Теория Жирарди–Римини–Вебера

Objective collapse theory in quantum mechanics

Теория Жирарди -Римини-Вебера ( GRW ) — это теория спонтанного коллапса в квантовой механике , предложенная в 1986 году Джанкарло Гирарди , Альберто Римини и Туллио Вебером. ^[1]

Проблема измерения и спонтанные обрушения

Квантовая механика имеет два принципиально разных динамических принципа: линейное и детерминированное уравнение Шредингера и нелинейное и стохастическое постулат редукции волнового пакета . Ортодоксальная интерпретация, или Копенгагенская интерпретация квантовой механики, постулирует коллапс волновой функции каждый раз, когда наблюдатель выполняет измерение. Таким образом, возникает проблема определения того, что такое «наблюдатель» и «измерение». Другая проблема квантовой механики заключается в том, что она предсказывает суперпозиции макроскопических объектов, которые не наблюдаются в природе (см. парадокс кота Шредингера ). Теория не говорит, где находится порог между микроскопическим и макроскопическим мирами, то есть когда квантовая механика должна оставить место классической механике . Вышеупомянутые проблемы составляют проблему измерения в квантовой механике.

Теории коллапса избегают проблемы измерения, объединяя два динамических принципа квантовой механики в уникальном динамическом описании. Физическая идея, лежащая в основе теорий коллапса, заключается в том, что частицы подвергаются спонтанным коллапсам волновой функции, которые происходят случайным образом как во времени (с заданной средней скоростью), так и в пространстве (согласно правилу Борна ). Таким образом, избегаются неточные «наблюдатель» и «измерение», которые мешают ортодоксальной интерпретации, поскольку волновая функция коллапсирует спонтанно. Более того, благодаря так называемому «механизму усиления» (который будет обсуждаться позже), теории коллапса восстанавливают как квантовую механику для микроскопических объектов, так и классическую механику для макроскопических.

GRW — первая теория спонтанного коллапса, которая была разработана. В последующие годы было предложено несколько различных моделей. Среди них:

• модель CSL ^[2], которая сформулирована в терминах идентичных частиц;
• модель Диози –Пенроуза ^{[3] [4]} , которая связывает спонтанный коллапс с гравитацией;
• модель QMUPL, ^{[3] [5],} которая доказывает важные математические результаты по теориям коллапса; и
• цветная модель QMUPL, ^{[6] [7] [8] [9]} , которая является единственной моделью коллапса, включающей цветные стохастические процессы, для которой известно точное решение.

Описание

Первое предположение теории GRW заключается в том, что волновая функция (или вектор состояния) представляет собой наиболее точную возможную спецификацию состояния физической системы. Это свойство теории GRW разделяет со стандартными интерпретациями квантовой механики и отличает ее от теорий скрытых переменных , таких как теория де Бройля–Бома , согласно которой волновая функция не дает полного описания физической системы. Теория GRW отличается от стандартной квантовой механики динамическими принципами, согласно которым эволюционирует волновая функция. ^{[10] [11]} Более философские вопросы, связанные с теорией GRW и с теориями коллапса в целом, обсуждались Жирарди и Басси. ^[12]

Принципы работы

• Каждая частица системы, описываемой многочастичной волновой функцией, независимо претерпевает процесс спонтанной локализации (или скачок): ${\displaystyle |\psi \rangle }$

${\displaystyle |\psi \rangle \rightarrow {\frac {|\psi _{x}^{i}\rangle }{\sqrt {\langle \psi _{x}^{i}|\psi _{x}^{i}\rangle }}}}$,

где — состояние после того, как оператор локализовал -ю частицу около позиции . ${\displaystyle |\psi _{x}^{i}\rangle ={\hat {L}}_{x}^{i}|\psi \rangle }$ ${\displaystyle {\hat {L}}_{x}^{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle x}$

• Процесс локализации является случайным как в пространстве, так и во времени. Скачки распределены по закону Пуассона во времени со средней скоростью ; плотность вероятности того, что скачок произойдет в позиции, равна . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle P_{i}(x)=\langle \psi _{x}^{i}|\psi _{x}^{i}\rangle }$
• Оператор локализации имеет гауссову форму:

${\displaystyle {\hat {L}}_{x}^{i}=\left({\frac {1}{\pi r_{C}^{2}}}\right)^{\frac {3}{4}}e^{-{\frac {({\hat {q}}_{i}-x)^{2}}{2r_{C}^{2}}}}}$,

где — оператор положения -й частицы, а — расстояние локализации. ${\displaystyle {\hat {q}}_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle r_{C}}$

• Между двумя процессами локализации волновая функция эволюционирует в соответствии с уравнением Шредингера .

Эти принципы можно выразить более компактно с помощью формализма статистического оператора . Поскольку процесс локализации является пуассоновским, в течение некоторого интервала времени существует вероятность того, что произойдет коллапс, т.е. что чистое состояние преобразуется в статистическую смесь ${\displaystyle dt}$ ${\displaystyle \lambda dt}$ ${\displaystyle \rho =|\psi \rangle \langle \psi |}$

${\displaystyle {\hat {T}}_{i}[\rho ]\equiv \int dx\,{\hat {L}}_{x}^{i}|\psi \rangle \langle \psi |{\hat {L}}_{x}^{i}}$.

В том же временном интервале существует вероятность того, что система продолжит развиваться согласно уравнению Шредингера. Соответственно, основное уравнение GRW для частиц имеет вид ${\displaystyle 1-\lambda dt}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\rho (t)=-{\frac {i}{\hbar }}[{\hat {H}},\rho (t)]-\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}\left(\rho (t)-{\hat {T}}_{i}[\rho ]\right)}$,

где — гамильтониан системы, а квадратные скобки обозначают коммутатор . ${\displaystyle {\hat {H}}}$

Теория GRW вводит два новых параметра, а именно скорость коллапса и расстояние локализации . Это феноменологические параметры, значения которых не фиксированы каким-либо принципом и должны пониматься как новые константы Природы. Сравнение предсказаний модели с экспериментальными данными позволяет ограничить значения параметров (см. модель CSL). Скорость коллапса должна быть такой, чтобы микроскопические объекты почти никогда не локализовались, таким образом эффективно восстанавливая стандартную квантовую механику. Первоначально предложенное значение было , ^[1], тогда как позднее Стивен Л. Адлер предположил, что значение (с неопределенностью в два порядка) является более адекватным. ^[13] Существует общее согласие относительно значения для расстояния локализации. Это мезоскопическое расстояние, такое, что микроскопические суперпозиции остаются неизменными, в то время как макроскопические коллапсируют. ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle r_{C}}$ ${\displaystyle \lambda =10^{-16}\mathrm {s} ^{-1}}$ ${\displaystyle \lambda =10^{-8}\mathrm {s} ^{-1}}$ ${\displaystyle r_{C}=10^{-7}\mathrm {m} }$

Примеры

Когда волновая функция испытывает внезапный скачок, действие оператора локализации по сути приводит к умножению волновой функции на коллапсирующий гауссиан.

Рассмотрим гауссову волновую функцию с распространением , центрированную в , и предположим, что она подвергается процессу локализации в позиции . Таким образом, имеем (в одном измерении) ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle x=a}$ ${\displaystyle x=a}$

${\displaystyle \psi (x)={\frac {1}{(\pi \sigma )^{\frac {1}{4}}}}\,e^{-{\frac {(x-a)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\quad \longrightarrow \quad \psi _{a}(x)={\hat {L}}_{x=a}\,\psi (x)={\cal {N}}e^{-{\frac {(x-a)^{2}}{2r_{C}^{2}}}}\,e^{-{\frac {(x-a)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}$,

где - нормировочный множитель. Предположим далее, что начальное состояние делокализовано, т.е. . В этом случае имеем ${\displaystyle {\cal {N}}}$ ${\displaystyle \sigma \gg r_{C}}$

${\displaystyle \psi _{a}(x)\simeq {\cal {N}}'e^{-{\frac {(x-a)^{2}}{2r_{C}^{2}}}}}$,

где — еще один нормировочный фактор. Таким образом, можно обнаружить, что после того, как произошел внезапный скачок, изначально делокализованная волновая функция стала локализованной. ${\displaystyle {\cal {N}}'}$

Другой интересный случай — когда начальное состояние представляет собой суперпозицию двух гауссовых состояний с центрами в и соответственно: . Если локализация происходит, например, вокруг одного, то ${\displaystyle x=-a}$ ${\displaystyle x=a}$ ${\displaystyle \psi (x)={\frac {1}{2(\pi \sigma )^{\frac {1}{4}}}}\,\left[e^{-{\frac {(x+a)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}+e^{-{\frac {(x-a)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\right]}$ ${\displaystyle x=a}$

${\displaystyle \psi _{a}(x)={\cal {N}}e^{-{\frac {(x-a)^{2}}{2r_{C}^{2}}}}\left[e^{-{\frac {(x+a)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}+e^{-{\frac {(x-a)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\right]={\cal {N}}\left[e^{-{\frac {\sigma ^{2}+r_{C}^{2}}{2\sigma ^{2}r_{C}^{2}}}\,\left(x+{\frac {\sigma ^{2}-r_{C}^{2}}{\sigma ^{2}+r_{C}^{2}}}a\right)^{2}-{\frac {2a^{2}}{\sigma ^{2}+r_{C}^{2}}}}+e^{-{\frac {\sigma ^{2}+r_{C}^{2}}{2\sigma ^{2}r_{C}^{2}}}\,(x-a)^{2}}\right]}$.

Если предположить, что каждый гауссиан локализован ( ) и что общая суперпозиция делокализована ( ), то можно найти ${\displaystyle \sigma \ll r_{C}}$ ${\displaystyle 2a\gg r_{C}}$

${\displaystyle \psi _{a}(x)\simeq {\cal {N}}'\left[e^{-{\frac {\left(x+a\right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}-{\frac {2a^{2}}{r_{C}^{2}}}}+e^{-{\frac {(x-a)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\right]}$.

Таким образом, мы видим, что гауссова функция, затронутая локализацией, остается неизменной, в то время как другая экспоненциально подавляется.

Механизм усиления

Это одна из важнейших особенностей теории GRW, поскольку она позволяет нам восстановить классическую механику для макроскопических объектов. Рассмотрим твердое тело частиц, статистический оператор которого развивается в соответствии с основным уравнением, описанным выше. Мы вводим операторы центра масс ( ) и относительного ( ) положения, которые позволяют нам переписать оператор положения каждой частицы следующим образом: . Можно показать, что когда гамильтониан системы можно разделить на гамильтониан центра масс и относительный гамильтониан , статистический оператор центра масс развивается в соответствии со следующим основным уравнением: ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\hat {Q}}}$ ${\displaystyle {\hat {r}}_{i}}$ ${\displaystyle {\hat {q}}_{i}={\hat {Q}}+{\hat {r}}_{i}}$ ${\displaystyle H_{\mathrm {CM} }}$ ${\displaystyle H_{r}}$ ${\displaystyle \rho _{\mathrm {CM} }}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\rho _{\mathrm {CM} }(t)=-{\frac {i}{\hbar }}[{\hat {H}}_{\mathrm {CM} },\rho _{\mathrm {CM} }(t)]-\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}\left(\rho _{\mathrm {CM} }(t)-{\hat {T}}_{\mathrm {CM} }[\rho _{\mathrm {CM} }(t)]\right)}$,

где

${\displaystyle {\hat {T}}_{\mathrm {CM} }[\rho _{\mathrm {CM} }(t)]=\left({\frac {1}{\pi r_{C}^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}\int _{\infty }^{\infty }d^{3}x\,e^{-{\frac {({\hat {Q}}-x)^{2}}{2r_{C}^{2}}}}\,\rho _{\mathrm {CM} }(t)\,e^{-{\frac {({\hat {Q}}-x)^{2}}{2r_{C}^{2}}}}}$.

Таким образом, мы видим, что центр масс коллапсирует со скоростью , которая является суммой скоростей его составляющих: это механизм усиления. Если для простоты предположить, что все частицы коллапсируют с одинаковой скоростью , то мы просто получаем . ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \Lambda =N\,\lambda }$

Объект, состоящий из порядка числа Авогадро нуклонов ( ), коллапсирует почти мгновенно: значения GRW и Адлера дают соответственно и . Таким образом, гарантируется быстрая редукция суперпозиций макроскопических объектов, и теория GRW эффективно восстанавливает классическую механику для макроскопических объектов. ${\displaystyle N\simeq 10^{23}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \Lambda =10^{7}\,\mathrm {s} ^{-1}}$ ${\displaystyle \Lambda =10^{15}\,\mathrm {s} ^{-1}}$

Другие особенности

• Теория GRW делает предсказания, отличные от предсказаний стандартной квантовой механики ^[14] , и, таким образом, может быть проверена против нее (см. модель CSL). ^[15]
• Шум коллапса многократно толкает частицы, тем самым вызывая процесс диффузии ( броуновское движение ). Это вводит постоянное количество энергии в систему, что приводит к нарушению принципа сохранения энергии . Для модели GRW можно показать, что энергия растет линейно во времени со скоростью , которая для макроскопического объекта составляет . Хотя такое увеличение энергии незначительно, эта особенность модели не является привлекательной. По этой причине было исследовано диссипативное расширение теории GRW. ^[16] ${\displaystyle \lambda \hbar ^{2}/4mr_{C}^{2}}$ ${\displaystyle \simeq 10^{-14}\mathrm {erg\,\,s} ^{-1}}$
• Теория GRW не допускает идентичных частиц. Расширение теории с идентичными частицами было предложено Тумулкой. ^[17]
• GRW является нерелятивистской теорией, ее релятивистское расширение для невзаимодействующих частиц было исследовано Тумулкой ^[18] , в то время как взаимодействующие модели все еще изучаются.
• Основное уравнение теории GRW описывает процесс декогеренции , согласно которому недиагональные элементы статистического оператора подавляются экспоненциально. Это свойство теории GRW разделяет с другими теориями коллапса: теории, включающие белый шум, связаны с основными уравнениями Линдблада , ^[19] , в то время как цветная модель QMUPL следует немарковскому гауссовскому основному уравнению. ^{[20] [21]}

Смотрите также

• Квантовая декогеренция
• интерпретация Пенроуза
• Интерпретации квантовой механики

Ссылки

1. Ghirardi, GC, Rimini, A., and Weber, T. (1986). «Единая динамика для микроскопических и макроскопических систем». Physical Review D. 34 ( 2): 470–491. Bibcode :1986PhRvD..34..470G. doi :10.1103/PhysRevD.34.470. PMID  9957165.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
2. Ghirardi, Gian Carlo; Pearle, Philip; Rimini, Alberto (1990-07-01). «Марковские процессы в гильбертовом пространстве и непрерывная спонтанная локализация систем идентичных частиц». Physical Review A. 42 ( 1): 78–89. Bibcode :1990PhRvA..42...78G. doi :10.1103/PhysRevA.42.78. PMID  9903779.
3. Diósi, L. (1989-08-01). "Модели универсальной редукции макроскопических квантовых флуктуаций". Physical Review A. 40 ( 3): 1165–1174. Bibcode :1989PhRvA..40.1165D. doi :10.1103/PhysRevA.40.1165. ISSN  0556-2791. PMID  9902248.
4. Пенроуз, Роджер (май 1996 г.). «О роли гравитации в квантовой редукции состояния». Общая теория относительности и гравитация . 28 (5): 581–600. Bibcode : 1996GReGr..28..581P. doi : 10.1007/BF02105068. ISSN  0001-7701. S2CID  44038399.
5. Басси, Анджело (2005-04-08). «Модели коллапса: анализ динамики свободных частиц». Journal of Physics A: Mathematical and General . 38 (14): 3173–3192. arXiv : quant-ph/0410222 . doi :10.1088/0305-4470/38/14/008. ISSN  0305-4470. S2CID  37142667.
6. Басси, Анджело; Фериальди, Лука (2009-07-31). "Немарковская динамика для свободной квантовой частицы, подверженной спонтанному коллапсу в пространстве: общее решение и основные свойства". Physical Review A . 80 (1): 012116. arXiv : 0901.1254 . Bibcode :2009PhRvA..80a2116B. doi :10.1103/PhysRevA.80.012116. ISSN  1050-2947. S2CID  119297164.
7. Басси, Анджело; Фериальди, Лука (28 июля 2009 г.). «Немарковские квантовые траектории: точный результат». Physical Review Letters . 103 (5): 050403. arXiv : 0907.1615 . Bibcode : 2009PhRvL.103e0403B. doi : 10.1103/PhysRevLett.103.050403. ISSN  0031-9007. PMID  19792469. S2CID  25021141.
8. Фериальди, Лука; Басси, Анджело (2012-08-08). "Модели диссипативного коллапса с небелыми шумами". Physical Review A. 86 ( 2): 022108. arXiv : 1112.5065 . Bibcode : 2012PhRvA..86b2108F. doi : 10.1103/PhysRevA.86.022108. ISSN  1050-2947. S2CID  119216571.
9. Фериальди, Лука; Басси, Анджело (2012-04-26). «Точное решение для немарковской диссипативной квантовой динамики». Physical Review Letters . 108 (17): 170404. arXiv : 1204.4348 . Bibcode : 2012PhRvL.108q0404F. doi : 10.1103/PhysRevLett.108.170404. ISSN  0031-9007. PMID  22680843. S2CID  16746767.
10. Басси, Анджело; Жирарди, ДжанКарло (июнь 2003 г.). «Модели динамической редукции». Physics Reports . 379 (5–6): 257–426. arXiv : quant-ph/0302164 . Bibcode : 2003PhR...379..257B. doi : 10.1016/S0370-1573(03)00103-0. S2CID  119076099.
11. Басси, Анджело; Лочан, Кинджалк; Сатин, Сима; Сингх, Теджиндер П.; Ульбрихт, Хендрик (2013-04-02). «Модели коллапса волновой функции, лежащие в их основе теории и экспериментальные тесты». Reviews of Modern Physics . 85 (2): 471–527. arXiv : 1204.4325 . Bibcode : 2013RvMP...85..471B. doi : 10.1103/RevModPhys.85.471. ISSN  0034-6861. S2CID  119261020.
12. Ghirardi, Giancarlo; Bassi, Angelo (2020), «Теории коллапса», в Zalta, Edward N. (ред.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy (лето 2020 г.), Metaphysics Research Lab, Stanford University , получено 26.05.2020
13. Адлер, Стивен Л. (2007-03-07). «Нижние и верхние границы параметров CSL из формирования скрытого изображения и нагрева IGM». Журнал физики A: Математическое и теоретическое . 40 (12): 2935–2957. arXiv : quant-ph/0605072 . Bibcode :2007JPhA...40.2935A. doi :10.1088/1751-8113/40/12/s03. ISSN  1751-8113.
14. Его « практически уникальным эффектом является очень быстрое подавление когерентности среди макроскопически различимых состояний », см. ^[2]
15. Romero-Isart, Oriol (2011). "Квантовая суперпозиция массивных объектов и модели коллапса". Phys. Rev. A. 84 ( 5): 052121. arXiv : 1110.4495 . Bibcode : 2011PhRvA..84e2121R. doi : 10.1103/PhysRevA.84.052121. S2CID  118401637.
16. Смирн, Андреа; Ваккини, Бассано; Басси, Анджело (31 декабря 2014 г.). «Диссипативное расширение модели Жирарди-Римини-Вебера». Физический обзор А. 90 (6): 062135. arXiv : 1408.6115 . Бибкод : 2014PhRvA..90f2135S. doi :10.1103/PhysRevA.90.062135. hdl : 2434/314893 . S2CID  52232273.
17. Tumulka, Roderich (2006-06-08). «О спонтанном коллапсе волновой функции и квантовой теории поля». Труды Королевского общества A: Математические, физические и инженерные науки . 462 (2070): 1897–1908. arXiv : quant-ph/0508230 . Bibcode :2006RSPSA.462.1897T. doi :10.1098/rspa.2005.1636. S2CID  16123332.
18. Тумулка, Родерих (1 ноября 2006 г.). «Релятивистская версия модели Жирарди – Римини – Вебера». Журнал статистической физики . 125 (4): 821–840. arXiv : Quant-ph/0406094 . Бибкод : 2006JSP...125..821T. doi : 10.1007/s10955-006-9227-3. ISSN  1572-9613. S2CID  13923422.
19. Линдблад, Г. (1976). «О генераторах квантовых динамических полугрупп». Сообщения по математической физике . 48 (2): 119–130. Bibcode :1976CMaPh..48..119L. doi :10.1007/BF01608499. ISSN  0010-3616. S2CID  55220796.
20. Diósi, L.; Ferialdi, L. (2014-11-12). "Общая немарковская структура гауссовых основных и стохастических уравнений Шредингера". Physical Review Letters . 113 (20): 200403. arXiv : 1408.1273 . Bibcode : 2014PhRvL.113t0403D. doi : 10.1103/PhysRevLett.113.200403. PMID  25432028. S2CID  14535901.
21. Ferialdi, L. (2016-03-22). "Точное замкнутое основное уравнение для гауссовой немарковской динамики". Physical Review Letters . 116 (12): 120402. arXiv : 1512.07244 . Bibcode : 2016PhRvL.116l0402F. doi : 10.1103/PhysRevLett.116.120402. PMID  27058061. S2CID  206271698.