Теорема Паппуса о центроиде

Результаты по площадям и объемам поверхностей и тел вращения

Теорема применена к открытому цилиндру, конусу и сфере для получения их площадей поверхности. Центроиды находятся на расстоянии a (красным) от оси вращения.

В математике теорема Паппуса о центроиде (также известная как теорема Гульдинуса , теорема Паппуса–Гульдинуса или теорема Паппуса ) — одна из двух взаимосвязанных теорем, касающихся площадей и объемов поверхностей и тел вращения.

Эти теоремы приписываются Паппусу Александрийскому ^[a] и Полу Гульдину . ^[b] Формулировка этой теоремы Паппусом впервые появилась в печати в 1659 году, но она была известна и раньше, Кеплеру в 1615 году и Гульдину в 1640 году. ^[4]

Первая теорема

Первая теорема утверждает, что площадь поверхности A поверхности вращения, образованной вращением плоской кривой C вокруг оси , внешней по отношению к C и лежащей в той же плоскости, равна произведению длины дуги s кривой C на расстояние d , пройденное геометрическим центроидом C : $${\displaystyle A=sd.}$$

Например, площадь поверхности тора с малым радиусом r и большим радиусом R равна $${\displaystyle A=(2\pi r)(2\pi R)=4\pi ^{2}Rr.}$$

Доказательство

Кривая, заданная положительной функцией , ограничена двумя точками, заданными формулой: ${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle a\geq 0}$и ${\displaystyle b\geq a}$

Если — бесконечно малый линейный элемент, касательный к кривой, то длина кривой определяется по формуле: ${\displaystyle dL}$

$${\displaystyle L=\int _{a}^{b}dL=\int _{a}^{b}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}\,dx}$$

Компонента центроида этой кривой равна: ${\displaystyle y}$

$${\displaystyle {\bar {y}}={\frac {1}{L}}\int _{a}^{b}y\,dL={\frac {1}{L}}\int _{a}^{b}y{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}\,dx}$$

Площадь поверхности, полученной вращением кривой вокруг оси x, определяется по формуле:

$${\displaystyle A=2\pi \int _{a}^{b}y\,dL=2\pi \int _{a}^{b}y{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}\,dx}$$

Используя последние два уравнения для исключения интеграла, имеем:

$${\displaystyle A=2\pi {\bar {y}}L}$$

Вторая теорема

Вторая теорема утверждает, что объем V тела вращения, образованного вращением плоской фигуры F вокруг внешней оси, равен произведению площади A фигуры F на расстояние d , пройденное геометрическим центроидом фигуры F. (Центроид фигуры F обычно отличается от центроида ее граничной кривой C. ) То есть: $${\displaystyle V=Ad.}$$

Например, объем тора с малым радиусом r и большим радиусом R равен $${\displaystyle V=(\pi r^{2})(2\pi R)=2\pi ^{2}Rr^{2}.}$$

Этот особый случай был выведен Иоганном Кеплером с использованием бесконечно малых величин. ^[c]

Доказательство 1

Область, ограниченная двумя функциями:

$${\displaystyle y=f(x),\,\qquad y\geq 0}$$

$${\displaystyle y=g(x),\,\qquad f(x)\geq g(x)}$$

и ограничен двумя линиями:

${\displaystyle x=a\geq 0}$и ${\displaystyle x=b\geq a}$

определяется по формуле:

$${\displaystyle A=\int _{a}^{b}dA=\int _{a}^{b}[f(x)-g(x)]\,dx}$$

Компонента центроида этой области определяется по формуле: ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{A}}\,\int _{a}^{b}x\,[f(x)-g(x)]\,dx}$$

Если эту область вращать вокруг оси Y, то полученный объем можно рассчитать с помощью метода оболочек. Он определяется по формуле:

$${\displaystyle V=2\pi \int _{a}^{b}x\,[f(x)-g(x)]\,dx}$$

Используя последние два уравнения для исключения интеграла, имеем:

$${\displaystyle V=2\pi {\bar {x}}A}$$

Доказательство 2

Пусть будет площадью , телом вращения , и объемом . Предположим, что начинается в плоскости и вращается вокруг оси . Расстояние от центра тяжести до оси равняется ее координате , и теорема утверждает, что ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle xz}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle R={\frac {\int _{F}x\,dA}{A}},}$$ $${\displaystyle V=Ad=A\cdot 2\pi R=2\pi \int _{F}x\,dA.}$$

Чтобы показать это, пусть будет в плоскости xz , параметризованной для , областью параметров. Поскольку по сути является отображением из в , площадь задается формулой замены переменных : где — определитель матрицы Якоби замены переменных. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbf {\Phi } (u,v)=(x(u,v),0,z(u,v))}$ ${\displaystyle (u,v)\in F^{*}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle F}$ $${\displaystyle A=\int _{F}dA=\iint _{F^{*}}\left|{\frac {\partial (x,z)}{\partial (u,v)}}\right|\,du\,dv=\iint _{F^{*}}\left|{\frac {\partial x}{\partial u}}{\frac {\partial z}{\partial v}}-{\frac {\partial x}{\partial v}}{\frac {\partial z}{\partial u}}\right|\,du\,dv,}$$ ${\displaystyle \left|{\tfrac {\partial (x,z)}{\partial (u,v)}}\right|}$

Твердое тело имеет тороидальную параметризацию для в области параметров ; и его объем равен ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}(u,v,\theta )=(x(u,v)\cos \theta ,x(u,v)\sin \theta ,z(u,v))}$ ${\displaystyle (u,v,\theta )}$ ${\displaystyle W^{*}=F^{*}\times [0,2\pi ]}$ $${\displaystyle V=\int _{W}dV=\iiint _{W^{*}}\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,\theta )}}\right|\,du\,dv\,d\theta .}$$

Расширяясь, $${\displaystyle {\begin{aligned}\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,\theta )}}\right|&=\left|\det {\begin{bmatrix}{\frac {\partial x}{\partial u}}\cos \theta &{\frac {\partial x}{\partial v}}\cos \theta &-x\sin \theta \\[6pt]{\frac {\partial x}{\partial u}}\sin \theta &{\frac {\partial x}{\partial v}}\sin \theta &x\cos \theta \\[6pt]{\frac {\partial z}{\partial u}}&{\frac {\partial z}{\partial v}}&0\end{bmatrix}}\right|\\[5pt]&=\left|-{\frac {\partial z}{\partial v}}{\frac {\partial x}{\partial u}}\,x+{\frac {\partial z}{\partial u}}{\frac {\partial x}{\partial v}}\,x\right|=\ \left|-x\,{\frac {\partial (x,z)}{\partial (u,v)}}\right|=x\left|{\frac {\partial (x,z)}{\partial (u,v)}}\right|.\end{aligned}}}$$

Последнее равенство выполняется, поскольку ось вращения должна быть внешней по отношению к , то есть . Теперь, с помощью замены переменных. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle x\geq 0}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}V&=\iiint _{W^{*}}\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,\theta )}}\right|\,du\,dv\,d\theta \\[1ex]&=\int _{0}^{2\pi }\!\!\!\!\iint _{F^{*}}x(u,v)\left|{\frac {\partial (x,z)}{\partial (u,v)}}\right|du\,dv\,d\theta \\[6pt]&=2\pi \iint _{F^{*}}x(u,v)\left|{\frac {\partial (x,z)}{\partial (u,v)}}\right|\,du\,dv\\[1ex]&=2\pi \int _{F}x\,dA\end{aligned}}}$$

Обобщения

При соответствующих условиях теоремы можно обобщить для произвольных кривых и форм.

Гудман и Гудман ^[6] обобщают вторую теорему следующим образом. Если фигура F движется в пространстве так, что она остается перпендикулярной кривой L, прочерченной центроидом F , то она выметает тело объемом V = Ad , где A — площадь F , а d — длина L. (Это предполагает, что тело не пересекает само себя.) В частности, F может вращаться вокруг своего центроида во время движения.

Однако соответствующее обобщение первой теоремы верно только в том случае, если кривая L , описываемая центроидом, лежит в плоскости , перпендикулярной плоскости C.

Вн-размеры

В общем случае можно создать размерное тело, вращая размерное тело вокруг размерной сферы. Это называется -телом вращения вида . Пусть -й центроид определяется как ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n-p}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle F}$

$${\displaystyle R={\frac {\iint _{F}x^{p}\,dA}{A}},}$$

Тогда теоремы Паппуса обобщаются следующим образом: ^[7]

Объем -тела вращения вида = (Объем порождающего -тела) (Площадь поверхности -сферы, очерченной -м центроидом порождающего -тела) ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$
${\displaystyle (n{-}p)}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

и

Площадь поверхности -тела вращения вида = (Площадь поверхности порождающего -тела) (Площадь поверхности -сферы, очерченной -м центроидом порождающего -тела) ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$
${\displaystyle (n{-}p)}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

Исходные теоремы относятся к случаю . ${\displaystyle n=3,\,p=1}$

Сноски

1. См.: ^[1]

   Те, кто смотрит на эти вещи, едва ли превозносятся, как древние и все, кто писал более прекрасные вещи. Когда я вижу, что все заняты начатками математики и материалом для исследований, который природа нам предлагает, мне становится стыдно; я же доказал вещи, которые гораздо ценнее и предлагают много приложений. Чтобы не заканчивать свою речь декламацией этого с пустыми руками, я дам это для пользы читателей:
   

   Отношение тел полного вращения складывается из (того) вращающихся фигур и (того) прямых линий, подобным образом проведенных к осям из центров тяжести в них; отношение (тел) неполного (вращения) - из (того) вращающихся фигур и (того) дуг, которые описывают центры тяжести в них, где (отношение) этих дуг, конечно, (складывается) из (того) проведенных (линий) и (того) углов вращения, которые содержат их концы, если эти (линии) также находятся под (прямым углом) к осям. Эти предложения, которые практически являются одним, содержат много теорем всех видов, для кривых, поверхностей и тел, все сразу и одним доказательством, вещей еще не доказанных и вещей уже доказанных, таких как те, что в двенадцатой книге «Первых элементов » .

   —  Папп, Собрание , Книга VII, ¶41‒42

2. «Quantitas rotanda in viam Rotatas ducta, producit Potestatem Rotundam uno gradu altiorem, Potestate sive Quantitate rotata». ^[2] То есть: «Количество вращения, умноженное на его круговую траекторию, создает круговую мощность более высокой степени, мощности или количества вращения». ^[3]
3. Nova Stereometria Doliorum Vinariorum Кеплера (1615 г.): ^[5] «Omnis annulussectionis roundis vel ellipticae est aequalis cylindro, cujus altitudo aequat longitudinemcircerentiae, quam centrum figuraecircuductae descripsit, base vero eadem est cumsectione annuli». Перевод: ^[3] «Любое кольцо, поперечное сечение которого круглое или эллиптическое, равно цилиндру, высота которого равна длине окружности, охватываемой центром фигуры во время ее кругового движения, и основание которого равно сечению кольцо».

Ссылки

1. Папп Александрийский (1986) [ок. 320]. Джонс, Александр (ред.). Книга 7 Собрания. Источники по истории математики и физических наук. Том 8. Нью-Йорк: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-4908-5. ISBN 978-1-4612-4908-5.
2. Гульдин, Павел (1640). De centro gravitatis trium specierum quanitatis continuae. Том. 2. Вена: Гельбхаар, Космеровиус. п. 147 . Проверено 4 августа 2016 г.
3. Radelet-de Grave, Patricia (2015-05-19). "Kepler, Cavalieri, Guldin. Полемика с ушедшими". В Jullien, Vincent (ред.). Seventeenth-Century Indivisibles Revisited . Science Networks. Historical Studies. Vol. 49. Basel: Birkhäuser. p. 68. doi : 10.1007/978-3-319-00131-9. hdl : 2117/28047. ISBN 978-3-3190-0131-9. ISSN  1421-6329 . Получено 04.08.2016 .
4. Балмер-Томас, Айвор (1984). «Теорема Гулдина — или Паппуса?». Isis . 75 (2): 348–352. ISSN  0021-1753.
5. Кеплер, Иоганнес (1870) [1615]. «Нова Стереометрия Долиорум Винариорум». Фриш, Кристиан (ред.). Иоаннис Кеплери «Астрономическая опера омния» . Том. 4. Франкфурт: Гейдер и Циммер. п. 582 . Проверено 4 августа 2016 г.
6. Гудман, AW; Гудман, G. (1969). «Обобщения теорем Паппуса». The American Mathematical Monthly . 76 (4): 355–366. doi :10.1080/00029890.1969.12000217. JSTOR  2316426.
7. Макларен-Янг-Соммервилль, Дункан (1958). "8.17 Расширения теоремы Паппуса". Введение в геометрию n измерений. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Довер.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Паппуса о центроиде». Математический мир .