Теория Бореля–де Зибенталя

В математике теория Бореля–де Зибенталя описывает замкнутые связные подгруппы компактной группы Ли , которые имеют максимальный ранг , т. е. содержат максимальный тор . Она названа в честь швейцарских математиков Армана Бореля и Жана де Зибенталя, которые разработали эту теорию в 1949 году. Каждая такая подгруппа является единичной компонентой централизатора своего центра. Они могут быть описаны рекурсивно в терминах ассоциированной корневой системы группы. Подгруппы , для которых соответствующее однородное пространство имеет инвариантную комплексную структуру, соответствуют параболическим подгруппам в комплексификации компактной группы Ли , редуктивной алгебраической группы .

Связанные подгруппы максимального ранга

Пусть G — связная компактная группа Ли с максимальным тором T. Хопф показал, что централизатор тора S ⊆ T — это связная замкнутая подгруппа, содержащая T , поэтому максимального ранга . Действительно, если x принадлежит C _G ( S ), то существует максимальный тор, содержащий как S , так и x , и он содержится в C _G ( S ). ^[1]

Борель и де Зибенталь доказали, что связные замкнутые подгруппы максимального ранга являются в точности компонентами тождества централизаторов их центров. ^[2]

Их результат опирается на факт из теории представлений. Веса неприводимого представления связной компактной полупростой группы K с наивысшим весом λ можно легко описать (без их кратностей): они являются в точности насыщением под группой Вейля доминирующих весов, полученных вычитанием суммы простых корней из λ. В частности, если неприводимое представление тривиально в центре K (конечной абелевой группы), то 0 является весом. ^[3]

Чтобы доказать характеристику Бореля и де Зибенталя, пусть H — замкнутая связная подгруппа G , содержащая T с центром Z. Компонента тождества L группы C _G (Z) содержит H. Если бы она была строго больше, ограничение присоединенного представления L на H было бы тривиальным на Z. Любое неприводимое слагаемое, ортогональное алгебре Ли группы H , давало бы ненулевые нулевые векторы веса для T / Z ⊆ H / Z , что противоречит максимальности тора T / Z в L / Z. ^[4 ]

Максимальные связные подгруппы максимального ранга

Борель и де Зибенталь классифицировали максимальные замкнутые связные подгруппы максимального ранга связной компактной группы Ли.

Общая классификация связных замкнутых подгрупп максимального ранга сводится к этому случаю, поскольку любая связная подгруппа максимального ранга содержится в конечной цепочке таких подгрупп, каждая максимальная в следующей. Максимальные подгруппы — это компоненты единицы любого элемента своего центра, не принадлежащего центру всей группы.

Проблема определения максимальных связных подгрупп максимального ранга может быть далее сведена к случаю, когда компактная группа Ли проста. Фактически алгебра Ли связной компактной группы Ли G распадается как прямая сумма идеалов ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \displaystyle {{\mathfrak {g}}={\mathfrak {z}}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}\oplus \cdots \oplus {\mathfrak {g}}_{m},}}$

где центр, а остальные факторы простые. Если T — максимальный тор, его алгебра Ли имеет соответствующее расщепление ${\displaystyle {\mathfrak {z}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$

${\displaystyle \displaystyle {{\mathfrak {t}}={\mathfrak {z}}\oplus {\mathfrak {t}}_{1}\oplus \cdots \oplus {\mathfrak {t}}_{m},}}$

где — максимальная абелева в . Если H — замкнутая связная группа G , содержащая T с алгеброй Ли , то комплексификация является прямой суммой комплексификации и ряда одномерных весовых пространств, каждое из которых лежит в комплексификации фактора . Таким образом, если ${\displaystyle {\mathfrak {t}}_{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{i}}$

${\displaystyle \displaystyle {{\mathfrak {h}}_{i}={\mathfrak {h}}\cap {\mathfrak {g}}_{i},}}$

затем

${\displaystyle \displaystyle {{\mathfrak {h}}={\mathfrak {z}}\oplus {\mathfrak {h}}_{1}\oplus \cdots \oplus {\mathfrak {h}}_{m}.}}$

Если H максимален, все, кроме одного , совпадают с , а оставшийся максимален и имеет максимальный ранг. Для этого фактора замкнутая связная подгруппа соответствующей односвязной простой компактной группы Ли максимальна и имеет максимальный ранг. ^[5] ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{i}}$

Пусть G — связная односвязная компактная простая группа Ли с максимальным тором T. Пусть — алгебра Ли группы G и алгебра Ли группы T. Пусть Δ — соответствующая система корней . Выберем набор положительных корней и соответствующие простые корни α ₁ , ..., α _n . Пусть α _{0 —} старший корень в и запишем ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\mathbf {C} }}$

${\displaystyle \displaystyle {\alpha _{0}=m_{1}\alpha _{1}+\cdots +m_{n}\alpha _{n}}}$

с m _i ≥ 1. (Число m _{i ,} равное 1, равно | Z | – 1, где Z – центр G .)

Альков Вейля определяется

${\displaystyle \displaystyle {A=\{T\in {\mathfrak {t}}:\,\alpha _{1}(T)\geq 0,\dots ,\alpha _{n}(T)\geq 0,\alpha _{0}(T)\leq 1\}.}}$

Эли Картан показал, что это фундаментальная область для аффинной группы Вейля . Если G ₁ = G / Z и T ₁ = T / Z , то экспоненциальное отображение из в G ₁ переносит 2π A на T ₁ . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Ниша Вейля A представляет собой симплекс с вершинами в

${\displaystyle \displaystyle {v_{0}=0,\,\,v_{i}=m_{i}^{-1}X_{i},}}$

где _αi ( Xj ) _{= δij} .

Основной результат Бореля и де Зибенталя заключается в следующем.

ТЕОРЕМА. _{Максимальные} связные подгруппы максимального ранга в _G1 с точностью _{до сопряженности} имеют _вид •
CG1 ( Xi ) _при mi = 1 • CG1 ₍ vi ₎ при mi — простом _числе .

Расширенные диаграммы Дынкина для простых комплексных алгебр Ли

В обоих случаях можно описать структуру соответствующей подгруппы H ₁ . Во втором случае она полупроста с системой простых корней, полученной заменой α _i на −α ₀ . В первом случае она является прямым произведением группы окружности, порожденной X _{i ,} и полупростой компактной группы с системой простых корней, полученной опусканием α _i .

Этот результат можно перефразировать в терминах расширенной диаграммы Дынкина , которая добавляет дополнительный узел для наивысшего корня, а также метки m _i . Максимальные подалгебры максимального ранга являются либо неполупростыми, либо полупростыми. Неполупростые подалгебры получаются путем удаления двух узлов из расширенной диаграммы с коэффициентом один. Соответствующая непомеченная диаграмма дает диаграмме Дынкина полупростую часть , другая часть является одномерным множителем. Диаграммы Дынкина для полупростых получаются путем удаления одного узла с коэффициентом a простым числом. Это приводит к следующим возможностям: ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

• A _n : A _p × A _{n − p − 1} × T (неполупростой)
• B _n : D _n или B _p × D _{n − p} (полупростой), B _{n − 1} × T (неполупростой)
• C _n : C _p × C _{n − p} (СС), A _{n - 1} × T (НСС)
• D _n : D _p × D _{n - p} (СС), D _{n - 1} × T , A _n-1 × T (НСС)
• E ₆ : A ₁ × A ₅ , A ₂ × A ₂ × A ₂ (СС), D ₅ × T (НСС)
• E ₇ : A ₁ × D ₆ , A ₂ × A ₅ , A ₇ (СС), E ₆ × T (НСС)
• Е ₈ : Д ₈ , А ₈ , А ₄ × А ₄ , Е ₆ × А ₂ , Е ₇ × А ₁ (СС)
• Ф ₄ : В ₄ , А ₂ × А ₂ , А ₁ × С ₃ (СС)
• G2 : A2 _, A1 _{× A1} ( СС ₎

Все соответствующие однородные пространства симметричны, поскольку подалгебра является алгеброй неподвижных точек внутреннего автоморфизма периода 2, за исключением G ₂ /A ₂ , F ₄ /A ₂ ×A ₂ , E ₆ /A ₂ ×A ₂ ×A ₂ , E ₇ /A ₂ ×A ₅ и всех пространств E _8, кроме E ₈ /D ₈ и E ₈ /E ₇ ×A ₁ . Во всех этих исключительных случаях подалгебра является алгеброй неподвижных точек внутреннего автоморфизма периода 3, за исключением E ₈ /A ₄ ×A ₄ , где автоморфизм имеет период 5.

Чтобы доказать теорему, отметим, что H ₁ является компонентом тождества централизатора элемента exp T с T в 2π A . Стабилизаторы увеличиваются при движении от подсимплекса к ребру или вершине, поэтому T либо лежит на ребре, либо является вершиной. Если он лежит на ребре, то это ребро соединяет 0 с вершиной v _i с m _i = 1, что является первым случаем. Если T является вершиной v _i и m _i имеет нетривиальный множитель m , то mT имеет больший стабилизатор, чем T , что противоречит максимальности. Поэтому m _i должно быть простым числом. Максимальность можно проверить напрямую, используя тот факт, что промежуточная подгруппа K будет иметь ту же форму, так что ее центром будет либо (a) T , либо (b) элемент простого порядка. Если центром H ₁ является ' T , каждый простой корень с m _i простым числом уже является корнем K , поэтому (b) невозможно; и если (a) выполняется, то α _i является единственным корнем, который может быть опущен при m _j = 1, поэтому K = H ₁ . Если центр H ₁ имеет простой порядок, α _j является корнем K для m _j = 1, так что (a) невозможно; если (b) выполняется, то единственным возможным опущенным простым корнем является α _i , так что K = H ₁ . ^[6]

Закрытые подсистемы корней

Подмножество Δ ₁ ⊂ Δ называется замкнутой подсистемой , если всякий раз, когда α и β лежат в Δ ₁ с α + β в Δ, то α + β лежит в Δ ₁ . Две подсистемы Δ ₁ и Δ ₂ называются эквивалентными , если σ( Δ ₁ ) = Δ ₂ для некоторого σ из W = NG ( _T ) / T , группы Вейля . Таким образом, для замкнутой подсистемы

${\displaystyle \displaystyle {{\mathfrak {t}}_{\mathbf {C} }\oplus \bigoplus _{\alpha \in \Delta _{1}}{\mathfrak {g}}_{\alpha }}}$

является подалгеброй , содержащей ; и наоборот, любая такая подалгебра порождает замкнутую подсистему. Борель и де Зибенталь классифицировали максимальные замкнутые подсистемы с точностью до эквивалентности. ^[7] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\mathbf {C} }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {t}}_{\mathbf {C} }}$

ТЕОРЕМА. С точностью до эквивалентности максимальные замкнутые корневые подсистемы задаются как m _i = 1 с простыми корнями всех α _j с j ≠ i или как m _i > 1 простое число с простыми корнями −α ₀ и всеми α _j с j ≠ i .

Этот результат является следствием теоремы Бореля–де Зибенталя для максимальных связных подгрупп максимального ранга. Он также может быть доказан непосредственно в рамках теории корневых систем и групп отражений. ^[8]

Приложения к симметричным пространствам компактного типа

Пусть G — связная компактная полупростая группа Ли, σ — автоморфизм группы G периода 2, а G ^σ — подгруппа неподвижных точек группы σ. Пусть K — замкнутая подгруппа группы G , лежащая между G ^σ и ее единичной компонентой . Компактное однородное пространство G / K называется симметричным пространством компактного типа . Алгебра Ли допускает разложение ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \displaystyle {{\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}},}}$

где , алгебра Ли K , является собственным пространством +1 σ и собственным пространством –1. Если не содержит простого слагаемого , пара ( , σ) называется ортогональной симметричной алгеброй Ли компактного типа . ^[9] ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Любое скалярное произведение на , инвариантное относительно присоединенного представления и σ, индуцирует риманову структуру на G / K , где G действует изометриями. При таком скалярном произведении и ортогональны. Тогда G / K является римановым симметрическим пространством компактного типа. ^[10] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

Симметричное пространство или пара ( , σ) называется неприводимой, если присоединенное действие (или, что эквивалентно, единичная компонента G ^σ или K ) неприводимо на . Это эквивалентно максимальности как подалгебры. ^[11] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$

На самом деле существует взаимно однозначное соответствие между промежуточными подалгебрами и K -инвариантными подпространствами, заданными формулой ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

${\displaystyle \displaystyle {{\mathfrak {h}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}_{1},\,\,\,\ {\mathfrak {p}}_{1}={\mathfrak {h}}\cap {\mathfrak {p}}.}}$

Любая ортогональная симметричная алгебра ( , σ) может быть разложена в (ортогональную) прямую сумму неприводимых ортогональных симметричных алгебр. ^[12] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

На самом деле можно записать как прямую сумму простых алгебр ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \displaystyle {{\mathfrak {g}}=\oplus _{i=1}^{N}{\mathfrak {g}}_{i},}}$

которые переставляются автоморфизмом σ. Если σ оставляет алгебру инвариантной, ее разложение собственного пространства совпадает с ее пересечениями с и . Поэтому ограничение σ на неприводимо. Если σ меняет местами два простых слагаемых, соответствующая пара изоморфна диагональному включению K в K × K , причем K простое, поэтому также неприводимо. Инволюция σ просто меняет местами два множителя σ( x , y )=( y , x ). ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}}$

Это разложение ортогональной симметрической алгебры дает прямое произведение разложения соответствующего компактного симметрического пространства G / K, когда G односвязно. В этом случае подгруппа неподвижной точки G ^σ автоматически связна (это уже не так, даже для внутренних инволюций, если G не односвязно). ^[13] Для односвязного G симметрическое пространство G / K является прямым произведением двух видов симметрических пространств G _i / K _i или H × H / H . Неодносвязные симметрические пространства компактного типа возникают как факторы односвязного пространства G / K по конечным абелевым группам. Фактически, если

${\displaystyle \displaystyle {G/K=G_{1}/K_{1}\times \cdots \times G_{s}/K_{s},}}$

позволять

${\displaystyle \displaystyle {\Gamma _{i}=Z(G_{i})/Z(G_{i})\cap K_{i}}}$

и пусть Δ _i — подгруппа Γ _{i ,} фиксированная всеми автоморфизмами G _{i ,} сохраняющими K _i (т.е. автоморфизмами ортогональной симметрической алгебры Ли). Тогда

${\displaystyle \displaystyle {\Delta =\Delta _{1}\times \cdots \times \Delta _{s}}}$

является конечной абелевой группой, действующей свободно на G / K. Неодносвязные симметричные пространства возникают как факторы по подгруппам Δ. Подгруппа может быть отождествлена ​​с фундаментальной группой , которая, таким образом, является конечной абелевой группой. ^[14]

Классификация компактных симметричных пространств или пар ( , σ) таким образом сводится к случаю, когда G — связная простая компактная группа Ли. Существуют две возможности: либо автоморфизм σ является внутренним, в этом случае K имеет максимальный ранг и применяется теория Бореля и де Зибенталя; либо автоморфизм σ является внешним, так что, поскольку σ сохраняет максимальный тор, ранг K меньше ранга G и σ соответствует автоморфизму диаграммы Дынкина по модулю внутренних автоморфизмов. Вольф (2010) напрямую определяет все возможные σ в последнем случае: они соответствуют симметричным пространствам SU( n )/SO( n ), SU(2 n )/Sp( n ), SO( a + b )/SO( a )×SO( b ) ( a и b нечетные), E ₆ /F ₄ и E ₆ /C ₄ . ^[15] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Виктор Кац заметил, что все автоморфизмы конечного порядка простой алгебры Ли можно определить с помощью соответствующей аффинной алгебры Ли : эта классификация, которая приводит к альтернативному методу классификации пар ( , σ), описана в работе Хельгасона (1978). ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Приложения к эрмитовым симметрическим пространствам компактного типа

Случай равного ранга с неполупростым K в точности соответствует эрмитовым симметрическим пространствам G / K компактного типа.

На самом деле симметричное пространство имеет почти сложную структуру, сохраняющую риманову метрику, тогда и только тогда, когда существует линейное отображение J с J ² = − I на , которое сохраняет скалярное произведение и коммутирует с действием K . В этом случае J лежит в , а exp Jt образует однопараметрическую группу в центре K . Это следует из того, что если A , B , C , D лежат в , то в силу инвариантности скалярного произведения на ^[16] ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \displaystyle {([[A,B],C],D)=([A,B],[C,D])=([[C,D],B],A).}}$

Заменив A и B на JA и JB , получаем, что

${\displaystyle \displaystyle {[JA,JB]=[A,B].}}$

Определим линейное отображение δ на , расширив J до 0 на . Последнее соотношение показывает, что δ является выводом . Поскольку является полупростым, δ должно быть внутренним выводом, так что ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

$${\displaystyle \delta (X)=[T+A,X],}$$

с T в и A в . Взяв X в , следует, что A = 0 и T лежит в центре и, следовательно, K не является полупростым. ^[17] ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$

Если же G / K неприводима, а K неполупроста, то компактная группа G должна быть простой, а K — максимального ранга. Из теоремы Бореля и де Зибенталя инволюция σ является внутренней, а K — централизатором тора S. Отсюда следует, что G / K односвязна и в комплексификации G _C группы G существует параболическая подгруппа P такая, что G / K = G _C / P. В частности, на G / K имеется комплексная структура , а действие G голоморфно.

В общем случае любое компактное эрмитово симметричное пространство односвязно и может быть записано как прямое произведение неприводимых эрмитовых симметричных пространств G _i / K _i с простым G _i . Неприводимые пространства — это в точности те неполупростые случаи, которые описаны выше. ^[18]

Примечания

1. Хельгасон 1978
2. Вольф 2010
3. См.:
   • Волк 2010
   • Бурбаки 1981
   • Хамфрис 1997
   • Duistermaat & Kolk 2000
4. Вольф 2010
5. Вольф 2010, стр. 276
6. См.:
   • Волк 2010
   • Кейн 2001
7. Кейн 2001, стр. 135–136
8. Кейн 2001
9. Вольф 2010
10. См.:
    • Хельгасон 1978
    • Волк 2010
11. См.:
    • Волк 2010
    • Хельгасон 1978, стр. 378
12. См.:
    • Хельгасон 1978, стр. 378–379
    • Волк 2010
13. Хельгасон 1978, стр. 320–321.
14. См.:
    • Вольф 2010, стр. 244, 263–264
    • Хельгасон 1978, стр. 326
15. Вольф 2010
16. Кобаяши и Номидзу 1996, стр. 149–150.
17. Кобаяши и Номидзу 1996, стр. 261–262.
18. Вольф 2010

Ссылки

• Борель, А.; Де Зибенталь, Дж. (1949), «Les sous-groupes Fermés de Rang Maximum des Groupes de Lie Clos», Commentarii Mathematici Helvetici , 23 : 200–221, doi : 10.1007/bf02565599, S2CID  120101481
• Борель, Арман (1952), Les espaces Hermitiens symétriques, Exposé No. 62, Séminaire Bourbaki, vol. 2, заархивировано из оригинала 04 марта 2016 г. , получено 14 марта 2013 г.
• Бурбаки, Н. (1981), Groupes et Algèbres de Lie (главы 4,5 и 6) , Éléments de Mathématique, Masson, ISBN 978-3-540-34490-2
• Бурбаки, Н. (1982), Группы и алгебры лжи (глава 9) , Éléments de Mathématique, Masson, ISBN 978-3-540-34392-9
• Дуйстермаат, Джей-Джей; Колк, А. (2000), Группы Ли , Universitext, Springer, ISBN 978-3-540-15293-4
• Хельгасон, Сигурдур (1978), Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметричные пространства , Academic Press, ISBN 978-0-8218-2848-9
• Хамфрис, Джеймс Э. (1981), Линейные алгебраические группы , Выпускные тексты по математике, т. 21, Springer, ISBN 978-0-387-90108-4
• Хамфрис, Джеймс Э. (1997), Введение в алгебры Ли и теорию представлений , Выпускные тексты по математике, т. 9 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3-540-90053-5
• Кейн, Ричард (2001), Группы отражений и теория инвариантов , Springer, ISBN 978-0-387-98979-2
• Кобаяши, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1996), Основы дифференциальной геометрии , том. 2, Wiley-Interscience, ISBN 978-0-471-15732-8
• Малле, Гюнтер ; Тестерман, Донна (2011), Линейные алгебраические группы и конечные группы лиева типа , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, т. 133, Cambridge University Press, ISBN 978-1-139-49953-8
• Вольф, Джозеф А. (2010), Пространства постоянной кривизны , AMS Chelsea Publishing (6-е изд.), Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-5282-8