до компьютеров) геодезических съемок примерно с 1800 года до середины двадцатого века.

Теорема была сформулирована Лежандром (1787), который предоставил доказательство ^[1] в дополнении к отчету об измерении французской меридиональной дуги, используемой при определении метра . [ ^2] Лежандр не утверждает, что он был создателем теоремы, несмотря на приписывание ее ему. Тропфке (1903) утверждает, что метод был широко распространен среди геодезистов в то время и, возможно, использовался еще в 1740 году Ла Кондамином для расчета перуанской меридиональной дуги . ^[3]

Теорема Жирара утверждает, что сферический избыток треугольника E равен его площади Δ, и поэтому теорему Лежандра можно записать как

${\displaystyle {\begin{aligned}A-A'\;\approx \;B-B'\;\approx \;C-C'\;\approx \;{\frac {1}{3}}E\;=\;{\frac {1}{3}}\Delta ,\qquad a,\;b,\;c\,\ll \,1.\end{aligned}}}$

Избыток или площадь малых треугольников очень малы. Например, рассмотрим равносторонний сферический треугольник со сторонами 60 км на сферической Земле радиусом 6371 км; сторона соответствует угловому расстоянию 60/6371=.0094, или приблизительно 10−2 ^радиан (стягивая угол 0,57° в центре). Площадь такого малого треугольника хорошо аппроксимируется площадью плоского равностороннего треугольника с теми же сторонами:  = 0,0000433 радиан, что соответствует 8,9″. ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}a^{2}\sin {\tfrac {\pi }{3}}}$

При сторонах треугольников, превышающих 180 км, для которых превышение составляет около 80″, соотношения между площадями и разностями углов должны быть скорректированы членами четвертого порядка по сторонам, составляющими не более 0,01″:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta &=\Delta '\left(1+{\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{24}}\right),\\A&=A'+{\frac {\Delta }{3}}+{\frac {\Delta }{180}}\left(-2a^{2}+b^{2}+c^{2}\right),\\B&=B'+{\frac {\Delta }{3}}+{\frac {\Delta }{180}}\left({\quad a^{2}-2b^{2}+c^{2}}\right),\\C&=C'+{\frac {\Delta }{3}}+{\frac {\Delta }{180}}\left({\quad a^{2}+b^{2}-2c^{2}}\right).\end{aligned}}}$

( — площадь плоского треугольника.) Этот результат был доказан Бузенгейгером (1818). ^[4] ${\displaystyle \Delta '}$

Теорема может быть распространена на эллипсоид, если , , вычисляются путем деления истинных длин на квадратный корень из произведения главных радиусов кривизны ^[5] на срединной широте вершин (вместо сферического радиуса). Гаусс предоставил более точные формулы. ^[6] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

Ссылки

1. Лежандр (1798).
2. Деламбр (1798).
3. Тропфке (1903).
4. Бузенгейгер (1818). Расширенное доказательство можно найти в Osborne (2013) (Приложение D13). Другие результаты рассмотрены Надеником (2004).
5. См. Osborne (2013), Глава 5.
6. Гаусс (1828), ст. 26–28.

Библиография

• Бюзенгейгер, Карл Гериберт Игнац (1818), «Vergleichung zweier kleiner Dreiecke von gleichen Seiten, wovon das eine sphärisch, das andere eben ist», Zeitschrift für Astronomie und verwandte Wissenschaften , 6 : 264–270
• Кларк, Александр Росс (1880), Геодезия, Clarendon Press
• Деламбр, Жан-Батист (1798), Аналитические методы для определения дуги меридиена, Дюпра, doi : 10.3931/E-RARA-1836 - через библиотеку ETH Zürich
• Гаусс, CF (1902) [1828], Общие исследования кривых поверхностей 1827 и 1825 годов, Princeton Univ. Lib; Английский перевод Disquisitiones Generales Circa Superficies Curvas (Дитерих, Геттинген, 1828 г.).
• Лежандр, Адриен-Мари (1787), «Мемуар о тригонометрических операциях, не результаты, зависящие от фигуры Земли», стр. 7 (Статья VI [1])
• Лежандр, Адриен-Мари (1798), «Метод определения длины точного кварта меридиена д'апре-леж наблюдения за мерой дуги, состоящей из Дюнкерка и Барселоны», стр. 12–14 (Примечание III [2])
• Наденик, Збынек (2004), Теорема Лежандра о сферических треугольниках (PDF) , архивировано из оригинала (PDF) 2014-01-16
• Осборн, Питер (2013), Проекции Меркатора, архивировано из оригинала 24.09.2013
• Тропфке, Йоханнес (1903), Geschichte der Elementar-Mathematik (Том 2)., Verlag von Veit, стр. 295