Теорема единственности для уравнения Пуассона

Для большого класса граничных условий все решения имеют одинаковый градиент

Теорема единственности для уравнения Пуассона утверждает, что для большого класса граничных условий уравнение может иметь много решений, но градиент каждого решения один и тот же. В случае электростатики это означает, что существует единственное электрическое поле , полученное из потенциальной функции, удовлетворяющей уравнению Пуассона при граничных условиях.

Доказательство

Общее выражение для уравнения Пуассона в электростатике имеет вид

${\displaystyle \mathbf {\nabla } ^{2}\varphi =-{\frac {\rho _{f}}{\epsilon _{0}}},}$

где — электрический потенциал , а — распределение заряда по некоторой области с граничной поверхностью . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \rho _{f}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle S}$

Единственность решения может быть доказана для большого класса граничных условий следующим образом.

Предположим, что мы утверждаем, что имеем два решения уравнения Пуассона. Назовем эти два решения и . Тогда ${\displaystyle \varphi _{1}}$ ${\displaystyle \varphi _{2}}$

${\displaystyle \mathbf {\nabla } ^{2}\varphi _{1}=-{\frac {\rho _{f}}{\epsilon _{0}}},}$и

${\displaystyle \mathbf {\nabla } ^{2}\varphi _{2}=-{\frac {\rho _{f}}{\epsilon _{0}}}.}$

Отсюда следует, что является решением уравнения Лапласа , которое является частным случаем уравнения Пуассона , которое равно . Вычитание двух решений выше дает ${\displaystyle \varphi =\varphi _{2}-\varphi _{1}}$ ${\displaystyle 0}$

Применяя векторное дифференциальное тождество, мы знаем, что

${\displaystyle \nabla \cdot (\varphi \,\nabla \varphi )=\,(\nabla \varphi )^{2}+\varphi \,\nabla ^{2}\varphi .}$

Однако из ( 1 ) мы также знаем, что во всей области Следовательно, второй член стремится к нулю, и мы находим, что ${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =0.}$

${\displaystyle \nabla \cdot (\varphi \,\nabla \varphi )=\,(\nabla \varphi )^{2}.}$

Взяв объемный интеграл по области , находим, что ${\displaystyle V}$

${\displaystyle \int _{V}\mathbf {\nabla } \cdot (\varphi \,\mathbf {\nabla } \varphi )\,\mathrm {d} V=\int _{V}(\mathbf {\nabla } \varphi )^{2}\,\mathrm {d} V.}$

Применяя теорему о дивергенции , перепишем приведенное выше выражение как

Теперь последовательно рассмотрим три различных граничных условия: граничное условие Дирихле, граничное условие Неймана и смешанное граничное условие.

Сначала рассмотрим случай, когда граничные условия Дирихле заданы как на границе области. Если граничное условие Дирихле удовлетворяется на обоих решениях (т.е. если на границе), то левая часть ( 2 ) равна нулю. Следовательно, находим, что ${\displaystyle \varphi =0}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \varphi =0}$

${\displaystyle \int _{V}(\mathbf {\nabla } \varphi )^{2}\,\mathrm {d} V=0.}$

Так как это объемный интеграл положительной величины (из-за квадратичного члена), то мы должны иметь во всех точках. Далее, так как градиент везде равен нулю и равен нулю на границе, должен быть равен нулю во всей области. Наконец, так как во всей области, и так как во всей области, следовательно, во всей области. Это завершает доказательство того, что существует единственное решение уравнения Пуассона с граничным условием Дирихле. ${\displaystyle \nabla \varphi =0}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi =0}$ ${\displaystyle \varphi =\varphi _{2}-\varphi _{1}}$ ${\displaystyle \varphi _{1}=\varphi _{2}}$

Во-вторых, рассмотрим случай, когда граничные условия Неймана заданы как на границе области. Если граничное условие Неймана удовлетворяется на обоих решениях, то левая часть ( 2 ) снова равна нулю. Следовательно, как и прежде, находим, что ${\displaystyle \nabla \varphi =0}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \int _{V}(\mathbf {\nabla } \varphi )^{2}\,\mathrm {d} V=0.}$

Как и прежде, поскольку это объемный интеграл положительной величины, мы должны иметь во всех точках. Далее, поскольку градиент везде равен нулю внутри объема , и поскольку градиент везде равен нулю на границе , следовательно, должен быть постоянным ---но не обязательно нулевым --- во всей области. Наконец, поскольку во всей области, и поскольку во всей области, следовательно, во всей области. Это завершает доказательство того, что существует единственное решение с точностью до аддитивной константы уравнения Пуассона с граничным условием Неймана. ${\displaystyle \nabla \varphi =0}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi =k}$ ${\displaystyle \varphi =\varphi _{2}-\varphi _{1}}$ ${\displaystyle \varphi _{1}=\varphi _{2}-k}$

Смешанные граничные условия могут быть заданы, если либо градиент , либо потенциал указаны в каждой точке границы. Граничные условия на бесконечности также выполняются. Это является результатом того, что поверхностный интеграл в ( 2 ) все еще исчезает на больших расстояниях, поскольку подынтегральное выражение затухает быстрее, чем растет площадь поверхности.

Смотрите также

• Уравнение Пуассона
• Закон Гаусса
• Закон Кулона
• Метод изображения
• Функция Грина
• Теорема единственности
• Сферические гармоники

Ссылки

• Л. Д. Ландау, Э. М. Лифшиц (1975). Классическая теория полей . Т. 2 (4-е изд.). Баттерворт–Хайнеман . ISBN 978-0-7506-2768-9.
• JD Jackson (1998). Классическая электродинамика (3-е изд.). John Wiley & Sons . ISBN 978-0-471-30932-1.