Теорема о наибольшем весе

В теории представлений , разделе математики, теорема о наибольшем весе классифицирует неприводимые представления сложной полупростой алгебры Ли . ^{[1] [2]} Существует тесно связанная теорема, классифицирующая неприводимые представления связной компактной группы Ли . ^[3] Теорема утверждает, что существует биекция ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \lambda \mapsto [V^{\lambda }]}$

из множества «доминантных целочисленных элементов» в множество классов эквивалентности неприводимых представлений или . Разница между двумя результатами заключается в точном понятии «интеграл» в определении доминантного целочисленного элемента. Если односвязно, это различие исчезает. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

Первоначально теорема была доказана Эли Картаном в его статье 1913 года. ^[4] Версия теоремы для компактной группы Ли принадлежит Герману Вейлю . Теорема является одной из ключевых частей теории представлений полупростых алгебр Ли .

Заявление

Случай алгебры Ли

Пусть — конечномерная полупростая комплексная алгебра Ли с подалгеброй Картана . Пусть — ассоциированная корневая система . Тогда мы говорим, что элемент является целым ^[5], если ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}$

${\displaystyle 2{\frac {\langle \lambda ,\alpha \rangle }{\langle \alpha ,\alpha \rangle }}}$

является целым числом для каждого корня . Далее, мы выбираем набор положительных корней и говорим, что элемент является доминирующим , если для всех . Элемент является доминирующим целым, если он является как доминирующим, так и целым. Наконец, если и находятся в , мы говорим, что выше [ ^6], чем , если выражается как линейная комбинация положительных корней с неотрицательными действительными коэффициентами. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle R^{+}}$ ${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}$ ${\displaystyle \langle \lambda ,\alpha \rangle \geq 0}$ ${\displaystyle \alpha \in R^{+}}$ ${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \lambda -\mu }$

Вес представления называется наибольшим весом, если он больше, чем любой другой вес . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle V}$

Теорема о наибольшем весе гласит: ^[2]

• Если — конечномерное неприводимое представление , то имеет единственный наибольший вес, и этот наибольший вес является доминирующим интегралом. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V}$
• Если два конечномерных неприводимых представления имеют одинаковый наибольший вес, то они изоморфны.
• Для каждого доминирующего целочисленного элемента существует конечномерное неприводимое представление с наибольшим весом . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$

Самая сложная часть — последняя: построение конечномерного неприводимого представления с заданным наибольшим весом.

Компактный групповой случай

Пусть будет связной компактной группой Ли с алгеброй Ли и пусть будет комплексификацией . Пусть будет максимальным тором в с алгеброй Ли . Тогда является подалгеброй Картана , и мы можем образовать связанную корневую систему . Затем теория развивается во многом так же, как и в случае алгебры Ли, с одним важным отличием: понятие целостности отличается. В частности, мы говорим, что элемент является аналитически целостным ^[7], если ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}:={\mathfrak {k}}+i{\mathfrak {k}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}:={\mathfrak {t}}+i{\mathfrak {t}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle \langle \lambda ,H\rangle }$

является целым числом всякий раз, когда

${\displaystyle e^{2\pi H}=I}$

где — единичный элемент . Каждый аналитически целочисленный элемент является целочисленным в смысле алгебры Ли, ^[8] но могут быть целочисленные элементы в смысле алгебры Ли, которые не являются аналитически целочисленными. Это различие отражает тот факт, что если не является односвязным, могут быть представления , которые не происходят из представлений . С другой стороны, если является односвязным, понятия «целочисленный» и «аналитически целочисленный» совпадают. ^[3] ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

Теорема о наибольшем весе для представлений ^[9] тогда та же самая, что и в случае алгебры Ли, за исключением того, что «интеграл» заменяется на «аналитически интегральный». ${\displaystyle K}$

Доказательства

Есть как минимум четыре доказательства:

• Оригинальное доказательство Германа Вейля с точки зрения компактной группы ^[10], основанное на формуле характера Вейля и теореме Петера–Вейля .
• Теория модулей Верма содержит теорему о наивысшем весе. Этот подход принят во многих стандартных учебниках (например, Хамфрис и часть II Холла).
• Теорема Бореля–Вейля–Ботта строит неприводимое представление как пространство глобальных сечений обильного линейного расслоения; как следствие получается теорема о наибольшем весе. (Этот подход использует значительную часть алгебраической геометрии, но дает очень быстрое доказательство.)
• Инвариантный теоретический подход: неприводимые представления строятся как подпредставления тензорной степени стандартных представлений. Этот подход по существу принадлежит Г. Вейлю и работает достаточно хорошо для классических групп.

Смотрите также

• Классификация конечномерных представлений алгебр Ли
• Теория представлений связной компактной группы Ли
• Веса в теории представлений полупростых алгебр Ли

Примечания

1. Диксмье 1996, Теорема 7.2.6.
2. Hall 2015 Теоремы 9.4 и 9.5
3. Hall 2015 Теорема 12.6
4. Knapp, AW (2003). "Рецензируемая работа: Matrix Groups: An Introduction to Lie Group Theory, Andrew Baker; Lie Groups: An Introduction through Linear Groups, Wulf Rossmann". The American Mathematical Monthly . 110 (5): 446–455. doi :10.2307/3647845. JSTOR  3647845.
5. Холл 2015 Раздел 8.7
6. Холл 2015 Раздел 8.8
7. Холл 2015 Определение 12.4
8. Холл 2015 Предложение 12.7
9. Холл 2015 Следствие 13.20
10. Холл 2015 Глава 12

Ссылки

• Диксмье, Жак (1996) [1974], Обертывающие алгебры, Graduate Studies in Mathematics , т. 11, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-0560-2, МР  0498740
• Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Graduate Texts in Mathematics , Readings in Mathematics. Том 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. MR  1153249. OCLC  246650103.
• Холл, Брайан С. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Graduate Texts in Mathematics, т. 222 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Хамфрис, Джеймс Э. (1972a), Введение в алгебры Ли и теорию представлений , Биркхойзер, ISBN 978-0-387-90053-7.