Теоремы Пенроуза–Хокинга о сингулярностях

Ключевые результаты общей теории относительности по гравитационным сингулярностям

Теоремы Пенроуза–Хокинга о сингулярности (в честь Роджера Пенроуза и Стивена Хокинга ) представляют собой набор результатов в общей теории относительности , которые пытаются ответить на вопрос о том, когда гравитация создает сингулярности . Теорема Пенроуза о сингулярности является теоремой в полуримановой геометрии , и ее общерелятивистская интерпретация предсказывает гравитационную сингулярность при образовании черных дыр. Теорема Хокинга о сингулярности основана на теореме Пенроуза и интерпретируется как гравитационная сингулярность в ситуации Большого взрыва . Пенроуз был удостоен Нобелевской премии по физике в 2020 году «за открытие того, что образование черных дыр является надежным предсказанием общей теории относительности», которое он разделил с Райнхардом Генцелем и Андреа Гез . ^[1]

Сингулярность

Сингулярность в решениях уравнений поля Эйнштейна — это одно из трех:

• Пространственноподобные сингулярности: Сингулярность лежит в будущем или прошлом всех событий в пределах определенного региона. Сингулярность Большого взрыва и типичная сингулярность внутри невращающейся, незаряженной черной дыры Шварцшильда являются пространственноподобными.
• Временные сингулярности: Это сингулярности, которых наблюдатель может избежать, поскольку они не обязательно находятся в будущем всех событий. Наблюдатель может иметь возможность перемещаться вокруг временной сингулярности. Они менее распространены в известных решениях уравнений поля Эйнштейна .
• Нулевые сингулярности: Эти сингулярности возникают на светоподобных или нулевых поверхностях. Примером могут служить некоторые типы внутренностей черных дыр, такие как горизонт Коши заряженной ( Рейсснера-Нордстрема ) или вращающейся ( Керра ) черной дыры.

Сингулярность может быть сильной или слабой:

• Слабые сингулярности: Слабая сингулярность — это такая сингулярность, где приливные силы (которые отвечают за спагеттификацию в черных дырах) не обязательно бесконечны. Наблюдатель, попадающий в слабую сингулярность, может не быть разорван на части до достижения сингулярности, хотя законы физики все равно будут там нарушаться. Горизонт Коши внутри заряженной или вращающейся черной дыры может быть примером слабой сингулярности.
• Сильные сингулярности: Сильная сингулярность — это та, где приливные силы становятся бесконечными. В сильной сингулярности любой объект будет уничтожен бесконечными приливными силами по мере приближения к сингулярности. Сингулярность в центре черной дыры Шварцшильда является примером сильной сингулярности.

Пространственно-подобные сингулярности являются особенностью невращающихся незаряженных черных дыр , как описано метрикой Шварцшильда , в то время как времени-подобные сингулярности являются теми, которые возникают в точных решениях заряженных или вращающихся черных дыр. Оба они обладают свойством геодезической неполноты , при котором либо некоторый путь света, либо некоторый путь частицы не может быть продолжен за пределы определенного собственного времени или аффинного параметра (аффинный параметр является нулевым аналогом собственного времени).

Теорема Пенроуза гарантирует, что некоторая геодезическая неполнота имеет место внутри любой черной дыры всякий раз, когда материя удовлетворяет разумным энергетическим условиям . Энергетическое условие, требуемое для теоремы о сингулярности черной дыры, является слабым: оно гласит, что световые лучи всегда фокусируются вместе гравитацией, никогда не расходятся, и это выполняется всякий раз, когда энергия материи неотрицательна.

Теорема Хокинга о сингулярности относится ко всей Вселенной и работает в обратном направлении во времени: она гарантирует, что (классический) Большой взрыв имеет бесконечную плотность. ^[2] Эта теорема более ограничена и справедлива только тогда, когда материя подчиняется более сильному энергетическому условию, называемому сильным энергетическим условием , в котором энергия больше давления. Вся обычная материя, за исключением вакуумного ожидаемого значения скалярного поля , подчиняется этому условию. Во время инфляции Вселенная нарушает доминирующее энергетическое условие, и изначально утверждалось (например, Старобинским ^[3] ), что инфляционные космологии могут избежать начальной сингулярности Большого взрыва. Однако с тех пор было показано, что инфляционные космологии все еще являются неполными в прошлом ^[4] и, таким образом, требуют физики, отличной от инфляции, для описания прошлой границы раздувающейся области пространства-времени.

До сих пор остается открытым вопрос, предсказывает ли (классическая) общая теория относительности пространственноподобные сингулярности внутри реалистичных заряженных или вращающихся черных дыр, или же они являются артефактами высокосимметричных решений и превращаются в нулевые или времениподобные сингулярности при добавлении возмущений.

Интерпретация и значение

В общей теории относительности сингулярность — это место, которого объекты или световые лучи могут достичь за конечное время, где кривизна становится бесконечной, или пространство-время перестает быть многообразием . Сингулярности можно найти во всех пространствах-временах черных дыр, метрике Шварцшильда , метрике Рейсснера–Нордстрема , метрике Керра и метрике Керра–Ньюмена , а также во всех космологических решениях, которые не имеют скалярной энергии поля или космологической постоянной. ^{[ требуется ссылка ]}

Невозможно предсказать, что может «выйти» из сингулярности большого взрыва в нашем прошлом или что случится с наблюдателем, который «попадет» в сингулярность черной дыры в будущем, поэтому они требуют модификации физического закона. До Пенроуза считалось, что сингулярности образуются только в надуманных ситуациях. Например, при коллапсе звезды с образованием черной дыры, если звезда вращается и, таким образом, обладает некоторым угловым моментом , возможно, центробежная сила частично противодействует гравитации и удерживает сингулярность от образования. Теоремы о сингулярности доказывают, что этого не может произойти, и что сингулярность всегда будет образовываться, как только сформируется горизонт событий .

В примере с коллапсирующей звездой, поскольку вся материя и энергия являются источником гравитационного притяжения в общей теории относительности, дополнительный угловой момент только сильнее стягивает звезду по мере ее сжатия: часть за пределами горизонта событий в конечном итоге оседает в черную дыру Керра (см. теорему об отсутствии волос ). Часть внутри горизонта событий обязательно имеет где-то сингулярность. Доказательство несколько конструктивно — оно показывает, что сингулярность можно найти, следуя за световыми лучами от поверхности прямо внутри горизонта. Но доказательство не говорит, какой тип сингулярности возникает: пространственноподобная, времениподобная, нулевая, орбифолдная , скачок разрыва в метрике. Оно гарантирует только то, что если следовать времениподобным геодезическим в будущее, то невозможно, чтобы граница области, которую они образуют, была создана нулевыми геодезическими с поверхности. Это означает, что граница должна либо появиться из ниоткуда, либо все будущее должно заканчиваться на некотором конечном расширении.

Интересная «философская» особенность общей теории относительности раскрывается теоремами о сингулярностях. Поскольку общая теория относительности предсказывает неизбежное возникновение сингулярностей, теория не будет полной без спецификации того, что происходит с материей, которая попадает в сингулярность. Общую теорию относительности можно расширить до единой теории поля, такой как система Эйнштейна–Максвелла–Дирака, где такие сингулярности не возникают.

Элементы теорем

В истории существует глубокая связь между кривизной многообразия и его топологией . Теорема Бонне–Майерса утверждает, что полное риманово многообразие , имеющее кривизну Риччи всюду большую, чем некоторая положительная константа, должно быть компактным . Условие положительной кривизны Риччи удобнее всего сформулировать следующим образом: для каждой геодезической существует близлежащая изначально параллельная геодезическая, которая будет изгибаться к ней при продолжении, и эти две пересекутся на некоторой конечной длине.

Когда пересекаются две соседние параллельные геодезические (см. сопряженная точка ), продолжение любой из них больше не является кратчайшим путем между конечными точками. Причина в том, что два параллельных геодезических пути обязательно сталкиваются после продолжения равной длины, и если один путь следует до пересечения, а затем другой, вы соединяете конечные точки негеодезическим путем равной длины. Это означает, что для того, чтобы геодезическая была путем кратчайшей длины, она никогда не должна пересекать соседние параллельные геодезические.

Начиная с небольшой сферы и проводя параллельные геодезические от границы, предполагая, что многообразие имеет кривизну Риччи, ограниченную снизу положительной константой, ни одна из геодезических не является кратчайшим путем через некоторое время, поскольку все они сталкиваются с соседом. Это означает, что после определенного количества расширений все потенциально новые точки достигнуты. Если все точки в связном многообразии находятся на конечном геодезическом расстоянии от малой сферы, многообразие должно быть компактным.

Роджер Пенроуз рассуждал аналогично в теории относительности. Если нулевые геодезические , пути световых лучей , следуют в будущее, то в будущем области генерируются точки. Если точка находится на границе будущего области, то ее можно достичь, только двигаясь со скоростью света, не медленнее, поэтому нулевые геодезические включают всю границу собственного будущего области. ^{[ необходима цитата ]} Когда нулевые геодезические пересекаются, они больше не находятся на границе будущего, они находятся внутри будущего. Таким образом, если все нулевые геодезические сталкиваются, то границы будущего нет.

В теории относительности кривизна Риччи, которая определяет свойства столкновения геодезических, определяется тензором энергии , а ее проекция на световые лучи равна нулевой проекции тензора энергии-импульса и всегда неотрицательна. Это означает, что объем конгруэнции параллельных нулевых геодезических, как только он начинает уменьшаться, достигнет нуля за конечное время. Как только объем становится равным нулю, происходит коллапс в некотором направлении, поэтому каждая геодезическая пересекает некоторого соседа.

Пенроуз пришел к выводу, что всякий раз, когда есть сфера, где все исходящие (и входящие) световые лучи изначально сходятся, граница будущего этой области закончится после конечного расширения, потому что все нулевые геодезические будут сходиться. ^[5] Это важно, потому что исходящие световые лучи для любой сферы внутри горизонта решения черной дыры все сходятся, поэтому граница будущего этой области либо компактна, либо приходит из ниоткуда. Будущее внутренней части либо заканчивается после конечного расширения, либо имеет границу, которая в конечном итоге генерируется новыми световыми лучами, которые нельзя проследить до исходной сферы.

Природа сингулярности

Теоремы о сингулярности используют понятие геодезической неполноты в качестве замены для наличия бесконечных кривизн. Геодезическая неполнота — это понятие, что существуют геодезические , пути наблюдателей через пространство-время, которые могут быть продолжены только на конечное время, измеряемое наблюдателем, движущимся по ним. Предположительно, в конце геодезической наблюдатель попал в сингулярность или столкнулся с какой-то другой патологией, при которой законы общей теории относительности нарушаются.

Предположения теорем

Обычно теорема о сингулярности состоит из трех компонентов: ^[6]

1. Энергетическое условие по этому вопросу,
2. Условие глобальной структуры пространства-времени ,
3. Гравитация достаточно сильна (где-то), чтобы захватить регион.

Для каждого ингредиента существуют различные возможности, и каждая из них приводит к различным теоремам о сингулярности.

Используемые инструменты

Ключевым инструментом , используемым при формулировке и доказательстве теорем о сингулярности, является уравнение Райчаудхури , которое описывает расхождение конгруэнции (семейства) геодезических. Расхождение конгруэнции определяется как производная логарифма определителя объема конгруэнции. Уравнение Райчаудхури имеет вид ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\dot {\theta }}=-\sigma _{ab}\sigma ^{ab}-{\frac {1}{3}}\theta ^{2}-{E[{\vec {X}}]^{a}}_{a}}$

где — тензор сдвига конгруэнции, также известный как скаляр Райчаудхури (подробности см. на странице конгруэнции ). Ключевым моментом является то, что будет неотрицательным при условии, что уравнения поля Эйнштейна верны и ^[6] ${\displaystyle \sigma _{ab}}$ ${\displaystyle {E[{\vec {X}}]^{a}}_{a}=R_{mn}\,X^{m}\,X^{n}}$ ${\displaystyle {E[{\vec {X}}]^{a}}_{a}}$

• условие нулевой энергии выполняется и геодезическое соответствие равно нулю, или
• выполняется сильное энергетическое условие , а геодезическая конгруэнтность является времениподобной.

Когда они выполняются, расхождение становится бесконечным при некотором конечном значении аффинного параметра. Таким образом, все геодезические, выходящие из точки, в конечном итоге снова сойдутся через конечное время, при условии соблюдения соответствующего энергетического условия, результат, также известный как теорема о фокусировке .

Это актуально для сингулярностей благодаря следующему аргументу:

1. Предположим, что у нас есть пространство-время, которое является глобально гиперболическим , и две точки и , которые могут быть соединены времениподобной или нулевой кривой . Тогда существует геодезическая максимальной длины, соединяющая и . Назовем ее геодезической . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \gamma }$
2. Геодезическую линию можно преобразовать в более длинную кривую, если другая геодезическая пересекается с ней в другой точке, называемой сопряженной точкой . ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \gamma }$
3. Из теоремы о фокусировке мы знаем, что все геодезические из имеют сопряженные точки при конечных значениях аффинного параметра. В частности, это верно для геодезической максимальной длины. Но это противоречие — поэтому можно заключить, что пространство-время геодезически неполно. ${\displaystyle p}$

В общей теории относительности существует несколько версий теоремы о сингулярности Пенроуза–Хокинга . Большинство версий, грубо говоря, утверждают, что если есть захваченная нулевая поверхность и плотность энергии неотрицательна, то существуют геодезические конечной длины, которые не могут быть продолжены. ^[7]

Строго говоря, эти теоремы доказывают, что существует по крайней мере одна непространственноподобная геодезическая, которая может быть продолжена в прошлое лишь конечно, но существуют случаи, в которых условия этих теорем выполняются таким образом, что все пространственно-временные пути, направленные в прошлое, заканчиваются в сингулярности.

Версии

Существует много версий; ниже представлена ​​нулевая версия:

Предполагать

1. Условие нулевой энергии выполняется.
2. Имеем некомпактную связную поверхность Коши .
3. У нас есть замкнутая ловушечная нулевая поверхность . ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

Тогда мы имеем либо нулевую геодезическую неполноту, либо замкнутые времениподобные кривые .

Эскиз доказательства : Доказательство от противного. Граница будущего , генерируется нулевыми геодезическими сегментами, исходящими из с касательными векторами, ортогональными к ней. Будучи захваченной нулевой поверхностью, по нулевому уравнению Райчаудхури , оба семейства нулевых лучей, исходящих из , столкнутся с каустикой. (Каустика сама по себе не вызывает проблем. Например, граница будущего двух пространственноподобных разделенных точек является объединением двух будущих световых конусов с удаленными внутренними частями пересечения. Каустики возникают там, где световые конусы пересекаются, но там не лежит сингулярность.) Однако генерация нулевых геодезических должна заканчиваться, т. е. достигать своих будущих конечных точек в каустике или до нее. В противном случае мы можем взять два нулевых геодезических сегмента — изменяющихся в каустике — и затем слегка деформировать их, чтобы получить времениподобную кривую, соединяющую точку на границе с точкой на , противоречие. Но поскольку компактно, учитывая непрерывную аффинную параметризацию геодезических генераторов, существует нижняя граница абсолютного значения параметра расширения. Итак, мы знаем, что каустики будут развиваться для каждого генератора до того, как истечет равномерная граница в аффинном параметре. В результате должно быть компактным. Либо у нас есть замкнутые времениподобные кривые, либо мы можем построить конгруэнцию по времениподобным кривым, и каждая из них должна пересечь некомпактную поверхность Коши ровно один раз. Рассмотрим все такие времениподобные кривые, проходящие через , и посмотрим на их изображение на поверхности Коши. Будучи непрерывным отображением, изображение также должно быть компактным. Будучи времениподобной конгруэнцией , времениподобные кривые не могут пересекаться, и поэтому отображение является инъективным . Если бы поверхность Коши была некомпактной, то изображение имело бы границу. Мы предполагаем, что пространство-время состоит из одной связной части. Но компактно и безгранично, потому что граница границы пуста. Непрерывное инъективное отображение не может создать границу, что приводит нас к противоречию. ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle {\dot {J}}({\mathcal {T}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle {\dot {J}}({\mathcal {T}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle {\dot {J}}({\mathcal {T}})}$ ${\displaystyle {\dot {J}}({\mathcal {T}})}$ ${\displaystyle {\dot {J}}({\mathcal {T}})}$

Лазейки : Если существуют замкнутые времениподобные кривые, то времениподобные кривые не обязаны пересекать частичную поверхность Коши. Если бы поверхность Коши была компактной, т. е. пространство было бы компактным, нулевые геодезические генераторы границы могли бы пересекаться везде, поскольку они могут пересекаться по другую сторону пространства.

Существуют также другие версии теоремы, включающие слабое или сильное энергетическое условие.

Измененная гравитация

В модифицированной гравитации уравнения поля Эйнштейна не выполняются, и поэтому эти сингулярности не обязательно возникают. Например, в бесконечной производной гравитации возможно, чтобы быть отрицательным, даже если выполняется условие нулевой энергии. ^{[8] [9]} ${\displaystyle {E[{\vec {X}}]^{a}}_{a}}$

Примечания

1. "Нобелевская премия по физике 2020 года". NobelPrize.org . Получено 6 октября 2020 г. .
2. Хокинг, Стивен. «Свойства расширяющихся вселенных». Cambridge Digital Library . Получено 24 октября 2017 г.
3. Старобинский, Алексей А. (1980). «Новый тип изотропных космологических моделей без сингулярности». Physics Letters B. 91 ( 1): 99–102. Bibcode :1980PhLB...91...99S. doi :10.1016/0370-2693(80)90670-X.
4. Борде, Арвинд; Гут, Алан Х.; Виленкин, Александр (15 апреля 2003 г.). «Инфляционные пространства-времена не являются полными в прошлом». Physical Review Letters . 90 (15): 151301. arXiv : gr-qc/0110012 . Bibcode :2003PhRvL..90o1301B. doi :10.1103/PhysRevLett.90.151301. ISSN  0031-9007. PMID  12732026. S2CID  46902994.
5. Хокинг, SW и Эллис, GFR (1994). Крупномасштабная структура пространства-времени . Кембридж: Cambridge University Press . ISBN 0-521-09906-4.
6. Хокинг, Стивен и Пенроуз, Роджер (1996). Природа пространства и времени . Принстон: Princeton University Press . ISBN 0-691-03791-4.
7. "Гравитационное линзирование с точки зрения пространства-времени". Архивировано из оригинала 1 марта 2007 г.
8. Conroy, Aindriú; Koshelev, Alexey S; Mazumdar, Anupam (2016). «Defocusing of Null Rays in Infinite Derivative Gravity». Journal of Cosmology and Astroparticle Physics . 2017 (1): 017. arXiv : 1605.02080 . Bibcode : 2017JCAP...01..017C. doi : 10.1088/1475-7516/2017/01/017. S2CID  115136697.
9. Конрой, Айндриу; Эдхолм, Джеймс (2017). «Ньютоновский потенциал и геодезическая полнота в бесконечной производной гравитации». Physical Review D. 96 ( 4): 044012. arXiv : 1705.02382 . Bibcode : 2017PhRvD..96d4012E. doi : 10.1103/PhysRevD.96.044012. S2CID  45816145.

Ссылки

• Хокинг, Стивен и Эллис, GFR (1973). Крупномасштабная структура пространства-времени . Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 0-521-09906-4.Классическая ссылка.
• Natário, J. (2006). «Относительность и сингулярности – краткое введение для математиков». Resenhas . 6 : 309–335. arXiv : math.DG/0603190 . Bibcode :2006math......3190N.
• Пенроуз, Роджер (1965), «Гравитационный коллапс и сингулярности пространства-времени», Phys. Rev. Lett. , 14 (3): 57, Bibcode : 1965PhRvL..14...57P, doi : 10.1103/PhysRevLett.14.57
• Гарфинкль, Д.; Сеновилла, Дж. М. М. (2015), "Теорема Пенроуза о сингулярности 1965 года", Класс. Квантовая гравитация , 32 (12): 124008, arXiv : 1410.5226 , Bibcode : 2015CQGra..32l4008S, doi : 10.1088/0264-9381/32/12/124008, S2CID  54622511. Также доступно как arXiv :1410.5226
• Калвакота, Вайбхав Р. (2021), «Обсуждение геометрии и общей теории относительности»
• См. также arXiv :hep-th/9409195 для соответствующей главы из книги «Крупномасштабная структура пространства-времени» .
• Witten, Edward (2020), «Световые лучи, сингулярности и все такое», Rev. Mod. Phys. 92 , 45004 (2020), https://doi.org/10.1103/RevModPhys.92.045004. Также доступно как https://arxiv.org/abs/1901.03928. Превосходный педагогический обзор причинных свойств общей теории относительности .