Инвариант Громова–Виттена

В математике , в частности в симплектической топологии и алгебраической геометрии , инварианты Громова–Виттена ( GW ) — это рациональные числа , которые в определенных ситуациях подсчитывают псевдоголоморфные кривые, удовлетворяющие заданным условиям в заданном симплектическом многообразии . Инварианты GW могут быть упакованы как класс гомологии или когомологии в соответствующем пространстве или как деформированное произведение чашек квантовых когомологий . Эти инварианты использовались для различения симплектических многообразий, которые ранее были неразличимы. Они также играют решающую роль в теории струн замкнутого типа IIA . Они названы в честь Михаила Громова и Эдварда Виттена .

Строгое математическое определение инвариантов Громова–Виттена является длинным и сложным, поэтому оно рассматривается отдельно в статье о стабильной карте . В этой статье делается попытка более интуитивного объяснения того, что означают инварианты, как они вычисляются и почему они важны.

Определение

Примите во внимание следующее:

• X : замкнутое симплектическое многообразие размерности 2k ,
• A : двумерный класс гомологии в X ,
• g : неотрицательное целое число,
• n : неотрицательное целое число.

Теперь мы определяем инварианты Громова–Виттена, связанные с 4-кортежем: ( X , A , g , n ). Пусть — пространство модулей Делиня–Мамфорда кривых рода g с n отмеченными точками и обозначим пространство модулей устойчивых отображений в X класса A для некоторой выбранной почти комплексной структуры J на ​​X, совместимой с ее симплектической формой. Элементы имеют вид: ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}(X,A)}$ ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}(X,A)}$

${\displaystyle (C,x_{1},\ldots ,x_{n},f)}$,

где C — (не обязательно стабильная) кривая с n отмеченными точками x ₁ , ..., x _n и f  : C → X является псевдоголоморфной. Пространство модулей имеет вещественную размерность

${\displaystyle d:=2c_{1}^{X}(A)+(2k-6)(1-g)+2n.}$

Позволять

${\displaystyle \mathrm {st} (C,x_{1},\ldots ,x_{n})\in {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$

Обозначим стабилизацию кривой. Пусть

${\displaystyle Y:={\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}\times X^{n},}$

которая имеет реальное измерение . Существует оценочная карта ${\displaystyle 6g-6+2(k+1)n}$

${\displaystyle {\begin{cases}\mathrm {ev} :{\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}(X,A)\to Y\\\mathrm {ev} (C,x_{1},\ldots ,x_{n},f)=\left(\operatorname {st} (C,x_{1},\ldots ,x_{n}),f(x_{1}),\ldots ,f(x_{n})\right).\end{cases}}}$

Карта оценки переводит фундаментальный класс в d - мерный рациональный гомологический класс в Y , обозначаемый ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}(X,A)}$

${\displaystyle GW_{g,n}^{X,A}\in H_{d}(Y,\mathbb {Q} ).}$

В некотором смысле этот класс гомологии является инвариантом Громова–Виттена для X для данных g , n и A. Он является инвариантом симплектического изотопического класса симплектического многообразия X.

Для геометрической интерпретации инварианта Громова–Виттена пусть β будет классом гомологии в и классами гомологии в X , такими, что сумма коразмерностей равна d . Они индуцируют классы гомологии в Y по формуле Кюннета . Пусть ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$ ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}$ ${\displaystyle \beta ,\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}$

${\displaystyle GW_{g,n}^{X,A}(\beta ,\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}):=GW_{g,n}^{X,A}\cdot \beta \cdot \alpha _{1}\cdots \alpha _{n}\in H_{0}(Y,\mathbb {Q} ),}$

где обозначает произведение пересечений в рациональных гомологиях Y . Это рациональное число, инвариант Громова–Виттена для данных классов. Это число дает «виртуальный» подсчет числа псевдоголоморфных кривых (в классе A , рода g , с областью определения в β-части пространства Делиня–Мамфорда), чьи n отмеченных точек отображаются в циклы, представляющие . ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$

Проще говоря, инвариант GW подсчитывает, сколько кривых пересекают n выбранных подмногообразий X. Однако из-за «виртуальной» природы подсчета он не обязательно должен быть натуральным числом, как можно было бы ожидать. Поскольку пространство устойчивых отображений является орбифолдом , чьи точки изотропии могут вносить нецелые значения в инвариант.

Существуют многочисленные вариации этой конструкции, в которых вместо гомологии используются когомологии, интегрирование заменяет пересечение, классы Черна, извлеченные из пространства Делиня–Мамфорда, также интегрируются и т. д.

Вычислительные методы

Инварианты Громова–Виттена, как правило, трудно вычислить. Хотя они определены для любой общей почти комплексной структуры J , для которой линеаризация D оператора является сюръективной , они должны фактически вычисляться относительно конкретного выбранного J . Наиболее удобно выбирать J со специальными свойствами, такими как необщие симметрии или интегрируемость. Действительно, вычисления часто проводятся на кэлеровых многообразиях с использованием методов алгебраической геометрии. ${\displaystyle {\bar {\partial }}_{j,J}}$

Однако специальный J может индуцировать несюръективный D и, таким образом, модульное пространство псевдоголоморфных кривых, которое больше ожидаемого. Грубо говоря, этот эффект можно исправить, сформировав из коядра D векторное расслоение , называемое расслоением препятствий , и затем реализуя инвариант GW как интеграл класса Эйлера расслоения препятствий. Чтобы сделать эту идею точной, требуются значительные технические аргументы с использованием структур Кураниши .

Основной вычислительный метод — локализация . Это применимо, когда X является торическим , то есть на него действует комплексный тор или, по крайней мере, локально торический. Тогда можно использовать теорему Атьи–Ботта о неподвижной точке , Майкла Атьи и Рауля Ботта , чтобы свести или локализовать вычисление инварианта GW к интегрированию по локусу неподвижной точки действия.

Другой подход заключается в использовании симплектических операций для связи X с одним или несколькими другими пространствами, инварианты GW которых вычисляются легче. Конечно, сначала нужно понять, как инварианты ведут себя при операциях. Для таких приложений часто используются более сложные относительные инварианты GW , которые подсчитывают кривые с заданными условиями касания вдоль симплектического подмногообразия X действительной коразмерности два.

Связанные инварианты и другие конструкции

Инварианты GW тесно связаны с рядом других концепций в геометрии, включая инварианты Дональдсона и инварианты Зайберга–Виттена в симплектической категории, а также теорию Дональдсона–Томаса в алгебраической категории. Для компактных симплектических четырехмерных многообразий Клиффорд Таубс показал, что вариант инвариантов GW (см. инвариант Громова Таубса ) эквивалентен инвариантам Зайберга–Виттена. Для алгебраических трехмерных многообразий они, как предполагается, содержат ту же информацию, что и целочисленные инварианты Дональдсона–Томаса . Физические соображения также приводят к инвариантам Гопакумара–Вафы , которые призваны дать базовый целочисленный счет типично рациональной теории Громова–Виттена. Инварианты Гопакумара–Вафы в настоящее время не имеют строгого математического определения, и это одна из основных проблем в этой теме.

Инварианты Громова-Виттена гладких проективных многообразий могут быть определены полностью в алгебраической геометрии. Классическая исчислительная геометрия плоских кривых и рациональных кривых в однородных пространствах обе охватываются инвариантами GW. Однако главное преимущество инвариантов GW перед классическими исчислительными подсчетами заключается в том, что они инвариантны относительно деформаций комплексной структуры цели. Инварианты GW также предоставляют деформации структуры произведения в кольце когомологий симплектического или проективного многообразия; их можно организовать для построения квантового кольца когомологий многообразия X , которое является деформацией обычных когомологий. Ассоциативность деформированного произведения по сути является следствием самоподобной природы пространства модулей устойчивых отображений, которые используются для определения инвариантов.

Известно, что квантовое когомологическое кольцо изоморфно симплектической гомологии Флоера с ее произведением «пара штанов».

Применение в физике

Инварианты GW представляют интерес для теории струн, раздела физики, который пытается объединить общую теорию относительности и квантовую механику . В этой теории все во Вселенной, начиная с элементарных частиц , состоит из крошечных струн . Когда струна движется через пространство-время, она вычерчивает поверхность, называемую мировым листом струны. К сожалению, пространство модулей таких параметризованных поверхностей, по крайней мере априори , является бесконечномерным; никакая соответствующая мера на этом пространстве не известна, и, таким образом, интегралы по траектории теории не имеют строгого определения.

Ситуация улучшается в вариации, известной как закрытая A-модель . Здесь есть шесть измерений пространства-времени, которые составляют симплектическое многообразие, и оказывается, что мировые листы обязательно параметризованы псевдоголоморфными кривыми, чьи пространства модулей являются только конечномерными. Инварианты GW, как интегралы по этим пространствам модулей, являются тогда интегралами по траекториям теории. В частности, свободная энергия A-модели в роде g является производящей функцией инвариантов GW рода g .

Смотрите также

• Котангенс комплексный – для теории деформации
• исчисление Шуберта

Ссылки

• McDuff, Dusa & Salamon, Dietmar (2004). J-голоморфные кривые и симплектическая топология . Публикации коллоквиума Американского математического общества. ISBN 0-8218-3485-1.Аналитически подкрепленный обзор инвариантов Громова–Виттена и квантовых когомологий для симплектических многообразий, технически очень полный
• Пиунихин, Сергей; Саламон, Дитмар и Шварц, Маттиас (1996). «Симплектическая теория Флоера–Дональдсона и квантовые когомологии». В Thomas, CB (ред.). Контактная и симплектическая геометрия . Cambridge University Press . стр. 171–200. ISBN 0-521-57086-7.

Дальнейшее чтение

• Пространства модулей рода один. Стабильные отображения, виртуальные классы и упражнение по теории пересечений - Андреа Тирелли
• Kock, Joachim; Vainsencher, Israel (2007). Приглашение в квантовую когомологию: формула Концевича для рациональных плоских кривых . Нью-Йорк: Springer. ISBN 978-0-8176-4456-7.Хорошее введение с историей и упражнениями в формальное понятие пространства модулей , подробно рассматривает случай проективных пространств с использованием основ языка схем .
• Вакил, Рави (2006). «Пространство модулей кривых и теория Громова–Виттена». Перечислимые инварианты в алгебраической геометрии и теории струн . Т. 1947. Springer. С. 143–198. arXiv : math/0602347 . Bibcode :2006math......2347V. doi :10.1007/978-3-540-79814-9_4.
• Заметки о стабильных отображениях и квантовых когомологиях

Научные статьи

• Теория схем Громова-Виттена в смешанной характеристике