В математике теория Шоке , названная в честь Гюстава Шоке , является областью функционального анализа и выпуклого анализа, занимающейся мерами, имеющими опору в крайних точках выпуклого множества C. Грубо говоря, каждый вектор C должен выглядеть как взвешенное среднее крайних точек , концепция , уточненная путем обобщения понятия взвешенного среднего от выпуклой комбинации до интеграла , взятого по множеству E крайних точек. Здесь C является подмножеством действительного векторного пространства V , и основной упор теории заключается в рассмотрении случаев, когда V является бесконечномерным (локально выпуклым Хаусдорфовым) топологическим векторным пространством вдоль линий, аналогичных конечномерному случаю. Основные интересы Гюстава Шоке были в теории потенциала . Теория Шоке стала общей парадигмой, в частности, для рассмотрения выпуклых конусов , определяемых их крайними лучами , и, таким образом, для многих различных понятий положительности в математике.
Два конца отрезка прямой определяют точки между ними: в векторных терминах отрезок от v до w состоит из λ v + (1 − λ) w с 0 ≤ λ ≤ 1. Классический результат Германа Минковского гласит, что в евклидовом пространстве ограниченное замкнутое выпуклое множество C является выпуклой оболочкой своего крайнего множества точек E , так что любое c в C является (конечной) выпуклой комбинацией точек e из E . Здесь E может быть конечным или бесконечным множеством . В векторных терминах, назначая неотрицательные веса w ( e ) для e в E , почти все 0, мы можем представить любое c в C как с
В любом случае w ( e ) дает вероятностную меру, поддерживаемую на конечном подмножестве E. Для любой аффинной функции f на C ее значение в точке c равно
В бесконечномерном контексте хотелось бы сделать аналогичное утверждение.
На практике V будет банаховым пространством . Исходная теорема Крейна–Мильмана следует из результата Шоке. Другим следствием является теорема Рисса о представлении состояний на непрерывных функциях на метризуемом компактном хаусдорфовом пространстве.
В более общем случае для V — локально выпуклого топологического векторного пространства — теорема Шоке–Бишопа–де Лю [1] дает то же формальное утверждение.
В дополнение к существованию вероятностной меры, поддерживаемой на крайней границе, которая представляет заданную точку c , можно также рассмотреть уникальность таких мер. Легко видеть, что уникальность не имеет места даже в конечномерной обстановке. Можно взять в качестве контрпримеров выпуклое множество, которое является кубом или шаром в R 3 . Однако уникальность имеет место, когда выпуклое множество является конечномерным симплексом . Конечномерный симплекс является частным случаем симплекса Шоке . Любая точка в симплексе Шоке представлена уникальной вероятностной мерой на крайних точках.
