В теории групп теорема Хигмана о вложении утверждает, что каждая конечно порождённая рекурсивно представленная группа R может быть вложена как подгруппа некоторой конечно представленной группы G. Это результат Грэма Хигмана из 1960-х годов. [1]
С другой стороны, простая теорема гласит, что каждая конечно порождённая подгруппа конечно определённой группы рекурсивно представима, поэтому рекурсивно представимые конечно порождённые группы являются (с точностью до изоморфизма) в точности конечно порождёнными подгруппами конечно определённых групп.
Поскольку каждая счетная группа является подгруппой конечно порождённой группы, теорему можно переформулировать для этих групп.
Как следствие , существует универсальная конечно определенная группа , которая содержит все конечно определенные группы в качестве подгрупп (с точностью до изоморфизма); фактически, ее конечно порождённые подгруппы являются в точности конечно порождёнными рекурсивно определёнными группами (опять же, с точностью до изоморфизма).
Теорема вложения Хигмана также подразумевает теорему Новикова-Буна (первоначально доказанную в 1950-х годах другими методами) о существовании конечно представленной группы с алгоритмически неразрешимой проблемой тождества . Действительно, довольно легко построить конечно порожденную рекурсивно представленную группу с неразрешимой проблемой тождества. Тогда любая конечно представленная группа, содержащая эту группу в качестве подгруппы, также будет иметь неразрешимую проблему тождества.
Обычное доказательство теоремы использует последовательность расширений HNN, начинающихся с R и заканчивающихся группой G , которая, как можно показать, имеет конечное представление. [2]