Теорема ядра Шварца

Теорема

В математике теорема Шварца о ядре является основополагающим результатом в теории обобщенных функций , опубликованным Лораном Шварцем в 1952 году. В общих чертах она утверждает, что обобщенные функции, введенные Шварцем ( распределения Шварца ), имеют двухпараметрическую теорию, которая включает все разумные билинейные формы на пространстве тестовых функций . Само пространство состоит из гладких функций компактного носителя . ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

Формулировка теоремы

Пусть и будут открытыми множествами в . Каждое распределение определяет непрерывное линейное отображение, такое что ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle k\in {\mathcal {D}}'(X\times Y)}$ ${\displaystyle K\colon {\mathcal {D}}(Y)\to {\mathcal {D}}'(X)}$

для каждого . Обратно, для каждого такого непрерывного линейного отображения существует одно и только одно распределение такое, что ( 1 ) выполняется. Распределение является ядром отображения . ${\displaystyle u\in {\mathcal {D}}(X),v\in {\mathcal {D}}(Y)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle k\in {\mathcal {D}}'(X\times Y)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle K}$

Примечание

При заданном распределении всегда можно неформально записать линейное отображение K как ${\displaystyle k\in {\mathcal {D}}'(X\times Y)}$

${\displaystyle Kv=\int _{Y}k(\cdot ,y)v(y)dy}$

так что

${\displaystyle \langle Kv,u\rangle =\int _{X}\int _{Y}k(x,y)v(y)u(x)dydx}$.

Интегральные ядра

Традиционные функции ядра двух переменных теории интегральных операторов были расширены в области охвата для включения их обобщенных функциональных аналогов, которым разрешено быть более сингулярными в серьезном смысле, большой класс операторов из в его двойственное пространство распределений может быть построен. Суть теоремы состоит в утверждении, что расширенный класс операторов может быть охарактеризован абстрактно, как содержащий все операторы, подчиненные минимальному условию непрерывности. Билинейная форма на возникает путем сопряжения распределения изображения с тестовой функцией. ${\displaystyle K(x,y)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

Простым примером является то, что естественное вложение пространства тестовых функций в - отправка каждой тестовой функции в соответствующее распределение - соответствует дельта-распределению ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [f]}$

${\displaystyle \delta (x-y)}$

сосредоточены на диагонали подчеркнутого евклидова пространства, в терминах дельта-функции Дирака . Хотя это всего лишь наблюдение, оно показывает, как теория распределения дополняет область действия. Интегральные операторы не столь «сингулярны»; другими словами, для непрерывного ядра создаются только компактные операторы на пространстве, таком как непрерывные функции на . Оператор далек от компактности, и его ядро ​​интуитивно аппроксимируется функциями на с пиком вдоль диагонали и исчезающим в других местах. ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle [0,1]\times [0,1]}$ ${\displaystyle x=y}$

Этот результат подразумевает, что формирование распределений имеет важное свойство «замкнутости» в традиционной области функционального анализа . Это было интерпретировано (комментарий Жана Дьедонне ) как сильная проверка пригодности теории распределений Шварца для математического анализа в более широком смысле. В своих Éléments d'analyse , том 7, стр. 3, он отмечает, что теорема включает дифференциальные операторы на тех же основаниях, что и интегральные операторы, и приходит к выводу, что это, возможно, самый важный современный результат функционального анализа. Он сразу же переходит к уточнению этого утверждения, говоря, что обстановка слишком «обширна» для дифференциальных операторов из-за свойства монотонности относительно носителя функции , которое очевидно для дифференцирования. Даже монотонность относительно сингулярного носителя не характерна для общего случая; ее рассмотрение ведет в направлении современной теории псевдодифференциальных операторов .

Гладкие коллекторы

В разделах 23.9–23.12 этой книги Дьедонне доказывает версию результата Шварца, справедливую для гладких многообразий , а также дополнительные подтверждающие результаты .

Обобщение на ядерные пространства

Большая часть теории ядерных пространств была разработана Александром Гротендиком при исследовании теоремы Шварца о ядре и опубликована в работе Гротендика 1955 года. Мы имеем следующее обобщение теоремы.

Теорема ядра Шварца : ^[1] Предположим, что X является ядерным , Y локально выпукло, а v является непрерывной билинейной формой на . Тогда v происходит из пространства вида , где и являются подходящими равностепенно непрерывными подмножествами и . Эквивалентно, v имеет вид, ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle X_{A^{\prime }}^{\prime }{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }Y_{B^{\prime }}^{\prime }}$ ${\displaystyle A^{\prime }}$ ${\displaystyle B^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle Y^{\prime }}$

${\displaystyle v(x,y)=\sum _{i=1}^{\infty }\lambda _{i}\left\langle x,x_{i}^{\prime }\right\rangle \left\langle y,y_{i}^{\prime }\right\rangle }$для всех ${\displaystyle (x,y)\in X\times Y}$

где и каждый из и являются равностепенно непрерывными. Более того, эти последовательности можно считать нулевыми последовательностями (т.е. сходящимися к 0) в и , соответственно. ${\displaystyle \left(\lambda _{i}\right)\in l^{1}}$ ${\displaystyle \{x_{1}^{\prime },x_{2}^{\prime },\ldots \}}$ ${\displaystyle \{y_{1}^{\prime },y_{2}^{\prime },\ldots \}}$ ${\displaystyle X_{A^{\prime }}^{\prime }}$ ${\displaystyle Y_{B^{\prime }}^{\prime }}$

Смотрите также

• Ядро Фредгольма  – тип ядра в банаховом пространствеPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Инъективное тензорное произведение
• Ядерный оператор  – Линейный оператор, связанный с топологическими векторными пространствами
• Ядерное пространство  – обобщение конечномерных евклидовых пространств, отличное от гильбертовых пространств.
• Проективное тензорное произведение  – тензорное произведение, определенное на двух топологических векторных пространствахPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Оснащенное гильбертово пространство  – конструкция, связывающая изучение «связанных» и непрерывных собственных значений в функциональном анализе
• Класс трассировки  – Компактный оператор, для которого можно определить конечную трассировку.

Ссылки

1. Шефер и Вольф 1999, стр. 172.

Библиография

• Grothendieck, Alexander (1955). "Produits Tensoriels Topologiques et Espaces Nucléaires" [Топологические тензорные произведения и ядерные пространства]. Мемуары Американского математического общества (на французском). 16. Провиденс: Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-1216-7. MR  0075539. OCLC  1315788.
• Хёрмандер, Л. (1983). Анализ линейных операторов в частных производных I . Грундл. Математика. Wissenschaft. Том. 256. Спрингер. дои : 10.1007/978-3-642-96750-4. ISBN 3-540-12104-8. МР  0717035..
• Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.
• Wong, Yau-Chuen (1979). Пространства Шварца, ядерные пространства и тензорные произведения . Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09513-6. OCLC  5126158.

Внешние ссылки

• Г. Л. Литвинов (2001) [1994], "Ядерная билинейная форма", Энциклопедия математики , Издательство EMS