В проективной геометрии теорема Паскаля (также известная как теорема hexagrammum mysticum , по-латыни мистическая гексаграмма ) гласит, что если на конике (которая может быть эллипсом , параболой или гиперболой в соответствующей аффинной плоскости ) выбрать шесть произвольных точек и соединить их отрезками в любом порядке, чтобы образовать шестиугольник , то три пары противоположных сторон шестиугольника ( при необходимости расширенные ) встретятся в трех точках, которые лежат на прямой, называемой линией Паскаля шестиугольника. Она названа в честь Блеза Паскаля .
Теорема верна также в евклидовой плоскости , но ее утверждение необходимо скорректировать, чтобы учесть особые случаи, когда противоположные стороны параллельны.
Эта теорема является обобщением теоремы Паппуса (о шестиугольнике) , которая является частным случаем вырожденной коники из двух прямых с тремя точками на каждой прямой.
Наиболее естественное положение теоремы Паскаля — в проективной плоскости , поскольку любые две прямые пересекаются, и для параллельных прямых не требуется делать исключений. Однако теорема остается справедливой в евклидовой плоскости с правильной интерпретацией того, что происходит, когда некоторые противоположные стороны шестиугольника параллельны.
Если ровно одна пара противоположных сторон шестиугольника параллельны, то вывод теоремы состоит в том, что «прямая Паскаля», определяемая двумя точками пересечения, параллельна параллельным сторонам шестиугольника. Если две пары противоположных сторон параллельны, то все три пары противоположных сторон образуют пары параллельных прямых и в евклидовой плоскости нет прямой Паскаля (в этом случае линия в бесконечности расширенной евклидовой плоскости является прямой Паскаля шестиугольника).
Теорема Паскаля является полярно-обратной и проективной двойственной теоремой Брианшона . Она была сформулирована Блезом Паскалем в заметке, написанной в 1639 году, когда ему было 16 лет, и опубликована в следующем году в виде брошюры под названием "Essay pour les coniques. Par BP" [1]
Теорема Паскаля является частным случаем теоремы Кэли–Бахараха .
Вырожденный случай теоремы Паскаля (четыре точки) интересен: если заданы точки ABCD на конике Γ , пересечение чередующихся сторон AB ∩ CD , BC ∩ DA , а также пересечение касательных в противоположных вершинах ( A , C ) и ( B , D ) коллинеарны в четырех точках; касательные являются вырожденными «сторонами», взятыми в двух возможных положениях на «шестиугольнике», а соответствующая линия Паскаля разделяет любое вырожденное пересечение. Это можно доказать независимо, используя свойство полюса-поляра . Если коника является окружностью, то другой вырожденный случай говорит, что для треугольника три точки, которые появляются как пересечение боковой линии с соответствующей боковой линией треугольника Жергонна , коллинеарны.
Шесть — это минимальное число точек на коническом сечении, относительно которого можно сделать специальные утверждения, поскольку пять точек определяют коническое сечение .
Обратной теоремой является теорема Брейкенриджа–Маклорена , названная в честь британских математиков XVIII века Уильяма Брейкенриджа и Колина Маклорена (Mills 1984), которая гласит, что если три точки пересечения трех пар прямых, проходящих через противоположные стороны шестиугольника, лежат на одной прямой, то шесть вершин шестиугольника лежат на конике; коника может быть вырожденной, как в теореме Паппуса. [2] Теорема Брейкенриджа–Маклорена может быть применена в построении Брейкенриджа–Маклорена , которое является синтетическим построением коники, определяемой пятью точками, путем варьирования шестой точки.
Теорема была обобщена Августом Фердинандом Мёбиусом в 1847 году следующим образом: предположим, что многоугольник с 4 n + 2 сторонами вписан в коническое сечение, и противоположные пары сторон продолжены до тех пор, пока они не встретятся в 2 n + 1 точках. Тогда, если 2 n из этих точек лежат на общей прямой, последняя точка также будет находиться на этой прямой.
Если на коническом сечении заданы шесть неупорядоченных точек, их можно соединить в шестиугольник 60 различными способами, что даст 60 различных примеров теоремы Паскаля и 60 различных линий Паскаля. Эта конфигурация из 60 линий называется Hexagrammum Mysticum . [3] [4]
Как доказал Томас Киркман в 1849 году, эти 60 линий можно связать с 60 точками таким образом, что каждая точка находится на трех линиях, а каждая линия содержит три точки. 60 точек, образованных таким образом, теперь известны как точки Киркмана . [5] Линии Паскаля также проходят, по три за раз, через 20 точек Штейнера . Существует 20 линий Кэли , которые состоят из точки Штейнера и трех точек Киркмана. Точки Штейнера также лежат, по четыре за раз, на 15 линиях Плюккера . Кроме того, 20 линий Кэли проходят по четыре за раз через 15 точек, известных как точки Салмона . [6]
В оригинальной заметке Паскаля [1] нет доказательства, но существуют различные современные доказательства теоремы.
Достаточно доказать теорему, когда коника является окружностью, поскольку любая (невырожденная) коника может быть сведена к окружности проективным преобразованием. Это было реализовано Паскалем, чья первая лемма формулирует теорему для окружности. Его вторая лемма утверждает, что то, что верно в одной плоскости, остается верным при проекции на другую плоскость. [1] Вырожденные коники следуют по непрерывности (теорема верна для невырожденных коник и, таким образом, верна в пределе вырожденной коники).
Короткое элементарное доказательство теоремы Паскаля в случае окружности было найдено ван Изереном (1993), основанное на доказательстве в (Guggenheimer 1967). Это доказательство доказывает теорему для окружности, а затем обобщает ее на коники.
Краткое элементарное вычислительное доказательство в случае действительной проективной плоскости было найдено Стефановичем (2010).
Мы также можем вывести доказательство из существования изогонального сопряжения . Если мы хотим показать, что X = AB ∩ DE , Y = BC ∩ EF , Z = CD ∩ FA являются коллинеарными для конциклического ABCDEF , то обратите внимание, что △ EYB и △ CYF подобны, и что X и Z будут соответствовать изогональному сопряжению, если мы наложим подобные треугольники. Это означает, что ∠ CYX = ∠ CYZ , следовательно, делая XYZ коллинеарными.
Короткое доказательство можно построить, используя сохранение перекрестного отношения. Проецируя тетраду ABCE из D на прямую AB , мы получаем тетраду ABPX , а проецируя тетраду ABCE из F на прямую BC , мы получаем тетраду QBCY . Это означает, что R ( AB ; PX ) = R ( QB ; CY ) , где одна из точек в двух тетрадах перекрывается, следовательно, это означает, что другие линии, соединяющие другие три пары, должны совпадать для сохранения перекрестного отношения. Следовательно, XYZ коллинеарны.
Другое доказательство теоремы Паскаля для окружности неоднократно использует теорему Менелая .
Данделин , геометр, открывший знаменитые сферы Данделина , придумал прекрасное доказательство с использованием техники «3D-подъема», которая аналогична 3D-доказательству теоремы Дезарга . Доказательство использует свойство, что для каждого конического сечения мы можем найти однополостный гиперболоид, который проходит через коническое сечение.
Существует также простое доказательство теоремы Паскаля для окружности с использованием закона синусов и подобия .
Теорема Паскаля имеет короткое доказательство с использованием теоремы Кэли–Бахараха , что для любых 8 точек в общем положении существует единственная девятая точка, такая что все кубики, проходящие через первые 8, также проходят через девятую точку. В частности, если 2 общие кубики пересекаются в 8 точках, то любая другая кубика, проходящая через те же 8 точек, пересекает девятую точку пересечения первых двух кубик. Теорема Паскаля следует из того, что 8 точек берутся за 6 точек на шестиугольнике и две из точек (скажем, M и N на рисунке) на предполагаемой прямой Паскаля, а девятая точка — за третью точку ( P на рисунке). Первые две кубики — это два набора из 3 прямых, проходящих через 6 точек на шестиугольнике (например, набор AB, CD, EF и набор BC, DE, FA ), а третья кубика — это объединение коники и прямой MN . Здесь «девятое пересечение» P не может лежать на конике по общему положению, и, следовательно, оно лежит на MN .
Теорема Кэли–Бахараха также используется для доказательства того, что групповая операция на кубических эллиптических кривых ассоциативна. Та же групповая операция может быть применена к коническому сечению, если мы выберем точку E на коническом сечении и прямую MP на плоскости. Сумма A и B получается путем нахождения сначала точки пересечения прямой AB с MP , которая есть M. Затем A и B складываются во вторую точку пересечения конического сечения с прямой EM , которая есть D. Таким образом, если Q — вторая точка пересечения конического сечения с прямой EN , то
Таким образом, групповая операция ассоциативна. С другой стороны, теорема Паскаля следует из приведенной выше формулы ассоциативности, а значит, и из ассоциативности групповой операции эллиптических кривых по принципу непрерывности.
Предположим, что f — кубический многочлен, исчезающий на трех прямых, проходящих через AB, CD, EF , а g — кубический многочлен, исчезающий на трех других прямых BC, DE, FA . Выберите общую точку P на конике и выберите λ так, чтобы кубика h = f + λg обращалась в нуль на P. Тогда h = 0 — кубика, имеющая 7 общих точек A, B, C, D, E, F, P с коникой. Но по теореме Безу кубика и коника имеют не более 3 × 2 = 6 общих точек, если только у них нет общего компонента. Таким образом, кубика h = 0 имеет общий компонент с коникой, который должен быть самой коникой, поэтому h = 0 — это объединение коники и прямой. Теперь легко проверить, что эта прямая является прямой Паскаля.
Снова учитывая шестиугольник на конике теоремы Паскаля с указанными выше обозначениями точек (на первом рисунке), имеем [7]
Существуют 5-точечные, 4-точечные и 3-точечные вырожденные случаи теоремы Паскаля. В вырожденном случае две ранее соединенные точки фигуры формально совпадут, а соединительная линия станет касательной в точке слияния. См. вырожденные случаи, приведенные в добавленной схеме и внешнюю ссылку на геометрии окружности . Если выбрать подходящие линии фигур Паскаля в качестве линий на бесконечности, то получится много интересных фигур на параболах и гиперболах .
