Полярное разложение

Представление обратимых матриц в виде унитарного оператора, умножающего эрмитов оператор

В математике полярное разложение квадратной действительной или комплексной матрицы представляет собой факторизацию вида , где — унитарная матрица , а — положительно полуопределенная эрмитова матрица ( — ортогональная матрица , а — положительно полуопределенная симметричная матрица в действительном случае ), обе квадратные и одинакового размера. ^[1] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A=UP}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle P}$

Если действительная матрица интерпретируется как линейное преобразование -мерного пространства , полярное разложение разделяет его на поворот или отражение и масштабирование пространства вдоль набора ортогональных осей. ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$

Полярное разложение квадратной матрицы всегда существует. Если обратимо , разложение однозначно, и множитель будет положительно-определенным . В этом случае можно однозначно записать в виде , где унитарно, а — уникальный самосопряженный логарифм матрицы . ^[2] Это разложение полезно при вычислении фундаментальной группы (матричных) групп Ли . ^[3] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A=Ue^{X}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$

Полярное разложение можно также определить как , где — симметричная положительно определенная матрица с теми же собственными значениями, что и , но с другими собственными векторами. ${\displaystyle A=P'U}$ ${\displaystyle P'=UPU^{-1}}$ ${\displaystyle P}$

Полярное разложение матрицы можно рассматривать как матричный аналог полярной формы комплексного числа как , где — его абсолютное значение (неотрицательное действительное число ), а — комплексное число с единичной нормой (элемент группы окружности ) . ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z=ur}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle u}$

Определение может быть расширено до прямоугольных матриц, требуя, чтобы матрица была полуунитарной и была положительно-полуопределенной эрмитовой матрицей. Разложение всегда существует и всегда уникально. Матрица уникальна тогда и только тогда, когда имеет полный ранг. ^[4] ${\displaystyle A=UP}$ ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{m\times n}}$ ${\displaystyle U\in \mathbb {C} ^{m\times n}}$ ${\displaystyle P\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle A}$

Геометрическая интерпретация

Действительная квадратная матрица может быть интерпретирована как линейное преобразование , которое переводит вектор-столбец в . Тогда в полярном разложении множитель является действительной ортонормированной матрицей. Полярное разложение тогда можно рассматривать как выражение линейного преобразования, определяемого в масштабирование пространства вдоль каждого собственного вектора на масштабный множитель (действие ), за которым следует вращение (действие ). ${\displaystyle m\times m}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle Ax}$ ${\displaystyle A=RP}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle m\times m}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \sigma _{i}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle R}$

В качестве альтернативы, разложение выражает преобразование, определяемое как вращение ( ), за которым следует масштабирование ( ) вдоль определенных ортогональных направлений. Масштабные коэффициенты одинаковы, но направления различны. ${\displaystyle A=PR}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle P}$

Характеристики

Полярное разложение комплексно сопряженного числа задается формулой Примечание, которая дает соответствующее полярное разложение определителя A , поскольку и . В частности, если имеет определитель 1, то и и имеют определитель 1. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\overline {A}}={\overline {U}}{\overline {P}}.}$ $${\displaystyle \det A=\det U\det P=e^{i\theta }r}$$ ${\displaystyle \det U=e^{i\theta }}$ ${\displaystyle \det P=r=\left|\det A\right|}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle P}$

Положительно-полуопределенная матрица P всегда уникальна, даже если A является вырожденной , и обозначается как , где обозначает сопряженное транспонирование . Уникальность P гарантирует, что это выражение является корректно определенным. Уникальность гарантируется тем фактом, что является положительно-полуопределенной эрмитовой матрицей и, следовательно, имеет единственный положительно-полуопределенный эрмитов квадратный корень . ^[5] Если A обратима, то P положительно-определена, следовательно, также обратима, и матрица U однозначно определяется $${\displaystyle P=\left(A^{*}A\right)^{1/2},}$$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{*}A}$ $${\displaystyle U=AP^{-1}.}$$

Отношение к СВД

В терминах разложения по сингулярным значениям (SVD) , , имеем где , , и являются унитарными матрицами (называемыми ортогональными матрицами, если поле является вещественными числами ). Это подтверждает, что является положительно определенным и унитарным. Таким образом, существование SVD эквивалентно существованию полярного разложения. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A=W\Sigma V^{*}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}P&=V\Sigma V^{*}\\U&=WV^{*}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle U}$

Можно также разложить в виде Здесь то же самое, что и раньше, и задается как Это известно как левополярное разложение, тогда как предыдущее разложение известно как правополярное разложение. Левополярное разложение также известно как обратнополярное разложение. ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle A=P'U}$$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle P'}$ $${\displaystyle P'=UPU^{-1}=\left(AA^{*}\right)^{1/2}=W\Sigma W^{*}.}$$

Полярное разложение квадратной обратимой действительной матрицы имеет вид , где — положительно определенная матрица , а — ортогональная матрица. ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle A=|A|R}$$ ${\displaystyle |A|=\left(AA^{\textsf {T}}\right)^{1/2}}$ ${\displaystyle R=|A|^{-1}A}$

Отношение к нормальным матрицам

Матрица с полярным разложением является нормальной тогда и только тогда, когда и коммутируют : , или, что эквивалентно, они одновременно диагонализируемы . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A=UP}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle UP=PU}$

Строительство и доказательства существования

Основная идея построения полярного разложения аналогична идее, используемой для вычисления сингулярного разложения .

Вывод для нормальных матриц

Если является нормальной , то она унитарно эквивалентна диагональной матрице: для некоторой унитарной матрицы и некоторой диагональной матрицы . Это делает вывод ее полярного разложения особенно простым, поскольку тогда мы можем записать , где является диагональной матрицей, содержащей фазы элементов , то есть, когда , и когда . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A=V\Lambda V^{*}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \Lambda }$ $${\displaystyle A=V\Phi _{\Lambda }|\Lambda |V^{*}=\underbrace {\left(V\Phi _{\Lambda }V^{*}\right)} _{\equiv U}\underbrace {\left(V|\Lambda |V^{*}\right)} _{\equiv P},}$$ ${\displaystyle \Phi _{\Lambda }}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle (\Phi _{\Lambda })_{ii}\equiv \Lambda _{ii}/|\Lambda _{ii}|}$ ${\displaystyle \Lambda _{ii}\neq 0}$ ${\displaystyle (\Phi _{\Lambda })_{ii}=0}$ ${\displaystyle \Lambda _{ii}=0}$

Полярное разложение, таким образом, имеет вид , с и диагональю в собственном базисе и имеющим собственные значения, равные фазам и абсолютным значениям собственных значений , соответственно. ${\displaystyle A=UP}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Вывод для обратимых матриц

Из разложения по сингулярным значениям можно показать, что матрица обратима тогда и только тогда, когда (эквивалентно, ). Более того, это верно тогда и только тогда, когда все собственные значения не равны нулю. ^[6] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{*}A}$ ${\displaystyle AA^{*}}$ ${\displaystyle A^{*}A}$

В этом случае полярное разложение получается непосредственно путем записи и наблюдения, что является унитарным. Чтобы увидеть это, мы можем использовать спектральное разложение для записи . $${\displaystyle A=A\left(A^{*}A\right)^{-1/2}\left(A^{*}A\right)^{1/2},}$$ ${\displaystyle A\left(A^{*}A\right)^{-1/2}}$ ${\displaystyle A^{*}A}$ ${\displaystyle A\left(A^{*}A\right)^{-1/2}=AVD^{-1/2}V^{*}}$

В этом выражении является унитарным, поскольку является. Чтобы показать, что также является унитарным, мы можем использовать SVD , чтобы записать , так что где снова является унитарным по построению. ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle AVD^{-1/2}}$ ${\displaystyle A=WD^{1/2}V^{*}}$ $${\displaystyle AVD^{-1/2}=WD^{1/2}V^{*}VD^{-1/2}=W,}$$ ${\displaystyle W}$

Еще один способ непосредственно показать унитарность — это отметить, что, записывая SVD в терминах матриц ранга 1 как , где — сингулярные значения , мы имеем что напрямую подразумевает унитарность, поскольку матрица унитарна тогда и только тогда, когда ее сингулярные значения имеют унитарное абсолютное значение. ${\displaystyle A\left(A^{*}A\right)^{-1/2}}$ ${\displaystyle A}$ ${\textstyle A=\sum _{k}s_{k}v_{k}w_{k}^{*}}$ ${\displaystyle s_{k}}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle A\left(A^{*}A\right)^{-1/2}=\left(\sum _{j}\lambda _{j}v_{j}w_{j}^{*}\right)\left(\sum _{k}|\lambda _{k}|^{-1}w_{k}w_{k}^{*}\right)=\sum _{k}{\frac {\lambda _{k}}{|\lambda _{k}|}}v_{k}w_{k}^{*},}$$ ${\displaystyle A\left(A^{*}A\right)^{-1/2}}$

Обратите внимание, что из приведенной выше конструкции следует, что унитарная матрица в полярном разложении обратимой матрицы определяется однозначно .

Общий вывод

SVD квадратной матрицы читается как , с унитарными матрицами и диагональной положительно полуопределенной матрицей. Просто вставляя дополнительную пару s или s, мы получаем две формы полярного разложения : В более общем случае, если — некоторая прямоугольная матрица, ее SVD можно записать как , где теперь и — изометрии с размерами и , соответственно, где , и — снова диагональная положительно полуопределенная квадратная матрица с размерами . Теперь мы можем применить те же рассуждения, которые использовались в приведенном выше уравнении, чтобы записать , но теперь в общем случае не является унитарным. Тем не менее, имеет тот же носитель и диапазон , что и , и удовлетворяет и . Это превращает в изометрию, когда ее действие ограничено носителем , то есть это означает, что является частичной изометрией . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A=WD^{1/2}V^{*}}$ ${\displaystyle W,V}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle A=WD^{1/2}V^{*}=\underbrace {\left(WD^{1/2}W^{*}\right)} _{P}\underbrace {\left(WV^{*}\right)} _{U}=\underbrace {\left(WV^{*}\right)} _{U}\underbrace {\left(VD^{1/2}V^{*}\right)} _{P'}.}$$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n\times m}$ ${\displaystyle A=WD^{1/2}V^{*}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle n\times r}$ ${\displaystyle m\times r}$ ${\displaystyle r\equiv \operatorname {rank} (A)}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle r\times r}$ ${\displaystyle A=PU=UP'}$ ${\displaystyle U\equiv WV^{*}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle U^{*}U=VV^{*}}$ ${\displaystyle UU^{*}=WW^{*}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle U}$

В качестве явного примера этого более общего случая рассмотрим SVD следующей матрицы: Тогда мы имеем , которая является изометрией, но не унитарной. С другой стороны, если мы рассмотрим разложение , мы найдем , которая является частичной изометрией (но не изометрией). $${\displaystyle A\equiv {\begin{pmatrix}1&1\\2&-2\\0&0\end{pmatrix}}=\underbrace {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\0&0\end{pmatrix}} _{\equiv W}\underbrace {\begin{pmatrix}{\sqrt {2}}&0\\0&{\sqrt {8}}\end{pmatrix}} _{\sqrt {D}}\underbrace {\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}} _{V^{\dagger }}.}$$ $${\displaystyle WV^{\dagger }={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\\0&0\end{pmatrix}}}$$ $${\displaystyle A\equiv {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}},}$$ $${\displaystyle WV^{\dagger }={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}},}$$

Ограниченные операторы в гильбертовом пространстве

Полярное разложение любого ограниченного линейного оператора A между комплексными гильбертовыми пространствами представляет собой каноническую факторизацию как произведение частичной изометрии и неотрицательного оператора.

Полярное разложение для матриц обобщается следующим образом: если A — ограниченный линейный оператор, то существует единственная факторизация A как произведения A = UP , где U — частичная изометрия, P — неотрицательный самосопряженный оператор, а исходное пространство U является замыканием области значений P.

Оператор U должен быть ослаблен до частичной изометрии, а не унитарной, из-за следующих проблем. Если A — односторонний сдвиг на l ² ( N ), то | A | = { A ^* A } ^1/2 = I . Таким образом, если A = U | A |, U должен быть A , что не является унитарным.

Существование полярного разложения является следствием леммы Дугласа :

Лемма  —  Если A , B — ограниченные операторы в гильбертовом пространстве H , и A ^* A ≤ B ^* B , то существует стягивание C такое, что A = CB . Более того, C является единственным, если ker( B ^* ) ⊂ ker( C ).

Оператор C может быть определен как C ( Bh ) := Ah для всех h в H , расширенный по непрерывности до замыкания Ran ( B ) и нулем на ортогональном дополнении ко всем H . Лемма тогда следует, поскольку A ^* A ≤ B ^* B влечет ker( B ) ⊂ ker( A ).

В частности. Если A ^* A = B ^* B , то C является частичной изометрией, которая единственна, если ker( B ^* ) ⊂ ker( C ). В общем случае для любого ограниченного оператора A , где ( A ^* A ) ^1/2 является единственным положительным квадратным корнем из A ^* A , заданным обычным функциональным исчислением . Таким образом, по лемме, для некоторой частичной изометрии U , которая единственна, если ker( A ^* ) ⊂ ker( U ). Возьмем P равным ( A ^* A ) ^1/2 , и получим полярное разложение A = UP . Обратите внимание, что аналогичный аргумент можно использовать для доказательства A = P'U ' , где P' является положительным, а U ' является частичной изометрией. $${\displaystyle A^{*}A=\left(A^{*}A\right)^{1/2}\left(A^{*}A\right)^{1/2},}$$ $${\displaystyle A=U\left(A^{*}A\right)^{1/2}}$$

Когда H конечномерен, U можно расширить до унитарного оператора; в общем случае это неверно (см. пример выше). В качестве альтернативы полярное разложение можно показать с помощью операторной версии сингулярного разложения .

По свойству непрерывного функционального исчисления | A | находится в C*-алгебре, порожденной A. Аналогичное, но более слабое утверждение справедливо для частичной изометрии: U находится в алгебре фон Неймана, порожденной A. Если A обратим, полярная часть U также будет находиться в C*-алгебре .

Неограниченные операторы

Если A — замкнутый, плотно определенный неограниченный оператор между комплексными гильбертовыми пространствами, то он все еще имеет (единственное) полярное разложение , где | A | — (возможно, неограниченный) неотрицательный самосопряженный оператор с той же областью определения, что и A , а U — частичная изометрия, исчезающая на ортогональном дополнении области действия ran(| A |). $${\displaystyle A=U|A|}$$

Доказательство использует ту же лемму, что и выше, которая действует для неограниченных операторов в общем случае. Если dom( A ^* A ) = dom( B ^* B ) и A ^* Ah = B ^* Bh для всех h ∈ dom( A ^* A ), то существует частичная изометрия U такая, что A = UB . U уникально, если ran( B ) ^⊥ ⊂ ker( U ). Замкнутость и плотность определения оператора A гарантирует, что оператор A ^* A является самосопряженным (с плотной областью определения) и, следовательно, позволяет определить ( A ^* A ) ^1/2 . Применение леммы дает полярное разложение.

Если неограниченный оператор A присоединен к алгебре фон Неймана M , и A = UP — его полярное разложение, то U принадлежит M , как и спектральная проекция P , 1 _B ( P ), для любого борелевского множества B из [0, ∞) .

Кватернионное полярное разложение

Полярное разложение кватернионов с ортонормированным базисом кватернионов зависит от единичной 2-мерной сферы квадратных корней из минус одного , известных как правые версоры . При любом на этой сфере и угле − π < a ≤ π версор находится на единичной 3-сфере Для a = 0 и a = π версор равен 1 или −1, независимо от того, какой r выбран. Норма t кватерниона q — это евклидово расстояние от начала координат до q . Когда кватернион — это не просто действительное число , то существует уникальное полярное разложение: ${\displaystyle \ \mathbb {H} \ }$ ${\displaystyle \ 1,{\widehat {i}},{\widehat {j}},{\widehat {k}}\ }$ ${\displaystyle \ {\widehat {r}}\in \lbrace \ x\ {\widehat {i}}+y\ {\widehat {j}}+z\ {\widehat {k}}\in \mathbb {H} \smallsetminus \mathbb {R} \ :\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\ \rbrace \ }$ ${\displaystyle \ {\widehat {r}}\ }$ ${\displaystyle \ e^{a\ {\widehat {r}}}{=}\cos(a)+{\widehat {r}}\ \sin(a)\ }$ ${\displaystyle \ \mathbb {H} ~.}$

${\displaystyle \ q=t\ \exp \left(\ a\ {\widehat {r}}\ \right)~.}$

Здесь r , a , t определяются однозначно, так что r является правым вектором ( r ² = –1 ), a удовлетворяет 0 < a < π и t > 0 .

Альтернативные планарные разложения

В декартовой плоскости альтернативные плоские кольцевые разложения возникают следующим образом:

• Если x ≠ 0 , z = x (1 + ε( y / x )) является полярным разложением дуального числа z = x + yε , где ε ² = 0 ; т. е. ε нильпотентно . В этом полярном разложении единичная окружность заменена прямой x = 1 , полярный угол — наклоном y / x , а радиус x отрицателен в левой полуплоскости.
• Если x ² ≠ y ² , то единичная гипербола x ² − y ² = 1 и ее сопряженная x ² − y ² = −1 могут быть использованы для формирования полярного разложения на основе ветви единичной гиперболы через (1, 0) . Эта ветвь параметризуется гиперболическим углом a и записывается

  $${\displaystyle \cosh(a)+j\ \sinh(a)=\exp(aj)=e^{aj}}$$где j ² = +1 и используется арифметика ^[7] расщепленных комплексных чисел . Ветвь через (−1, 0) отслеживается − e ^aj . Поскольку операция умножения на j отражает точку через прямую y = x , сопряженная гипербола имеет ветви, отслеживаемые je ^aj или − je ^aj . Поэтому точка в одном из квадрантов имеет полярное разложение в одной из форм: $${\displaystyle re^{aj},-re^{aj},rje^{aj},-rje^{aj},\quad r>0}$$

  Множество { 1, −1, j , − j } имеет произведения, которые делают его изоморфным четверной группе Клейна . Очевидно, полярное разложение в этом случае включает элемент из этой группы.

Численное определение полярного разложения матрицы

Для вычисления приближения полярного разложения A = UP обычно аппроксимируется унитарный множитель U. ^{[8] [9]} Итерация основана на методе Герона для квадратного корня из 1 и вычисляет, начиная с , последовательность ${\displaystyle U_{0}=A}$ $${\displaystyle U_{k+1}={\frac {1}{2}}\left(U_{k}+\left(U_{k}^{*}\right)^{-1}\right),\qquad k=0,1,2,\ldots }$$

Комбинация инверсии и эрмитового сопряжения выбирается таким образом, чтобы в сингулярном разложении унитарные множители оставались прежними, а итерация сводилась к методу Герона на сингулярных значениях.

Эту базовую итерацию можно усовершенствовать для ускорения процесса:

• На каждом шаге или через регулярные интервалы оценивается диапазон сингулярных значений , а затем матрица масштабируется для центрирования сингулярных значений вокруг 1 . Коэффициент масштабирования вычисляется с использованием матричных норм матрицы и ее обратной матрицы. Примерами таких оценок масштаба являются: ${\displaystyle U_{k}}$ ${\displaystyle \gamma _{k}U_{k}}$ ${\displaystyle \gamma _{k}}$

  $${\displaystyle \gamma _{k}={\sqrt[{4}]{\frac {\left\|U_{k}^{-1}\right\|_{1}\left\|U_{k}^{-1}\right\|_{\infty }}{\left\|U_{k}\right\|_{1}\left\|U_{k}\right\|_{\infty }}}}}$$с использованием норм матриц суммы строк и суммы столбцов или с использованием нормы Фробениуса . Включая масштабный коэффициент, итерация теперь $${\displaystyle \gamma _{k}={\sqrt {\frac {\left\|U_{k}^{-1}\right\|_{F}}{\left\|U_{k}\right\|_{F}}}}}$$

  $${\displaystyle U_{k+1}={\frac {1}{2}}\left(\gamma _{k}U_{k}+{\frac {1}{\gamma _{k}}}\left(U_{k}^{*}\right)^{-1}\right),\qquad k=0,1,2,\ldots }$$
• QR -разложение можно использовать на подготовительном этапе для сведения сингулярной матрицы A к меньшей регулярной матрице, а также на каждом этапе для ускорения вычисления обратной матрицы.
• Метод Герона для вычисления корней можно заменить методами более высокого порядка, например, на основе метода Галлея третьего порядка, что приводит к Эту итерацию можно снова объединить с масштабированием. Эта конкретная формула имеет то преимущество, что она применима также к сингулярным или прямоугольным матрицам A . ${\displaystyle x^{2}-1=0}$ $${\displaystyle U_{k+1}=U_{k}\left(I+3U_{k}^{*}U_{k}\right)^{-1}\left(3I+U_{k}^{*}U_{k}\right),\qquad k=0,1,2,\ldots }$$

Смотрите также

• Разложение Картана
• Алгебраическое полярное разложение
• Полярное разложение комплексной меры
• Разложение группы Ли

Ссылки

1. Холл 2015 Раздел 2.5
2. Холл 2015 Теорема 2.17
3. Холл 2015 Раздел 13.3
4. Хайэм, Николас Дж.; Шрайбер, Роберт С. (1990). «Быстрое полярное разложение произвольной матрицы». SIAM J. Sci. Stat. Comput . 11 (4). Филадельфия, Пенсильвания, США: Общество промышленной и прикладной математики: 648–655. CiteSeerX 10.1.1.111.9239 . doi :10.1137/0911038. ISSN  0196-5204. S2CID  14268409. 
5. Холл 2015 Лемма 2.18
6. Обратите внимание, что из положительности следует , что все собственные значения действительны и строго положительны. ${\displaystyle A^{*}A}$
7. Собчик, Г. (1995) «Гиперболическая числовая плоскость», College Mathematics Journal 26:268–80
8. Хайэм, Николас Дж. (1986). «Вычисление полярного разложения с приложениями». SIAM J. Sci. Stat. Comput . 7 (4). Филадельфия, Пенсильвания, США: Общество промышленной и прикладной математики: 1160–1174. CiteSeerX 10.1.1.137.7354 . doi :10.1137/0907079. ISSN  0196-5204. 
9. Байерс, Ральф; Хунго Сюй (2008). «Новое масштабирование итераций Ньютона для полярного разложения и его обратная устойчивость». SIAM J. Matrix Anal. Appl . 30 (2). Филадельфия, Пенсильвания, США: Общество промышленной и прикладной математики: 822–843. CiteSeerX 10.1.1.378.6737 . doi :10.1137/070699895. ISSN  0895-4798. 

• Conway, JB : Курс функционального анализа. Graduate Texts in Mathematics . New York: Springer 1990
• Дуглас, РГ : О мажорировании, факторизации и включении диапазона операторов в гильбертовом пространстве. Proc. Amer. Math. Soc. 17 , 413–415 (1966)
• Холл, Брайан С. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Graduate Texts in Mathematics, т. 222 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3319134666.
• Хельгасон, Сигурдур (1978), Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметричные пространства , Academic Press, ISBN 0-8218-2848-7