Теорема о полиномиальном остатке

Об остатке от деления на x – r

В алгебре теорема о полиномиальных остатках или теорема Малого Безу (названная в честь Этьена Безу ) ^[1] является приложением евклидова деления многочленов . Она утверждает, что для любого числа любой многочлен является суммой и произведением на многочлена степени, меньшей степени В частности, является остатком от евклидова деления на и является делителем тогда и только тогда, когда ^[2] свойство, известное как теорема о множителях . ${\displaystyle r,}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(r)}$ ${\displaystyle x-r}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle f(r)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x-r,}$ ${\displaystyle x-r}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(r)=0,}$

Примеры

Пример 1

Пусть . Полиномиальное деление на дает частное и остаток . Следовательно, . ${\displaystyle f(x)=x^{3}-12x^{2}-42}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle (x-3)}$ ${\displaystyle x^{2}-9x-27}$ ${\displaystyle -123}$ ${\displaystyle f(3)=-123}$

Пример 2

Доказательство того, что теорема о полиномиальном остатке верна для произвольного полинома второй степени, с помощью алгебраических преобразований: ${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)-f(r)&=ax^{2}+bx+c-(ar^{2}+br+c)\\&=a(x^{2}-r^{2})+b(x-r)\\&=a(x-r)(x+r)+b(x-r)\\&=(x-r)(ax+ar+b)\end{aligned}}}$$

Итак, что же представляет собой формула евклидова деления? $${\displaystyle f(x)=(x-r)(ax+ar+b)+f(r),}$$

Обобщение этого доказательства в любой степени приведено ниже в § Прямое доказательство.

Доказательства

Используя евклидово деление

Теорема о полиномиальных остатках следует из теоремы о евклидовом делении , которая для двух полиномов f ( x ) (делимого) и g ( x ) (делителя) утверждает существование (и единственность) частного Q ( x ) и остатка R ( x ) таких, что

${\displaystyle f(x)=Q(x)g(x)+R(x)\quad {\text{and}}\quad R(x)=0\ {\text{ or }}\deg(R)<\deg(g).}$

Если делитель равен , где r — константа, то либо R ( x ) = 0 , либо его степень равна нулю; в обоих случаях R ( x ) — константа, не зависящая от x ; то есть ${\displaystyle g(x)=x-r,}$

${\displaystyle f(x)=Q(x)(x-r)+R.}$

Подставляя в эту формулу, получаем: ${\displaystyle x=r}$

${\displaystyle f(r)=R.}$

Прямое доказательство

Конструктивное доказательство , не включающее теорему о существовании евклидова деления, использует тождество

${\displaystyle x^{k}-r^{k}=(x-r)(x^{k-1}+x^{k-2}r+\dots +xr^{k-2}+r^{k-1}).}$

Если обозначает большой множитель в правой части этого тождества, и ${\displaystyle S_{k}}$

${\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0},}$

один имеет

${\displaystyle f(x)-f(r)=(x-r)(a_{n}S_{n}+\cdots +a_{2}S_{2}+a_{1}),}$

(с ). ${\displaystyle S_{1}=1}$

Добавляя к обеим частям этого уравнения, одновременно получаем теорему о полиномиальных остатках и часть существования теоремы о евклидовом делении для этого конкретного случая. ${\displaystyle f(r)}$

Приложения

Теорема о полиномиальном остатке может быть использована для оценки путем вычисления остатка, . Хотя полиномиальное длинное деление сложнее, чем оценка самой функции , синтетическое деление вычислительно проще. Таким образом, функция может быть более "дешево" оценена с использованием синтетического деления и теоремы о полиномиальном остатке. ${\displaystyle f(r)}$ ${\displaystyle R}$

Теорема о факторах — это еще одно применение теоремы об остатках: если остаток равен нулю, то линейный делитель является множителем. Повторное применение теоремы о факторах может быть использовано для факторизации многочлена. ^[3]

Ссылки

1. Пётр Рудницкий (2004). «Маленькая теорема Безу (теорема о факторах)» (PDF) . Formalized Mathematics . 12 (1): 49–58.
2. Ларсон, Рон (2014), Колледжская алгебра, Cengage Learning
3. Ларсон, Рон (2011), Предварительное исчисление с ограничениями, Cengage Learning