Теорема Хассе–Арфа

О скачках верхней нумерационной фильтрации группы Галуа конечного расширения Галуа

В математике , в частности в локальной теории полей классов , теорема Хассе–Арфа — это результат, касающийся скачков верхней нумерационной фильтрации группы Галуа конечного расширения Галуа . Частный случай этого результата, когда поля вычетов конечны, был первоначально доказан Хельмутом Хассе , ^{[1] [2]} , а общий результат был доказан Кахитом Арфом . ^{[3] [4]}

Заявление

Группы более высокого ветвления

Теорема касается верхних пронумерованных высших групп ветвления конечного абелева расширения . Итак, предположим , что есть конечное расширение Галуа, и что есть дискретное нормализованное оценивание K , поле вычетов которого имеет характеристику p >  0, и которое допускает единственное расширение на L , скажем, w . Обозначим через ассоциированное нормализованное оценивание ew для L и пусть будет кольцом оценивания L при . Пусть есть группа Галуа G и определите s -ю группу ветвления для любого вещественного s  ≥ −1 как ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle v_{K}}$ ${\displaystyle v_{L}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle v_{L}}$ ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle L/K}$

${\displaystyle G_{s}(L/K)=\{\sigma \in G\,:\,v_{L}(\sigma a-a)\geq s+1{\text{ for all }}a\in {\mathcal {O}}\}.}$

Так, например, G ₋₁ — это группа Галуа G. Для перехода к верхней нумерации необходимо определить функцию ψ _{L / K} , которая в свою очередь является обратной функцией η _{L / K,} определяемой соотношением

${\displaystyle \eta _{L/K}(s)=\int _{0}^{s}{\frac {dx}{|G_{0}:G_{x}|}}.}$

Верхняя нумерация групп ветвления тогда определяется как G ^t ( L / K ) =  G _s ( L / K ), где s  =  ψ _{L / K} ( t ).

Эти более высокие группы ветвления G ^t ( L / K ) определены для любого действительного t  ≥ −1, но поскольку v _L является дискретной оценкой, группы будут изменяться дискретными скачками, а не непрерывно. Таким образом, мы говорим, что t является скачком фильтрации { G ^t ( L / K ) :  t  ≥ −1}, если G t ( L / K ) ≠ Gu ( L ^/ K ) для любого u  > ^t . Теорема Хассе – Арфа  говорит  нам об арифметической природе этих скачков.

Формулировка теоремы

При указанной выше установке теорема утверждает, что скачки фильтрации { G ^t ( L / K ) :  t  ≥ −1} являются все рациональными целыми числами . ^{[4] [5]}

Пример

Предположим, что G циклическая с порядком , характеристикой остатка и будет подгруппой порядка . Теорема утверждает, что существуют положительные целые числа такие, что ${\displaystyle p^{n}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle G(i)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p^{n-i}}$ ${\displaystyle i_{0},i_{1},...,i_{n-1}}$

${\displaystyle G_{0}=\cdots =G_{i_{0}}=G=G^{0}=\cdots =G^{i_{0}}}$

${\displaystyle G_{i_{0}+1}=\cdots =G_{i_{0}+pi_{1}}=G(1)=G^{i_{0}+1}=\cdots =G^{i_{0}+i_{1}}}$

${\displaystyle G_{i_{0}+pi_{1}+1}=\cdots =G_{i_{0}+pi_{1}+p^{2}i_{2}}=G(2)=G^{i_{0}+i_{1}+1}}$

...

${\displaystyle G_{i_{0}+pi_{1}+\cdots +p^{n-1}i_{n-1}+1}=1=G^{i_{0}+\cdots +i_{n-1}+1}.}$^[4]

Неабелевы расширения

Для неабелевых расширений скачки в верхней фильтрации не обязательно должны быть целыми числами. Серр привел пример полностью разветвленного расширения с группой Галуа, группой кватернионов порядка 8 с ${\displaystyle Q_{8}}$

• ${\displaystyle G_{0}=Q_{8}}$
• ${\displaystyle G_{1}=Q_{8}}$
• ${\displaystyle G_{2}=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$
• ${\displaystyle G_{3}=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$
• ${\displaystyle G_{4}=1}$

Тогда верхняя нумерация удовлетворяет

• ${\displaystyle G^{n}=Q_{8}}$   для ${\displaystyle n\leq 1}$
• ${\displaystyle G^{n}=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$   для ${\displaystyle 1<n\leq 3/2}$
• ${\displaystyle G^{n}=1}$   для ${\displaystyle 3/2<n}$

поэтому имеет скачок при нецелом значении . ${\displaystyle n=3/2}$

Примечания

1. Хассе, Гельмут (1930). «Фюрер, дискриминант и Verzweigungskörper относительно-Abelscher Zahlkörper». Дж. Рейн Анжью. Математика. (на немецком языке). 162 : 169–184. дои : 10.1515/crll.1930.162.169. МР  1581221.
2. Х. Хассе, Normenresttheorie galoisscher Zahlkörper mit Anwendungen auf Führer und Discriminante abelscher Zahlkörper , J. Fac. наук. Токио 2 (1934), стр. 477–498.
3. Арф, Кахит (1939). «Untersuchungen über reinverzweigte Erweiterungen Discret Bewerteter Perfecter Körper». Дж. Рейн Анжью. Математика. (на немецком языке). 181 : 1–44. дои : 10.1515/crll.1940.181.1. МР  0000018. Збл  0021.20201.
4. Serre (1979) IV.3, стр.76
5. Нойкирх (1999) Теорема 8.9, стр.68

Ссылки

• Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория теории . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften . Том. 322. Берлин: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8. MR  1697859. Zbl  0956.11021.
• Серр, Жан-Пьер (1979), Локальные поля , Graduate Texts in Mathematics, т. 67, перевод Гринберга, Марвина Джея , Springer-Verlag , ISBN 0-387-90424-7, MR  0554237, Zbl  0423.12016