В математической области функционального анализа теорема Эберлейна –Шмульяна (названная в честь Уильяма Фредерика Эберлейна и Витольда Львовича Шмульяна ) представляет собой результат, связывающий три различных вида слабой компактности в банаховом пространстве .
Теорема Эберлейна–Шмульяна : [1] Если X — банахово пространство , а A — подмножество X , то следующие утверждения эквивалентны:
Множество A (в любом топологическом пространстве) может быть компактным тремя различными способами:
Теорема Эберлейна–Шмульяна утверждает, что эти три эквивалентны в слабой топологии банахова пространства. Хотя эта эквивалентность верна в общем случае для метрического пространства , слабая топология не метризуема в бесконечномерных векторных пространствах, и поэтому нужна теорема Эберлейна–Шмульяна.
Теорема Эберлейна–Шмульяна важна в теории уравнений в частных производных , и особенно в пространствах Соболева . Многие пространства Соболева являются рефлексивными банаховыми пространствами , и поэтому ограниченные подмножества слабо предкомпактны по теореме Алаоглу . Таким образом, теорема подразумевает, что ограниченные подмножества слабо секвенциально предкомпактны, и поэтому из любой ограниченной последовательности элементов этого пространства можно извлечь подпоследовательность, которая слабо сходится в этом пространстве. Поскольку многие уравнения в частных производных имеют решения только в слабом смысле, эта теорема является важным шагом в принятии решения о том, какие пространства слабых решений использовать при решении уравнения в частных производных.