Теорема Белла

Теорема по физике

Теорема Белла — это термин, охватывающий ряд тесно связанных результатов в физике , все из которых определяют, что квантовая механика несовместима с локальными теориями скрытых переменных , учитывая некоторые основные предположения о природе измерения. «Локальный» здесь относится к принципу локальности , идее о том, что частица может находиться под влиянием только своего непосредственного окружения, и что взаимодействия, опосредованные физическими полями, не могут распространяться быстрее скорости света . « Скрытые переменные » — это предполагаемые свойства квантовых частиц, которые не включены в квантовую теорию, но тем не менее влияют на результаты экспериментов. По словам физика Джона Стюарта Белла , в честь которого названо это семейство результатов, «Если [теория скрытых переменных] локальна, она не будет согласовываться с квантовой механикой, а если она согласуется с квантовой механикой, она не будет локальной». ^[1]

Первый такой результат был представлен Беллом в 1964 году, основываясь на парадоксе Эйнштейна–Подольского–Розена , который привлек внимание к явлению квантовой запутанности . Белл пришел к выводу, что если измерения выполняются независимо на двух разделенных частицах запутанной пары, то предположение о том, что результаты зависят от скрытых переменных внутри каждой половины, подразумевает математическое ограничение на то, как коррелируют результаты двух измерений. Такое ограничение позже будет названо неравенством Белла . Затем Белл показал, что квантовая физика предсказывает корреляции, которые нарушают это неравенство . В последующие годы были выдвинуты многочисленные вариации теоремы Белла, использующие различные предположения и получающие различные неравенства Белла (или неравенства «типа Белла»).

Первый элементарный эксперимент, разработанный для проверки теоремы Белла, был проведен в 1972 году Джоном Клаузером и Стюартом Фридманом . ^[2] Более продвинутые эксперименты, известные под общим названием « тесты Белла », проводились с тех пор много раз. Часто эти эксперименты имели целью «закрыть лазейки», то есть решить проблемы экспериментального дизайна или установки, которые в принципе могли повлиять на обоснованность результатов более ранних тестов Белла. Тесты Белла последовательно обнаруживали, что физические системы подчиняются квантовой механике и нарушают неравенства Белла; то есть результаты этих экспериментов несовместимы с локальными теориями скрытых переменных. ^{[3] [4]}

Точная природа предположений, необходимых для доказательства ограничения типа Белла на корреляции, обсуждалась физиками и философами . Хотя значимость теоремы Белла не вызывает сомнений, различные интерпретации квантовой механики расходятся во мнениях о том, что именно она подразумевает.

Теорема

Существует множество вариаций основной идеи, некоторые из которых используют более сильные математические предположения, чем другие. ^[5] Примечательно, что теоремы типа Белла не ссылаются на какую-либо конкретную теорию локальных скрытых переменных, а вместо этого показывают, что квантовая физика нарушает общие предположения, лежащие в основе классических картин природы. Первоначальная теорема, доказанная Беллом в 1964 году, не является наиболее поддающейся эксперименту, и удобно представить жанр неравенств типа Белла с помощью более позднего примера. ^[6]

Гипотетические персонажи Алиса и Боб находятся в далеко разнесенных друг от друга местах. Их коллега Виктор подготавливает пару частиц и посылает одну Алисе, а другую Бобу. Когда Алиса получает свою частицу, она выбирает одно из двух возможных измерений (возможно, подбрасывая монетку, чтобы решить, какое именно). Обозначим эти измерения как и . Оба и являются бинарными измерениями: результатом является либо , либо , и аналогично для . Когда Боб получает свою частицу, он выбирает одно из двух измерений и , которые также являются бинарными. ${\displaystyle A_{0}}$ ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle A_{0}}$ ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle A_{0}}$ ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle B_{0}}$ ${\displaystyle B_{1}}$

Предположим, что каждое измерение выявляет свойство, которым частица уже обладала. Например, если Алиса выбирает измерение и получает результат , то полученная ею частица несла значение для свойства . ^{[примечание 1]} Рассмотрим комбинацию Поскольку и принимают значения , то либо , либо . В первом случае величина должна быть равна 0, а во втором случае . Таким образом, один из членов в правой части приведенного выше выражения исчезнет, ​​а другой будет равен . Следовательно, если эксперимент повторяется в течение многих испытаний, когда Виктор готовит новые пары частиц, абсолютное значение среднего значения комбинации по всем испытаниям будет меньше или равно 2. Ни одно отдельное испытание не может измерить эту величину, поскольку Алиса и Боб могут выбрать только по одному измерению каждый, но при условии, что основные свойства существуют, среднее значение суммы является просто суммой средних значений для каждого члена. Использование угловых скобок для обозначения средних значений Это неравенство Белла, в частности, неравенство CHSH . ^{[6] : 115} Его вывод здесь зависит от двух предположений: во-первых, что основные физические свойства и существуют независимо от наблюдения или измерения (иногда называемое предположением реализма ); и, во-вторых, что выбор действия Алисы не может повлиять на результат Боба и наоборот (часто называемое предположением локальности ). ^{[6] : 117} ${\displaystyle A_{0}}$ ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle a_{0}}$ $${\displaystyle a_{0}b_{0}+a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0}-a_{1}b_{1}=(a_{0}+a_{1})b_{0}+(a_{0}-a_{1})b_{1}\,.}$$ ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle a_{0}=a_{1}}$ ${\displaystyle a_{0}=-a_{1}}$ ${\displaystyle (a_{0}-a_{1})b_{1}}$ ${\displaystyle (a_{0}+a_{1})b_{0}=0}$ ${\displaystyle \pm 2}$ ${\displaystyle a_{0}b_{0}+a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0}-a_{1}b_{1}}$ $${\displaystyle |\langle A_{0}B_{0}\rangle +\langle A_{0}B_{1}\rangle +\langle A_{1}B_{0}\rangle -\langle A_{1}B_{1}\rangle |\leq 2\,.}$$ ${\displaystyle a_{0},a_{1},b_{0},}$ ${\displaystyle b_{1}}$

Квантовая механика может нарушить неравенство CHSH следующим образом. Виктор подготавливает пару кубитов , которые он описывает состоянием Белла , где и являются собственными состояниями одной из матриц Паули , затем Виктор передает первый кубит Алисе, а второй — Бобу. Выбор Алисы и Боба возможных измерений также определяется в терминах матриц Паули. Алиса измеряет любую из двух наблюдаемых и : и Боб измеряет любую из двух наблюдаемых Виктор может вычислить значения квантового ожидания для пар этих наблюдаемых, используя правило Борна : Хотя только одно из этих четырех измерений может быть сделано в одном испытании эксперимента, сумма дает сумму средних значений, которые Виктор ожидает найти в нескольких испытаниях. Это значение превышает классическую верхнюю границу 2, которая была выведена из гипотезы локальных скрытых переменных. ^{[6] : 116} Это значение на самом деле является наибольшим, которое квантовая физика допускает для этой комбинации значений ожидания, что делает его границей Цирельсона . ^{[9] : 140} $${\displaystyle |\psi \rangle ={\frac {|0\rangle \otimes |1\rangle -|1\rangle \otimes |0\rangle }{\sqrt {2}}},}$$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ $${\displaystyle \sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.}$$ ${\displaystyle \sigma _{z}}$ ${\displaystyle \sigma _{x}}$ $${\displaystyle A_{0}=\sigma _{z},\ A_{1}=\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}};}$$ $${\displaystyle B_{0}=-{\frac {\sigma _{x}+\sigma _{z}}{\sqrt {2}}},\ B_{1}={\frac {\sigma _{x}-\sigma _{z}}{\sqrt {2}}}.}$$ $${\displaystyle \langle A_{0}\otimes B_{0}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}},\langle A_{0}\otimes B_{1}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}},\langle A_{1}\otimes B_{0}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}},\langle A_{1}\otimes B_{1}\rangle =-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\,.}$$ $${\displaystyle \langle A_{0}\otimes B_{0}\rangle +\langle A_{0}\otimes B_{1}\rangle +\langle A_{1}\otimes B_{0}\rangle -\langle A_{1}\otimes B_{1}\rangle =2{\sqrt {2}}}$$ ${\displaystyle 2{\sqrt {2}}}$

Иллюстрация игры CHSH: судья Виктор отправляет по биту Алисе и Бобу, а Алиса и Боб отправляют по биту обратно судье.

Неравенство CHSH также можно рассматривать как игру , в которой Алиса и Боб пытаются скоординировать свои действия . ^{[10] [11]} Виктор подготавливает два бита и независимо и случайным образом. Он отправляет бит Алисе и бит Бобу. Алиса и Боб выигрывают, если они возвращают Виктору биты ответа и , удовлетворяющие Или, что эквивалентно, Алиса и Боб выигрывают, если логическое И и является логическим XOR и . Алиса и Боб могут договориться о любой желаемой стратегии до игры, но они не могут общаться после начала игры. В любой теории, основанной на локальных скрытых переменных, вероятность победы Алисы и Боба не больше , независимо от того, о какой стратегии они договорились заранее. Однако, если они разделяют запутанное квантовое состояние, их вероятность победы может быть такой же большой, как ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ $${\displaystyle xy=a+b\mod 2\,.}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle 3/4}$ $${\displaystyle {\frac {2+{\sqrt {2}}}{4}}\approx 0.85\,.}$$

Вариации и связанные с ними результаты

Белл (1964)

В статье Белла 1964 года указывается, что при ограниченных условиях локальные модели со скрытыми переменными могут воспроизводить предсказания квантовой механики. Затем он демонстрирует, что это не может быть верным в общем случае. ^[12] Белл рассматривает усовершенствование Дэвида Бома мысленного эксперимента Эйнштейна–Подольского–Розена (ЭПР). В этом сценарии пара частиц формируется вместе таким образом, что они описываются спиновым синглетным состоянием (что является примером запутанного состояния). Затем частицы разлетаются в противоположных направлениях. Каждая частица измеряется устройством Штерна–Герлаха , измерительным прибором, который может быть ориентирован в разных направлениях и который сообщает об одном из двух возможных результатов, представленных и . Конфигурация каждого измерительного прибора представлена ​​единичным вектором , а квантово-механическое предсказание для корреляции между двумя детекторами с настройками и равно В частности, если ориентация двух детекторов одинакова ( ), то результат одного измерения наверняка будет отрицательным по отношению к результату другого, что дает . А если ориентации двух детекторов ортогональны ( ), то результаты не коррелируют, и . Белл доказывает на примере, что эти особые случаи можно объяснить с помощью скрытых переменных, а затем продолжает показывать, что полный спектр возможностей, включающий промежуточные углы, не может . ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle {\vec {a}}}$ ${\displaystyle {\vec {b}}}$ $${\displaystyle P({\vec {a}},{\vec {b}})=-{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}.}$$ ${\displaystyle {\vec {a}}={\vec {b}}}$ ${\displaystyle P({\vec {a}},{\vec {a}})=-1}$ ${\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=0}$ ${\displaystyle P({\vec {a}},{\vec {b}})=0}$

Белл предположил, что локальная модель скрытых переменных для этих корреляций объяснит их в терминах интеграла по возможным значениям некоторого скрытого параметра : где — функция плотности вероятности . Две функции и обеспечивают ответы двух детекторов при заданных векторах ориентации и скрытой переменной: Важно отметить, что результат детектора не зависит от , и аналогично результат не зависит от , поскольку два детектора физически разделены. Теперь мы предполагаем, что у экспериментатора есть выбор настроек для второго детектора: он может быть установлен либо на , либо на . Белл доказывает, что разница в корреляции между этими двумя вариантами настройки детектора должна удовлетворять неравенству Однако легко найти ситуации, когда квантовая механика нарушает неравенство Белла. ^{[13] : 425–426} Например, пусть векторы и ортогональны, и пусть лежат в своей плоскости под углом 45° к обоим из них. Тогда пока но Следовательно, не существует локальной модели скрытых переменных, которая могла бы воспроизвести предсказания квантовой механики для всех выборов , и Экспериментальные результаты противоречат классическим кривым и соответствуют кривой, предсказанной квантовой механикой, если учитывать экспериментальные недостатки. ^[5] ${\displaystyle \lambda }$ $${\displaystyle P({\vec {a}},{\vec {b}})=\int d\lambda \,\rho (\lambda )A({\vec {a}},\lambda )B({\vec {b}},\lambda ),}$$ ${\displaystyle \rho (\lambda )}$ ${\displaystyle A({\vec {a}},\lambda )}$ ${\displaystyle B({\vec {b}},\lambda )}$ $${\displaystyle A({\vec {a}},\lambda )=\pm 1,\,B({\vec {b}},\lambda )=\pm 1.}$$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\vec {b}}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\vec {a}}}$ ${\displaystyle {\vec {b}}}$ ${\displaystyle {\vec {c}}}$ $${\displaystyle |P({\vec {a}},{\vec {b}})-P({\vec {a}},{\vec {c}})|\leq 1+P({\vec {b}},{\vec {c}}).}$$ ${\displaystyle {\vec {a}}}$ ${\displaystyle {\vec {b}}}$ ${\displaystyle {\vec {c}}}$ $${\displaystyle P({\vec {a}},{\vec {b}})=0,}$$ $${\displaystyle P({\vec {a}},{\vec {c}})=P({\vec {b}},{\vec {c}})=-{\frac {\sqrt {2}}{2}},}$$ $${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}\nleq 1-{\frac {\sqrt {2}}{2}}.}$$ ${\displaystyle {\vec {a}}}$ ${\displaystyle {\vec {b}}}$ ${\displaystyle {\vec {c}}.}$

Теорема Белла 1964 года требует возможности идеальных антикорреляций: возможности сделать прогноз с вероятностью 1 о результате второго детектора, зная результат первого. Это связано с «критерием реальности ЭПР», концепцией, введенной в статье 1935 года Эйнштейном, Подольским и Розеном. В этой статье утверждается: «Если, не вмешиваясь никоим образом в систему, мы можем с уверенностью (т. е. с вероятностью, равной единице) предсказать значение физической величины, то существует элемент реальности, соответствующий этой величине». ^[14]

GHZ–Мермин (1990)

Дэниел Гринбергер , Майкл А. Хорн и Антон Цайлингер представили мысленный эксперимент с четырьмя частицами в 1990 году, который Дэвид Мермин затем упростил, чтобы использовать только три частицы. ^{[15] [16]} В этом мысленном эксперименте Виктор генерирует набор из трех частиц со спином 1/2, описываемых квантовым состоянием, где, как и выше, и являются собственными векторами матрицы Паули . Затем Виктор посылает по одной частице Алисе, Бобу и Чарли, которые ждут в далеко разнесенных местах. Алиса измеряет либо или на своей частице, то же самое делают Боб и Чарли. Результатом каждого измерения является либо или . Применяя правило Борна к трехкубитному состоянию , Виктор предсказывает, что всякий раз, когда три измерения включают один и два , произведение результатов всегда будет . Это следует из того, что является собственным вектором с собственным значением , и аналогично для и . Следовательно, зная результат Алисы для измерения и результат Боба для измерения, Виктор может предсказать с вероятностью 1, какой результат Чарли вернет для измерения. Согласно критерию реальности ЭПР, будет существовать «элемент реальности», соответствующий результату измерения кубита Чарли. Действительно, эта же логика применима к обоим измерениям и всем трем кубитам. Согласно критерию реальности ЭПР, тогда каждая частица содержит «набор инструкций», который определяет результат или измерения для нее. Набор всех трех частиц затем будет описан набором инструкций, где каждая запись будет либо или , а каждое или измерение просто возвращает соответствующее значение. $${\displaystyle |\psi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|000\rangle -|111\rangle )\,,}$$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle \sigma _{z}}$ ${\displaystyle \sigma _{x}}$ ${\displaystyle \sigma _{y}}$ ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle \sigma _{x}}$ ${\displaystyle \sigma _{y}}$ ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle \sigma _{x}\otimes \sigma _{y}\otimes \sigma _{y}}$ ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle \sigma _{y}\otimes \sigma _{x}\otimes \sigma _{y}}$ ${\displaystyle \sigma _{y}\otimes \sigma _{y}\otimes \sigma _{x}}$ ${\displaystyle \sigma _{x}}$ ${\displaystyle \sigma _{y}}$ ${\displaystyle \sigma _{y}}$ ${\displaystyle \sigma _{y}}$ ${\displaystyle \sigma _{x}}$ ${\displaystyle \sigma _{y}}$ $${\displaystyle (a_{x},a_{y},b_{x},b_{y},c_{x},c_{y})\,,}$$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle \sigma _{x}}$ ${\displaystyle \sigma _{y}}$

Если Алиса, Боб и Чарли все выполнят измерение , то произведение их результатов будет . Это значение можно вывести из того, что квадрат или равен . Каждый множитель в скобках равен , поэтому и произведение результатов Алисы, Боба и Чарли будет с вероятностью единица. Но это не согласуется с квантовой физикой: Виктор может предсказать, используя состояние , что измерение вместо этого даст с вероятностью единица. ${\displaystyle \sigma _{x}}$ ${\displaystyle a_{x}b_{x}c_{x}}$ $${\displaystyle (a_{x}b_{y}c_{y})(a_{y}b_{x}c_{y})(a_{y}b_{y}c_{x})=a_{x}b_{x}c_{x}a_{y}^{2}b_{y}^{2}c_{y}^{2}=a_{x}b_{x}c_{x}\,,}$$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle +1}$ $${\displaystyle a_{x}b_{x}c_{x}=+1\,,}$$ ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle \sigma _{x}\otimes \sigma _{x}\otimes \sigma _{x}}$ ${\displaystyle -1}$

Этот мысленный эксперимент можно также переформулировать как традиционное неравенство Белла или, что эквивалентно, как нелокальную игру в том же духе, что и игра CHSH. ^[17] В ней Алиса, Боб и Чарли получают биты от Виктора, обещают всегда иметь четное количество единиц, то есть , и отправляют ему обратно биты . Они выигрывают игру, если имеют нечетное количество единиц для всех входов, за исключением , когда им нужно иметь четное количество единиц. То есть они выигрывают игру тогда и только тогда, когда . С локальными скрытыми переменными самая высокая вероятность победы, которую они могут иметь, составляет 3/4, тогда как при использовании квантовой стратегии выше они выигрывают ее наверняка. Это пример квантовой псевдотелепатии . ${\displaystyle x,y,z}$ ${\displaystyle x\oplus y\oplus z=0}$ ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle x=y=z=0}$ ${\displaystyle a\oplus b\oplus c=x\lor y\lor z}$

Теорема Кохена – Спекера (1967)

В квантовой теории ортонормальные базисы для гильбертова пространства представляют измерения, которые могут быть выполнены на системе, имеющей это гильбертово пространство. Каждый вектор в базисе представляет возможный результат этого измерения. ^{[примечание 2]} Предположим, что существует скрытая переменная , так что знание значения будет подразумевать определенность относительно результата любого измерения. При значении , каждый результат измерения – то есть каждый вектор в гильбертовом пространстве – либо невозможен , либо гарантирован. Конфигурация Кохена–Шпекера – это конечный набор векторов, сделанных из нескольких взаимосвязанных базисов, со свойством, что вектор в нем всегда будет невозможным, если его рассматривать как принадлежащий одному базису, и гарантированным, если его рассматривать как принадлежащий другому. Другими словами, конфигурация Кохена–Шпекера – это «нераскрашиваемое множество», которое демонстрирует непоследовательность предположения, что скрытая переменная может контролировать результаты измерения. ^{[22] : 196–201} ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$

Теорема о свободе воли

Аргумент типа Кохена–Шпеккера, использующий конфигурации взаимосвязанных оснований, можно объединить с идеей измерения запутанных пар, которая лежит в основе неравенств типа Белла. Это было отмечено, начиная с 1970-х годов Кохеном, ^[23] Хейвудом и Редхедом, ^[24] Стэйрсом, ^[25] и Брауном и Светличным. ^[26] Как указал ЭПР, получение результата измерения на одной половине запутанной пары подразумевает уверенность в результате соответствующего измерения на другой половине. «Критерий реальности ЭПР» утверждает, что поскольку вторая половина пары не была нарушена, эта уверенность должна быть обусловлена ​​физическим свойством, принадлежащим ей. ^[27] Другими словами, по этому критерию скрытая переменная должна существовать во второй, пока еще не измеренной половине пары. Никакого противоречия не возникает, если рассматривается только одно измерение на первой половине. Однако если у наблюдателя есть выбор из нескольких возможных измерений, а векторы, определяющие эти измерения, образуют конфигурацию Кохена–Шпеккера, то некоторый результат во второй половине будет одновременно невозможным и гарантированным. ${\displaystyle \lambda }$

Этот тип аргумента привлек внимание, когда его пример был выдвинут Джоном Конвеем и Саймоном Кохеном под названием теоремы о свободной воле . ^{[28] [29] [30]} Теорема Конвея–Кохена использует пару запутанных кутритов и конфигурацию Кохена–Спеккера, открытую Эшером Пересом . ^[31]

Квазиклассическая запутанность

Как указал Белл, некоторые предсказания квантовой механики могут быть воспроизведены в локальных моделях со скрытыми переменными, включая особые случаи корреляций, полученных из запутывания. Эта тема систематически изучалась в годы, прошедшие после теоремы Белла. В 1989 году Райнхард Вернер представил то, что сейчас называется состояниями Вернера , совместными квантовыми состояниями для пары систем, которые дают корреляции типа ЭПР, но также допускают модель со скрытыми переменными. ^[32] Состояния Вернера являются двусоставными квантовыми состояниями, которые инвариантны относительно унитарных уравнений симметричной формы тензорного произведения : В 2004 году Роберт Спеккенс представил игрушечную модель , которая начинается с предпосылки локальных дискретизированных степеней свободы, а затем налагает «принцип баланса знаний», который ограничивает то, сколько наблюдатель может знать об этих степенях свободы, тем самым превращая их в скрытые переменные. Разрешенные состояния знаний («эпистемические состояния») о базовых переменных («онтические состояния») имитируют некоторые особенности квантовых состояний. Корреляции в игрушечной модели могут имитировать некоторые аспекты запутанности, такие как моногамия , но по своей конструкции игрушечная модель никогда не может нарушить неравенство Белла. ^{[33] [34]} $${\displaystyle \rho _{AB}=(U\otimes U)\rho _{AB}(U^{\dagger }\otimes U^{\dagger }).}$$

История

Фон

Вопрос о том, может ли квантовая механика быть «дополнена» скрытыми переменными, относится к ранним годам квантовой теории. В своем учебнике по квантовой механике 1932 года венгерский эрудит Джон фон Нейман представил то, что он назвал доказательством того, что не может быть никаких «скрытых параметров». Обоснованность и окончательность доказательства фон Неймана были подвергнуты сомнению Гансом Рейхенбахом , более подробно Гретой Германн и, возможно, в разговоре, хотя и не в печати, Альбертом Эйнштейном. ^{[примечание 3]} ( Симон Кохен и Эрнст Шпеккер отвергли ключевое предположение фон Неймана еще в 1961 году, но не опубликовали его критику до 1967 года. ^[40] )

Эйнштейн настойчиво утверждал, что квантовая механика не может быть полной теорией. Его любимый аргумент основывался на принципе локальности:

Рассмотрим механическую систему, состоящую из двух частичных систем A и B , которые взаимодействуют друг с другом только в течение ограниченного времени. Пусть задана функция ψ до их взаимодействия. Тогда уравнение Шредингера даст функцию ψ после того, как их взаимодействие произошло. Давайте теперь определим физическое состояние частичной системы A как можно более полно с помощью измерений. Затем квантовая механика позволяет нам определить функцию ψ частичной системы B из выполненных измерений и из функции ψ всей системы. Это определение, однако, дает результат, который зависит от того, какая из определяющих величин, задающих состояние A, была измерена (например, координаты или импульсы). Поскольку может быть только одно физическое состояние B после взаимодействия и которое разумно не может считаться зависящим от конкретного измерения, которое мы выполняем над системой A, отделенной от B, можно сделать вывод, что функция ψ не является однозначно согласованной с физическим состоянием. Эта координация нескольких функций ψ с одним и тем же физическим состоянием системы B снова показывает, что функция ψ не может быть интерпретирована как (полное) описание физического состояния единичной системы. ^[41]

Мысленный эксперимент ЭПР похож, также рассматривая две разделенные системы A и B, описанные совместной волновой функцией. Однако статья ЭПР добавляет идею, позже известную как критерий реальности ЭПР, согласно которой способность предсказывать с вероятностью 1 результат измерения над B подразумевает существование «элемента реальности» внутри B. [ ^42]

В 1951 году Дэвид Бом предложил вариант мысленного эксперимента ЭПР, в котором измерения имеют дискретные диапазоны возможных результатов, в отличие от измерений положения и импульса, рассматриваемых ЭПР. ^[43] Годом ранее Цзянь-Шюн Ву и Ирвинг Шахнов успешно измерили поляризации фотонов, созданных в запутанных парах, тем самым сделав версию Бома мысленного эксперимента ЭПР практически осуществимой. ^[44]

К концу 1940-х годов математик Джордж Макки заинтересовался основами квантовой физики, и в 1957 году он составил список постулатов, которые он считал точным определением квантовой механики. ^[45] Макки предположил, что один из постулатов был избыточным, и вскоре после этого Эндрю М. Глисон доказал, что он действительно выводим из других постулатов. ^{[46] [47]} Теорема Глисона предоставила аргумент о том, что широкий класс теорий со скрытыми переменными несовместим с квантовой механикой. ^{[примечание 4]} Более конкретно, теорема Глисона исключает модели со скрытыми переменными, которые являются «неконтекстуальными». Любая модель со скрытыми переменными для квантовой механики должна, чтобы избежать последствий теоремы Глисона, включать скрытые переменные, которые не являются свойствами, принадлежащими только измеряемой системе, но также зависят от внешнего контекста, в котором производится измерение. Этот тип зависимости часто рассматривается как надуманный или нежелательный; в некоторых случаях это противоречит специальной теории относительности . ^{[49] [50]} Теорема Кохена–Шпеккера уточняет это утверждение, строя определенное конечное подмножество лучей, на котором нельзя определить такую ​​вероятностную меру. ^{[49] [51]}

Tsung-Dao Lee приблизился к выводу теоремы Белла в 1960 году. Он рассматривал события, в которых два каона рождались, перемещаясь в противоположных направлениях, и пришел к выводу, что скрытые переменные не могут объяснить корреляции, которые можно было бы получить в таких ситуациях. Однако, осложнения возникли из-за того, что каоны распадаются, и он не зашел так далеко, чтобы вывести неравенство типа Белла. ^{[36] : 308}

Публикации Белла

Белл решил опубликовать свою теорему в сравнительно малоизвестном журнале, потому что он не требовал постраничной платы , фактически платя авторам, которые публиковались там в то время. Однако, поскольку журнал не предоставлял авторам бесплатные перепечатки статей для распространения, Беллу пришлось потратить полученные деньги на покупку копий, которые он мог бы отправить другим физикам. ^[52] В то время как статьи, напечатанные в самом журнале, указывали название издания просто как Physics , на обложках была трехъязычная версия Physics Physique Физика , чтобы отразить, что он будет печатать статьи на английском, французском и русском языках. ^{[39] : 92–100, 289}

До доказательства своего результата 1964 года Белл также доказал результат, эквивалентный теореме Кохена–Шпеккера (поэтому последняя иногда также известна как теорема Белла–Кохена–Шпеккера или теорема Белла–КС). Однако публикация этой теоремы была непреднамеренно отложена до 1966 года. ^{[49] [53]} В этой статье Белл утверждал, что, поскольку объяснение квантовых явлений в терминах скрытых переменных потребовало бы нелокальности, парадокс ЭПР «разрешается способом, который меньше всего понравился бы Эйнштейну». ^[53]

Эксперименты

Схема «двухканального» теста Белла
Источник S производит пары «фотонов», посылаемых в противоположных направлениях. Каждый фотон сталкивается с двухканальным поляризатором, ориентация которого (a или b) может быть установлена ​​экспериментатором. Выходные сигналы из каждого канала детектируются, и совпадения четырех типов (++, −−, +− и −+) подсчитываются монитором совпадений.

В 1967 году необычное название Physics Physique Физика привлекло внимание Джона Клаузера , который затем обнаружил статью Белла и начал размышлять о том, как провести тест Белла в лаборатории. ^[54] Клаузер и Стюарт Фридман продолжили проводить тест Белла в 1972 году. ^{[55] [56]} Это был лишь ограниченный тест, поскольку выбор настроек детектора был сделан до того, как фотоны покинули источник. В 1982 году Ален Аспект и его коллеги провели первый тест Белла , чтобы снять это ограничение. ^[57] Это положило начало тенденции постепенного ужесточения тестов Белла. Мысленный эксперимент GHZ был реализован на практике с использованием запутанных триплетов фотонов в 2000 году. ^[58] К 2002 году проверка неравенства CHSH стала осуществимой в лабораторных курсах бакалавриата. ^[59]

В тестах Белла могут быть проблемы экспериментального дизайна или настройки, которые влияют на обоснованность экспериментальных результатов. Эти проблемы часто называют «лазейками». Цель эксперимента — проверить, можно ли описать природу локальной теорией скрытых переменных , которая противоречила бы предсказаниям квантовой механики.

Наиболее распространенными лазейками в реальных экспериментах являются лазейки обнаружения и локальности . ^[60] Лазейка обнаружения открывается, когда в эксперименте обнаруживается небольшая часть частиц (обычно фотонов), что позволяет объяснить данные с помощью локальных скрытых переменных, предполагая, что обнаруженные частицы являются нерепрезентативной выборкой. Лазейка локальности открывается, когда обнаружения не производятся с пространственноподобным разделением , что позволяет результату одного измерения влиять на другой, не противореча теории относительности. В некоторых экспериментах могут быть дополнительные дефекты, которые делают возможными объяснения нарушений теста Белла с помощью локально-скрытых переменных. ^[61]

Хотя и локальность, и детектирующие лазейки были закрыты в разных экспериментах, давней проблемой было закрыть обе одновременно в одном эксперименте. Это было наконец достигнуто в трех экспериментах в 2015 году. ^{[62] [63] [64] [65] [66]} Относительно этих результатов Ален Аспект пишет, что «ни один эксперимент... нельзя назвать полностью свободным от лазеек», но он говорит, что эксперименты «устраняют последние сомнения в том, что мы должны отказаться» от локальных скрытых переменных, и называет примеры оставшихся лазеек «надуманными» и «чуждыми обычному способу рассуждения в физике». ^[67]

Эти усилия по экспериментальному подтверждению нарушений неравенств Белла впоследствии привели к присуждению Клаузеру, Аспекту и Антону Цайлингеру Нобелевской премии по физике 2022 года . ^[68]

Интерпретации

Реакции на теорему Белла были многочисленными и разнообразными. Максимилиан Шлоссхауэр, Иоганнес Кофлер и Цайлингер пишут, что неравенства Белла представляют собой «замечательный пример того, как мы можем иметь строгий теоретический результат, проверенный многочисленными экспериментами, и при этом не соглашаться относительно последствий». ^[69]

Копенгагенская интерпретация

Интерпретации копенгагенского типа обычно принимают нарушение неравенств Белла за основание для отклонения предположения, часто называемого контрфактуальной определенностью или «реализмом», что не обязательно то же самое, что отказ от реализма в более широком философском смысле. ^{[70] [71]} Например, Ролан Омнес выступает за отказ от скрытых переменных и приходит к выводу, что «квантовая механика, вероятно, столь же реалистична, как и любая теория ее масштаба и зрелости». ^{[72] : 531} Аналогичным образом, Рудольф Пайерлс воспринял сообщение теоремы Белла как то, что, поскольку предпосылка локальности физически обоснована, «скрытые переменные не могут быть введены без отказа от некоторых результатов квантовой механики». ^{[73] [74]}

Это также путь, выбранный интерпретациями, которые происходят от Копенгагенской традиции, такими как последовательные истории (часто рекламируемые как «Копенгаген, сделанный правильно»), ^{[75] :  2839} , а также QBism . ^[76]

Многомировая интерпретация квантовой механики

Интерпретация многих миров , также известная как интерпретация Эверетта , является динамически локальной, что означает, что она не требует действия на расстоянии , ^{[77] : 17} и детерминированной, поскольку она состоит из унитарной части квантовой механики без коллапса. Она может генерировать корреляции, которые нарушают неравенство Белла, поскольку она нарушает неявное предположение Белла о том, что измерения имеют единственный результат. Фактически, теорему Белла можно доказать в рамках теории многих миров из предположения, что измерение имеет единственный результат. Следовательно, нарушение неравенства Белла можно интерпретировать как демонстрацию того, что измерения имеют множественные результаты. ^[78]

Объяснение, которое оно дает для корреляций Белла, заключается в том, что когда Алиса и Боб проводят свои измерения, они разделяются на локальные ветви. С точки зрения каждой копии Алисы, существует несколько копий Боба, испытывающих разные результаты, поэтому Боб не может иметь определенный результат, и то же самое верно с точки зрения каждой копии Боба. Они получат взаимно хорошо определенный результат только тогда, когда их будущие световые конусы перекроются. В этот момент мы можем сказать, что корреляция Белла начинает существовать, но она была создана чисто локальным механизмом. Следовательно, нарушение неравенства Белла не может быть интерпретировано как доказательство нелокальности. ^{[77] :  28}

Нелокальные скрытые переменные

Большинство сторонников идеи скрытых переменных полагают, что эксперименты исключили локальные скрытые переменные. ^{[примечание 5]} Они готовы отказаться от локальности, объяснив нарушение неравенства Белла с помощью нелокальной теории скрытых переменных , в которой частицы обмениваются информацией о своих состояниях. Это основа интерпретации Бома квантовой механики, которая требует, чтобы все частицы во вселенной могли мгновенно обмениваться информацией со всеми другими. Одной из проблем для теорий нелокальных скрытых переменных является объяснение того, почему эта мгновенная связь может существовать на уровне скрытых переменных, но ее нельзя использовать для отправки сигналов. ^[81] Эксперимент 2007 года исключил большой класс небомовских нелокальных теорий скрытых переменных, хотя и не саму бомовскую механику. ^[82]

Транзакционная интерпретация , постулирующая волны, распространяющиеся как вперед, так и назад во времени, также нелокальна. ^[83]

Супердетерминизм

Необходимое предположение для вывода теоремы Белла заключается в том, что скрытые переменные не коррелируют с настройками измерения. Это предположение было оправдано на том основании, что экспериментатор имеет « свободную волю » для выбора настроек, и что необходимо заниматься наукой в ​​первую очередь. (Гипотетическая) теория, в которой выбор измерения обязательно коррелирует с измеряемой системой, известна как супердетерминированная . ^[60]

Некоторые сторонники детерминированных моделей не отказались от локальных скрытых переменных. Например, Джерард 'т Хоофт утверждал, что супердетерминизм нельзя игнорировать. ^[84]

Смотрите также

• физический портал

• Мысленные эксперименты Эйнштейна
• Эпистемологические письма
• Группа фундаментальной физики
• неравенство Леггетта
• Неравенство Леггетта–Гарга
• Устройство Мермина
• проблема Мотта
• Теорема PBR
• Квантовая контекстуальность
• Квантовая нелокальность
• Эксперимент Реннингера с отрицательным результатом

Примечания

1. Для удобства мы предполагаем, что реакция детектора на базовое свойство является детерминированной. Это предположение можно заменить; оно эквивалентно постулированию совместного распределения вероятностей по всем наблюдаемым в эксперименте. ^{[7] [8]}
2. Более подробно, как было разработано Полем Дираком ^[18] , Дэвидом Гильбертом ^[19] , Джоном фон Нейманом ^[20] и Германом Вейлем ^[21], состояние квантово-механической системы — это вектор, принадлежащий ( сепарабельному ) гильбертову пространству . Физические величины, представляющие интерес — положение, импульс, энергия, спин — представлены «наблюдаемыми», которые являются самосопряженными линейными операторами, действующими в гильбертовом пространстве. Когда наблюдаемая измеряется, результатом будет одно из ее собственных значений с вероятностью, заданной правилом Борна : в простейшем случае собственное значение невырождено, а вероятность задается как , где — ее связанный собственный вектор. В более общем смысле собственное значение вырождено, а вероятность задается как , где — проектор на ее связанное собственное пространство. Для целей этого обсуждения мы можем считать собственные значения невырожденными. ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle |\langle \eta |\psi \rangle |^{2}}$ ${\displaystyle |\eta \rangle }$ ${\displaystyle \langle \psi |P_{\eta }\psi \rangle }$ ${\displaystyle P_{\eta }}$
3. См. Райхенбах ^[35] и Джеммер, ^{[36] : 276} Мермин и Шак, ^[37] и замечания Эйнштейна, Клаузер и Шимони ^[38] и Вик. ^{[39] : 286}
4. Теория скрытых переменных, которая является детерминированной, подразумевает, что вероятность данного результата всегда равна 0 или 1. Например, измерение Штерна–Герлаха на атоме со спином 1 сообщит, что угловой момент атома вдоль выбранной оси имеет одно из трех возможных значений, которые могут быть обозначены , и . В детерминированной теории скрытых переменных существует базовое физическое свойство, которое фиксирует результат, найденный в измерении. При условии значения базового физического свойства любой заданный результат (например, результат ) должен быть либо невозможным, либо гарантированным. Но теорема Глисона подразумевает, что не может быть такой детерминированной меры вероятности, поскольку она доказывает, что любая мера вероятности должна принимать форму отображения для некоторого оператора плотности . Это отображение непрерывно на единичной сфере гильбертова пространства, и поскольку эта единичная сфера связна , никакая непрерывная мера вероятности на ней не может быть детерминированной. ^{[48] : §1.3} ${\displaystyle -}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle u\to \langle \rho u,u\rangle }$ ${\displaystyle \rho }$
5. ET Jaynes был исключением, ^[79] но аргументы Jaynes, как правило, не были признаны убедительными. ^[80]

Ссылки

1. Белл, Джон С. (1987). Выразимое и невыразимое в квантовой механике . Cambridge University Press. стр. 65. ISBN 9780521368698. OCLC  15053677.
2. "Нобелевская премия по физике 2022 года". Нобелевская премия (пресс-релиз). Королевская шведская академия наук . 4 октября 2022 г. Получено 6 октября 2022 г.
3. The BIG Bell Test Collaboration (9 мая 2018 г.). «Бросая вызов локальному реализму с человеческим выбором». Nature . 557 (7704): 212–216. arXiv : 1805.04431 . Bibcode :2018Natur.557..212B. doi :10.1038/s41586-018-0085-3. PMID  29743691. S2CID  13665914.
4. Вулховер, Натали (2017-02-07). «Эксперимент подтверждает квантовую странность». Журнал Quanta . Получено 2020-02-08 .
5. Шимони, Эбнер . «Теорема Белла». В Zalta, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии .
6. Нильсен, Майкл А .; Чуан, Айзек Л. (2010). Квантовые вычисления и квантовая информация (2-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-107-00217-3. OCLC  844974180.
7. Файн, Артур (1 февраля 1982 г.). «Скрытые переменные, совместная вероятность и неравенства Белла». Physical Review Letters . 48 (5): 291–295. Bibcode : 1982PhRvL..48..291F. doi : 10.1103/PhysRevLett.48.291. ISSN  0031-9007.
8. Браунштейн, Сэмюэл Л.; Кейвс, Карлтон М. (август 1990 г.). «Выжимание лучших неравенств Белла». Annals of Physics . 202 (1): 22–56. Bibcode : 1990AnPhy.202...22B. doi : 10.1016/0003-4916(90)90339-P.
9. Рау, Йохен (2021). Квантовая теория: подход к обработке информации. Oxford University Press. ISBN 978-0-192-65027-6. OCLC  1256446911.
10. Cleve, R. ; Hoyer, P.; Toner, B.; Watrous, J. (2004). "Последствия и ограничения нелокальных стратегий". Труды. 19-я ежегодная конференция IEEE по вычислительной сложности, 2004. IEEE . стр. 236–249. arXiv : quant-ph/0404076 . Bibcode : 2004quant.ph..4076C. doi : 10.1109/CCC.2004.1313847. ISBN 0-7695-2120-7. OCLC  55954993. S2CID  8077237.
11. Барнум, Х.; Бейджи, С.; Бойксо, С.; Эллиотт, МБ; Венер, С. (2010-04-06). "Локальное квантовое измерение и отсутствие сигнала подразумевают квантовые корреляции". Physical Review Letters . 104 (14): 140401. arXiv : 0910.3952 . Bibcode : 2010PhRvL.104n0401B. doi : 10.1103/PhysRevLett.104.140401. ISSN  0031-9007. PMID  20481921. S2CID  17298392.
12. Белл, Дж. С. (1964). «О парадоксе Эйнштейна-Подольского-Розена» (PDF) . Physics Physique Физика . 1 (3): 195–200. doi :10.1103/PhysicsPhysiqueFizika.1.195.
13. Гриффитс, Дэвид Дж. (2005). Введение в квантовую механику (2-е изд.). Аппер Сэддл Ривер, Нью-Джерси: Pearson Prentice Hall. ISBN 0-13-111892-7. OCLC  53926857.
14. Эйнштейн, А.; Подольский , Б .; Розен, Н. (1935-05-15). «Можно ли считать квантово-механическое описание физической реальности полным?». Physical Review . 47 (10): 777–780. Bibcode : 1935PhRv...47..777E. doi : 10.1103/PhysRev.47.777 .
15. Гринбергер, Д .; Хорн, М.; Шимони, А .; Цайлингер, А. (1990). «Теорема Белла без неравенств». Американский журнал физики . 58 (12): 1131. Bibcode : 1990AmJPh..58.1131G. doi : 10.1119/1.16243 .
16. Мермин, Н. Дэвид (1990). «Квантовые тайны снова в действии». Американский журнал физики . 58 (8): 731–734. Bibcode : 1990AmJPh..58..731M. doi : 10.1119/1.16503.
17. Брассар, Жиль ; Бродбент, Энн ; Тэпп, Ален (2005). «Переделка многопользовательской игры Мермина в рамки псевдотелепатии». Квантовая информация и вычисления . 5 (7): 538–550. arXiv : quant-ph/0408052 . Bibcode : 2004quant.ph..8052B. doi : 10.26421/QIC5.7-2.
18. Дирак, Поль Адриен Морис (1930). Принципы квантовой механики . Оксфорд: Clarendon Press.
19. Гильберт, Дэвид (2009). Зауэр, Тилман; Майер, Ульрих (ред.). Лекции по основам физики 1915–1927: теория относительности, квантовая теория и эпистемология . Springer. doi :10.1007/b12915. ISBN 978-3-540-20606-4. OCLC  463777694.
20. фон Нейман, Джон (1932). Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik . Берлин: Шпрингер.Перевод на английский язык: Математические основы квантовой механики . Перевод Бейера, Роберта Т. Издательство Принстонского университета. 1955.
21. Weyl, Hermann (1950) [1931]. Теория групп и квантовая механика . Перевод Robertson, HP Dover. ISBN 978-0-486-60269-1.Перевод с немецкого Gruppentheorie und Quantenmechanik (2-е изд.). С. Хирзель Верлаг  [ де ] . 1931 год.
22. Перес, Эшер (1993). Квантовая теория: концепции и методы . Kluwer . ISBN 0-7923-2549-4. OCLC  28854083.
23. Redhead, Michael ; Brown, Harvey (1991-07-01). "Нелокальность в квантовой механике". Труды Аристотелевского общества, Дополнительные тома . 65 (1): 119–160. doi :10.1093/aristoteliansupp/65.1.119. ISSN  0309-7013. JSTOR  4106773. Похожий подход был независимо разработан Саймоном Кохеном, хотя он никогда не публиковался (частное сообщение).
24. Хейвуд, Питер; Редхед, Майкл LG (май 1983). «Нелокальность и парадокс Кохена–Спеккера». Основы физики . 13 (5): 481–499. Bibcode :1983FoPh...13..481H. doi :10.1007/BF00729511. ISSN  0015-9018. S2CID  120340929.
25. Stairs, Allen (декабрь 1983 г.). «Квантовая логика, реализм и определенность значений». Философия науки . 50 (4): 578–602. doi :10.1086/289140. ISSN  0031-8248. S2CID  122885859.
26. Браун, HR ; Светличный, Г. (ноябрь 1990 г.). «Нелокальность и лемма Глисона. Часть I. Детерминированные теории». Foundations of Physics . 20 (11): 1379–1387. Bibcode : 1990FoPh...20.1379B. doi : 10.1007/BF01883492. ISSN  0015-9018. S2CID  122868901.
27. Глик, Дэвид; Боге, Флориан Дж. (2019-10-22). «Является ли критерий реальности аналитическим?». Erkenntnis . 86 (6): 1445–1451. arXiv : 1909.11893 . Bibcode : 2019arXiv190911893G. doi : 10.1007/s10670-019-00163-w. ISSN  0165-0106. S2CID  202889160.
28. Конвей, Джон ; Кохен, Саймон (2006). «Теорема о свободной воле». Основы физики . 36 (10): 1441. arXiv : quant-ph/0604079 . Bibcode : 2006FoPh...36.1441C. doi : 10.1007/s10701-006-9068-6. S2CID  12999337.
29. Ремейер, Джули (2008-08-15). "Есть ли у субатомных частиц свободная воля?". Science News . Получено 2022-04-23 .
30. Томас, Рэйчел (27.12.2011). «Джон Конвей – открытие свободы воли (часть I)». Plus Magazine . Получено 23.04.2022 .
31. Конвей, Джон Х .; Кохен, Саймон (2009). «Сильная теорема о свободной воле» (PDF) . Уведомления AMS . 56 (2): 226–232.
32. Вернер, Рейнхард Ф. (1989-10-01). «Квантовые состояния с корреляциями Эйнштейна–Подольского–Розена, допускающие модель со скрытыми переменными». Physical Review A. 40 ( 8): 4277–4281. Bibcode : 1989PhRvA..40.4277W. doi : 10.1103/PhysRevA.40.4277. ISSN  0556-2791. PMID  9902666.
33. Спеккенс, Роберт В. (19.03.2007). «Доказательства эпистемического представления о квантовых состояниях: игрушечная теория». Physical Review A. 75 ( 3): 032110. arXiv : quant-ph/0401052 . Bibcode : 2007PhRvA..75c2110S. doi : 10.1103/PhysRevA.75.032110. ISSN  1050-2947. S2CID  117284016.
34. Catani, Lorenzo; Browne, Dan E. (2017-07-27). «Игрушечная модель Spekkens во всех измерениях и ее связь со стабилизаторной квантовой механикой». New Journal of Physics . 19 (7): 073035. arXiv : 1701.07801 . Bibcode : 2017NJPh...19g3035C. doi : 10.1088/1367-2630/aa781c . ISSN  1367-2630. S2CID  119428107.
35. Райхенбах, Ганс (1944). Философские основы квантовой механики . Издательство Калифорнийского университета. стр. 14. OCLC  872622725.
36. Jammer, Max (1974). Философия квантовой механики . John Wiley and Sons. ISBN 0-471-43958-4.
37. Mermin, N. David ; Schack, Rüdiger (2018). «Гомер кивнул: удивительная оплошность фон Неймана». Foundations of Physics . 48 (9): 1007–1020. arXiv : 1805.10311 . Bibcode :2018FoPh...48.1007M. doi :10.1007/s10701-018-0197-5. S2CID  118951033.
38. Clauser, JF; Shimony, A. (1978). "Теорема Белла: экспериментальные тесты и последствия" (PDF) . Reports on Progress in Physics . 41 (12): 1881–1927. Bibcode :1978RPPh...41.1881C. CiteSeerX 10.1.1.482.4728 . doi :10.1088/0034-4885/41/12/002. S2CID  250885175. Архивировано (PDF) из оригинала 23-09-2017 . Получено 28-10-2017 . 
39. Wick, David (1995). «Теорема Белла». The Infamous Boundary: Seven Decades of Heresy in Quantum Physics . New York: Springer. pp. 92–100. doi :10.1007/978-1-4612-4030-3_11. ISBN 978-0-387-94726-6.
40. Конвей, Джон ; Кохен, Саймон (2002). «Геометрия квантовых парадоксов». В Bertlmann, Reinhold A .; Zeilinger, Anton (ред.). Квантовые [не]выразимые: от колокола к квантовой информации . Берлин: Springer. стр. 257–269. ISBN 3-540-42756-2. OCLC  49404213.
41. Эйнштейн, Альберт (март 1936 г.). «Физика и реальность». Журнал Института Франклина . 221 (3): 349–382. Bibcode : 1936FrInJ.221..349E. doi : 10.1016/S0016-0032(36)91047-5.
42. Харриган, Николас; Спеккенс, Роберт В. (2010). «Эйнштейн, неполнота и эпистемический взгляд на квантовые состояния». Основы физики . 40 (2): 125. arXiv : 0706.2661 . Bibcode :2010FoPh...40..125H. doi :10.1007/s10701-009-9347-0. S2CID  32755624.
43. Бом, Дэвид (1989) [1951]. Квантовая теория (переиздание Dover). Prentice-Hall. стр. 614–623. ISBN 978-0-486-65969-5. OCLC  1103789975.
44. Wu, C.-S. ; Shaknov, I. (1950). "Угловая корреляция рассеянного аннигиляционного излучения". Physical Review . 77 (1): 136. Bibcode :1950PhRv...77..136W. doi :10.1103/PhysRev.77.136.
45. Макки, Джордж У. (1957). «Квантовая механика и гильбертово пространство». The American Mathematical Monthly . 64 (8P2): 45–57. doi :10.1080/00029890.1957.11989120. JSTOR  2308516.
46. Глисон, Эндрю М. (1957). «Меры на замкнутых подпространствах гильбертова пространства». Indiana University Mathematics Journal . 6 (4): 885–893. doi : 10.1512/iumj.1957.6.56050 . MR  0096113.
47. Чернофф, Пол Р. «Энди Глисон и квантовая механика» (PDF) . Notices of the AMS . 56 (10): 1253–1259.
48. Wilce, A. (2017). «Квантовая логика и теория вероятностей». Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований, Стэнфордский университет.
49. Mermin, N. David (июль 1993 г.). «Скрытые переменные и две теоремы Джона Белла» (PDF) . Reviews of Modern Physics . 65 (3): 803–815. arXiv : 1802.10119 . Bibcode :1993RvMP...65..803M. doi :10.1103/RevModPhys.65.803. S2CID  119546199.
50. Шимони, Абнер (1984). «Контекстные теории скрытых переменных и неравенства Белла». Британский журнал философии науки . 35 (1): 25–45. doi :10.1093/bjps/35.1.25.
51. Перес, Эшер (1991). «Два простых доказательства теоремы Кохена-Шпеккера». Журнал физики A: Mathematical and General . 24 (4): L175–L178. Bibcode : 1991JPhA...24L.175P. doi : 10.1088/0305-4470/24/4/003. ISSN  0305-4470.
52. Уитакер, Эндрю (2016). Джон Стюарт Белл и физика двадцатого века: видение и целостность. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-874299-9.
53. Bell, JS (1966). «О проблеме скрытых переменных в квантовой механике». Reviews of Modern Physics . 38 (3): 447–452. Bibcode : 1966RvMP...38..447B. doi : 10.1103/revmodphys.38.447. OSTI  1444158.
54. Кайзер, Дэвид (2012-01-30). «Как хиппи спасли физику: наука, контркультура и квантовое возрождение [Отрывок]». Scientific American . Получено 2020-02-11 .
55. Freedman, SJ ; Clauser, JF (1972). "Экспериментальная проверка локальных теорий скрытых переменных" (PDF) . Physical Review Letters . 28 (938): 938–941. Bibcode :1972PhRvL..28..938F. doi :10.1103/PhysRevLett.28.938.
56. Фридман, Стюарт Джей (1972-05-05). Экспериментальная проверка локальных теорий скрытых переменных (PDF) (PhD). Калифорнийский университет в Беркли.
57. Аспект, Ален ; Далибар, Жан; Роджер, Жерар (1982). «Экспериментальная проверка неравенств Белла с использованием анализаторов, изменяющихся во времени». Physical Review Letters . 49 (25): 1804–7. Bibcode : 1982PhRvL..49.1804A. doi : 10.1103/PhysRevLett.49.1804 .
58. Pan, Jian-Wei; Bouwmeester, D.; Daniell, M.; Weinfurter, H.; Zeilinger, A. (2000). «Экспериментальная проверка квантовой нелокальности в трехфотонной GHZ-запутанности». Nature . 403 (6769): 515–519. Bibcode :2000Natur.403..515P. doi :10.1038/35000514. PMID  10676953. S2CID  4309261.
59. Делингер, Дитрих; Митчелл, МВ (2002). «Запутанные фотоны, нелокальность и неравенства Белла в студенческой лаборатории». Американский журнал физики . 70 (9): 903–910. arXiv : quant-ph/0205171 . Bibcode : 2002AmJPh..70..903D. doi : 10.1119/1.1498860. S2CID  49487096.
60. Larsson, Jan-Åke (2014). "Лазейки в тестах неравенства Белла локального реализма". Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical . 47 (42): 424003. arXiv : 1407.0363 . Bibcode :2014JPhA...47P4003L. doi :10.1088/1751-8113/47/42/424003. S2CID  40332044.
61. Gerhardt, I.; Liu, Q.; Lamas-Linares, A.; Skaar, J.; Scarani, V.; et al. (2011). «Экспериментальная подделка нарушения неравенств Белла». Physical Review Letters . 107 (17): 170404. arXiv : 1106.3224 . Bibcode : 2011PhRvL.107q0404G. doi : 10.1103/PhysRevLett.107.170404. PMID  22107491. S2CID  16306493.
62. Merali, Zeeya (27 августа 2015 г.). «Квантовая „жуткость“ проходит самый сложный тест». Nature News . 525 (7567): 14–15. Bibcode :2015Natur.525...14M. doi : 10.1038/nature.2015.18255 . PMID  26333448. S2CID  4409566.
63. Маркофф, Джек (21 октября 2015 г.). «Извините, Эйнштейн. Квантовое исследование предполагает реальность «жуткого действия»». New York Times . Получено 21 октября 2015 г.
64. Хенсен, Б.; и др. (21 октября 2015 г.). «Нарушение неравенства Белла без лазеек с использованием электронных спинов, разделенных 1,3 километрами». Nature . 526 (7575): 682–686. arXiv : 1508.05949 . Bibcode :2015Natur.526..682H. doi :10.1038/nature15759. PMID  26503041. S2CID  205246446.
65. Шалм, Л.К. и др. (16 декабря 2015 г.). «Сильный тест локального реализма без лазеек». Physical Review Letters . 115 (25): 250402. arXiv : 1511.03189 . Bibcode : 2015PhRvL.115y0402S. doi : 10.1103/PhysRevLett.115.250402. PMC 5815856. PMID  26722906 . 
66. Giustina, M.; et al. (16 декабря 2015 г.). «Проверка теоремы Белла без существенных лазеек с запутанными фотонами». Physical Review Letters . 115 (25): 250401. arXiv : 1511.03190 . Bibcode :2015PhRvL.115y0401G. doi :10.1103/PhysRevLett.115.250401. PMID  26722905. S2CID  13789503.
67. Аспект, Ален (16 декабря 2015 г.). «Закрытие двери в квантовый спор Эйнштейна и Бора». Физика . 8 : 123. Bibcode : 2015PhyOJ...8..123A. doi : 10.1103/Physics.8.123 .
68. Ахландер, Йохан; Бургер, Людвиг; Поллард, Никлас (2022-10-04). «Нобелевская премия по физике достается детективам «жуткой» квантовой науки». Reuters . Получено 2022-10-04 .
69. Шлосшауэр, Максимилиан; Кофлер, Йоханнес; Цайлингер, Антон (2013-01-06). «Краткий обзор основополагающих взглядов на квантовую механику». Исследования по истории и философии науки Часть B: Исследования по истории и философии современной физики . 44 (3): 222–230. arXiv : 1301.1069 . Bibcode :2013SHPMP..44..222S. doi :10.1016/j.shpsb.2013.04.004. S2CID  55537196.
70. Вернер, Рейнхард Ф. (2014-10-24). "Комментарий к 'What Bell did'". Журнал физики A: Математический и теоретический . 47 (42): 424011. Bibcode : 2014JPhA...47P4011W. doi : 10.1088/1751-8113/47/42/424011. ISSN  1751-8113. S2CID  122180759.
71. Жуковски, Марек (2017). «Теорема Белла говорит нам не о том, что такое квантовая механика, а о том, чем квантовая механика не является». В Bertlmann, Reinhold; Zeilinger, Anton (ред.). Quantum [Un]Speakables II . The Frontiers Collection. Cham: Springer International Publishing. стр. 175–185. arXiv : 1501.05640 . doi :10.1007/978-3-319-38987-5_10. ISBN 978-3-319-38985-1. S2CID  119214547.
72. Омнес, Р. (1994). Интерпретация квантовой механики . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-03669-4. OCLC  439453957.
73. Пайерлс, Рудольф (1979). Сюрпризы в теоретической физике . Princeton University Press. С. 26–29. ISBN 0-691-08241-3.
74. Mermin, ND (1999). «Что знают эти корреляции о реальности? Нелокальность и абсурд». Основы физики . 29 (4): 571–587. arXiv : quant-ph/9807055 . Bibcode :1998quant.ph..7055M. doi :10.1023/A:1018864225930.
75. Hohenberg, PC (2010-10-05). «Colloquium: An Introduction to Computed Quantity Theory». Reviews of Modern Physics . 82 (4): 2835–2844. arXiv : 0909.2359 . Bibcode : 2010RvMP...82.2835H. doi : 10.1103/RevModPhys.82.2835. ISSN  0034-6861. S2CID  20551033.
76. Хили, Ричард (2016). «Квантово-байесовские и прагматические взгляды на квантовую теорию». В Zalta, Edward N. (ред.). Stanford Encyclopedia of Philosophy . Metaphysics Research Lab, Stanford University. Архивировано из оригинала 2021-08-17 . Получено 2021-09-16 .
77. Brown, Harvey R. ; Timpson, Christopher G. (2016). «Белл о теореме Белла: меняющееся лицо нелокальности». В Bell, Mary; Gao, Shan (ред.). Квантовая нелокальность и реальность: 50 лет теоремы Белла . Cambridge University Press. стр. 91–123. arXiv : 1501.03521 . doi :10.1017/CBO9781316219393.008. ISBN 9781316219393. S2CID  118686956.
78. Дойч, Дэвид ; Хейден, Патрик (2000). «Информационный поток в запутанных квантовых системах». Труды Королевского общества A. 456 ( 1999): 1759–1774. arXiv : quant-ph/9906007 . Bibcode : 2000RSPSA.456.1759D. doi : 10.1098/rspa.2000.0585. S2CID  13998168.
79. Jaynes, ET (1989). «Прояснение тайн — первоначальная цель». Максимальная энтропия и байесовские методы (PDF) . стр. 1–27. CiteSeerX 10.1.1.46.1264 . doi :10.1007/978-94-015-7860-8_1. ISBN  978-90-481-4044-2. Архивировано (PDF) из оригинала 2011-10-28 . Получено 2011-10-18 .
80. Гилл, Ричард Д. (2002). «Время, конечные статистики и пятая позиция Белла». Труды конференции «Основы вероятности и физики» - 2: Векшё (Соланд), Швеция, 2-7 июня 2002 г. Том 5. Издательство университета Векшё. С. 179–206. arXiv : quant-ph/0301059 .
81. Вуд, Кристофер Дж.; Спеккенс, Роберт В. (2015-03-03). «Урок алгоритмов причинного обнаружения для квантовых корреляций: причинные объяснения нарушений неравенства Белла требуют тонкой настройки». New Journal of Physics . 17 (3): 033002. arXiv : 1208.4119 . Bibcode :2015NJPh...17c3002W. doi :10.1088/1367-2630/17/3/033002. ISSN  1367-2630. S2CID  118518558.
82. Грёблахер, Саймон; Патерек, Томаш; Кальтенбек, Райнер; Брукнер, Часлав ; Жуковский, Марек; Аспельмейер, Маркус; Цайлингер, Антон (2007). «Экспериментальная проверка нелокального реализма». Природа . 446 (7138): 871–5. arXiv : 0704.2529 . Бибкод : 2007Natur.446..871G. дои : 10.1038/nature05677. PMID  17443179. S2CID  4412358.
83. Kastner, Ruth E. (май 2010 г.). «Эксперимент с квантовым лжецом в транзакционной интерпретации Крамера». Исследования по истории и философии науки Часть B: Исследования по истории и философии современной физики . 41 (2): 86–92. arXiv : 0906.1626 . Bibcode :2010SHPMP..41...86K. doi :10.1016/j.shpsb.2010.01.001. S2CID  16242184. Архивировано из оригинала 24.06.2018 . Получено 16.09.2021 .
84. 'т Хоофт, Джерард (2016). Интерпретация квантовой механики с помощью клеточного автомата. Фундаментальные теории физики. Т. 185. Springer. doi :10.1007/978-3-319-41285-6. ISBN 978-3-319-41284-9. OCLC  951761277. S2CID  7779840. Архивировано из оригинала 29.12.2021 . Получено 27.08.2020 .

Дальнейшее чтение

Следующая информация предназначена для широкой аудитории.

• Aczel, Amir D. (2001). Запутанность: величайшая загадка физики . Нью-Йорк: Четыре стены, восемь окон.
• Африат, А.; Селлери, Ф. (1999). Парадокс Эйнштейна, Подольского и Розена . Нью-Йорк и Лондон: Plenum Press.
• Багготт, Дж. (1992). Значение квантовой теории . Oxford University Press.
• Гилдер, Луиза (2008). Эпоха запутанности: когда квантовая физика возродилась . Нью-Йорк: Альфред А. Кнопф.
• Грин, Брайан (2004). Ткань космоса . Винтаж. ISBN 0-375-72720-5.
• Мермин, Н. Дэвид (1981). «Возвращение атомного мира домой: квантовые тайны для всех». Американский журнал физики . 49 (10): 940–943. Bibcode : 1981AmJPh..49..940M. doi : 10.1119/1.12594. S2CID  122724592.
• Мермин, Н. Дэвид (апрель 1985 г.). «Там ли луна, когда никто не смотрит? Реальность и квантовая теория». Physics Today . 38 (4): 38–47. Bibcode : 1985PhT....38d..38M. doi : 10.1063/1.880968.

Следующие пункты более технически ориентированы.

• Аспект, А. и др. (1981). «Экспериментальные проверки реалистичных локальных теорий с помощью теоремы Белла». Phys. Rev. Lett . 47 (7): 460–463. Bibcode :1981PhRvL..47..460A. doi : 10.1103/physrevlett.47.460 .
• Аспект, А.; и др. (1982). «Экспериментальная реализация мысленного эксперимента Эйнштейна–Подольского–Розена–Бома: новое нарушение неравенств Белла». Phys. Rev. Lett . 49 (2): 91–94. Bibcode :1982PhRvL..49...91A. doi : 10.1103/physrevlett.49.91 .
• Аспект, А.; Гранжье, П. (1985). «О резонансном рассеянии и других гипотетических эффектах в эксперименте Орсе по атомному каскаду для проверки неравенств Белла: обсуждение и некоторые новые экспериментальные данные». Lettere al Nuovo Cimento . 43 (8): 345–348. doi :10.1007/bf02746964. S2CID  120840672.
• Белл, Дж. С. (1971). «Введение в вопрос скрытых переменных». Труды Международной школы физики «Энрико Ферми», курс IL, основы квантовой механики . стр. 171–81.
• Белл, Дж. С. (2004). «Носки Бертлмана и природа реальности». Выразимое и невыразимое в квантовой механике . Издательство Кембриджского университета. С. 139–158.
• D'Espagnat, B. (1979). "Квантовая теория и реальность" (PDF) . Scientific American . 241 (5): 158–181. Bibcode :1979SciAm.241e.158D. doi :10.1038/scientificamerican1179-158. Архивировано (PDF) из оригинала 2009-03-27 . Получено 2009-03-18 .
• Fry, ES; Walther, T.; Li, S. (1995). "Предложение о проверке неравенств Белла без лазеек" (PDF) . Phys. Rev. A . 52 (6): 4381–4395. Bibcode :1995PhRvA..52.4381F. doi :10.1103/physreva.52.4381. hdl : 1969.1/126533 . PMID  9912775. Архивировано из оригинала 29.12.2021 . Получено 19.03.2018 .
• Фрай, ES; Вальтер, T. (2002). «Атомные тесты неравенств Белла — наследие Джона Белла продолжается». В Bertlmann, RA; Zeilinger, A. (ред.). Quantum [Un]speakables . Берлин-Гейдельберг-Нью-Йорк: Springer. стр. 103–117.
• Голдштейн, Шелдон и др. (2011). «Теорема Белла». Scholarpedia . 6 (10): 8378. Bibcode :2011SchpJ...6.8378G. doi : 10.4249/scholarpedia.8378 .
• Гриффитс, Р. Б. (2001). Последовательная квантовая теория . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-80349-6. OCLC  1180958776.
• Харди, Л. (1993). «Нелокальность для 2 частиц без неравенств для почти всех запутанных состояний». Physical Review Letters . 71 (11): 1665–1668. Bibcode :1993PhRvL..71.1665H. doi :10.1103/physrevlett.71.1665. PMID  10054467. S2CID  11839894.
• Matsukevich, DN; Maunz, P.; Moehring, DL; Olmschenk, S.; Monroe, C. (2008). "Нарушение неравенства Белла с двумя удаленными атомными кубитами". Phys. Rev. Lett . 100 (15): 150404. arXiv : 0801.2184 . Bibcode : 2008PhRvL.100o0404M. doi : 10.1103/physrevlett.100.150404. PMID  18518088. S2CID  11536757.
• Риффель, Элеанор Г.; Полак, Вольфганг Х. (4 марта 2011 г.). "4.4 Парадокс ЭПР и теорема Белла". Квантовые вычисления: легкое введение . MIT Press. стр. 60–65. ISBN 978-0-262-01506-6.
• Sulcs, S. (2003). «Природа света и экспериментальная физика двадцатого века». Основы науки . 8 (4): 365–391. doi :10.1023/A:1026323203487. S2CID  118769677.
• van Fraassen, BC (1991). Квантовая механика: эмпирический взгляд . Clarendon Press. ISBN 978-0-198-24861-3. OCLC  22906474.
• Уортон, К. Б.; Аргаман, Н. (2020-05-18). «Коллоквиум: теорема Белла и локально опосредованные переформулировки квантовой механики». Reviews of Modern Physics . 92 (2). doi :10.1103/RevModPhys.92.021002. ISSN  0034-6861.

Внешние ссылки

• Мермин: Жуткие действия на расстоянии? Лекция Оппенгеймера.
• «Теорема Белла». Интернет-энциклопедия философии .
• «Неравенства Белла». Энциклопедия математики . EMS Press . 2001 [1994].