В математике теория пересечений является одним из основных разделов алгебраической геометрии , где она дает информацию о пересечении двух подмногообразий заданного многообразия. [1] Теория многообразий старше, ее корни в теореме Безу о кривых и теории исключения . С другой стороны, топологическая теория быстрее достигла окончательной формы.
Теория пересечений все еще находится в стадии разработки. В настоящее время основное внимание уделяется: виртуальным фундаментальным циклам, квантовым кольцам пересечений, теории Громова–Виттена и расширению теории пересечений со схем на стеки . [2]
Для связного ориентированного многообразия M размерности 2 n форма пересечения определяется на n -й группе когомологий (обычно называемой «средней размерностью») путем вычисления произведения чашек на фундаментальном классе [ M ] в H 2 n ( M , ∂ M ) . Точнее говоря, существует билинейная форма
предоставлено
с
Это симметричная форма для четного n (так что 2 n = 4 k дважды четно ), в этом случае сигнатура M определяется как сигнатура формы, и чередующаяся форма для нечетного n ( так что 2 n = 4 k + 2 является одинарно четным ). Их можно единообразно называть ε-симметричными формами , где ε = (−1) n = ±1 соответственно для симметричных и кососимметричных форм. В некоторых обстоятельствах возможно усовершенствовать эту форму до ε - квадратичной формы , хотя для этого требуются дополнительные данные, такие как обрамление касательного расслоения. Можно отказаться от условия ориентируемости и вместо этого работать с коэффициентами Z /2 Z.
Эти формы являются важными топологическими инвариантами . Например, теорема Майкла Фридмана утверждает, что односвязные компактные 4-многообразия (почти) определяются своими формами пересечения с точностью до гомеоморфизма .
Согласно двойственности Пуанкаре , оказывается, что есть способ думать об этом геометрически. Если возможно, выберите представительные n -мерные подмногообразия A , B для двойственных Пуанкаре многообразий a и b . Тогда λ M ( a , b ) является ориентированным числом пересечения A и B , которое хорошо определено, поскольку, поскольку размерности A и B в сумме дают общую размерность M , они в общем случае пересекаются в изолированных точках. Это объясняет терминологию форма пересечения .
Уильям Фултон в своей книге «Теория пересечений» (1984) пишет:
... если A и B являются подмногообразиями неособого многообразия X , произведение пересечений A · B должно быть классом эквивалентности алгебраических циклов, тесно связанным с геометрией того, как A ∩ B , A и B расположены в X . Два крайних случая были наиболее знакомы. Если пересечение является собственным , т. е. dim( A ∩ B ) = dim A + dim B − dim X , то A · B является линейной комбинацией неприводимых компонент A ∩ B , с коэффициентами кратностей пересечения. В другом крайнем случае, если A = B является неособым подмногообразием, формула самопересечения утверждает, что A · B представлено старшим классом Черна нормального расслоения A в X .
Дать определение кратности пересечения в общем случае было главной задачей книги Андре Вейля 1946 года «Основы алгебраической геометрии» . Работы Б. Л. ван дер Вардена 1920-х годов уже затрагивали этот вопрос; в итальянской школе алгебраической геометрии эти идеи были хорошо известны, но основополагающие вопросы не рассматривались в том же духе.
Хорошо работающий механизм пересекающихся алгебраических циклов V и W требует большего, чем просто взять теоретико-множественное пересечение V ∩ W рассматриваемых циклов. Если два цикла находятся в «хорошем положении», то произведение пересечений , обозначаемое V · W , должно состоять из теоретико-множественного пересечения двух подмногообразий. Однако циклы могут находиться в плохом положении, например, две параллельные прямые на плоскости или плоскость, содержащая прямую (пересекающуюся в 3-мерном пространстве). В обоих случаях пересечение должно быть точкой, потому что, опять же, если один цикл переместить, это будет пересечение. Пересечение двух циклов V и W называется правильным, если коразмерность (теоретико-множественного) пересечения V ∩ W является суммой коразмерностей V и W соответственно, т. е. «ожидаемым» значением.
Поэтому используется концепция движущихся циклов с использованием соответствующих отношений эквивалентности на алгебраических циклах . Эквивалентность должна быть достаточно широкой, чтобы для любых двух циклов V и W существовали эквивалентные циклы V′ и W′ такие, что пересечение V′ ∩ W′ является собственным. Конечно, с другой стороны, для второго эквивалента V′′ и W′′ , V′ ∩ W′ должно быть эквивалентно V′′ ∩ W′′ .
Для целей теории пересечений рациональная эквивалентность является наиболее важной. Вкратце, два r -мерных цикла на многообразии X рационально эквивалентны, если существует рациональная функция f на ( r + 1) -мерном подмногообразии Y , т. е. элемент поля функций k ( Y ) или , что эквивалентно, функция f : Y → P 1 , такая, что V − W = f −1 (0) − f −1 (∞) , где f −1 (⋅) считается с кратностями. Рациональная эквивалентность удовлетворяет требованиям, изложенным выше.
Руководящим принципом в определении кратностей пересечения циклов является непрерывность в определенном смысле. Рассмотрим следующий элементарный пример: пересечение параболы y = x 2 и оси y = 0 должно быть 2 · (0, 0) , потому что если один из циклов движется (но в неопределенном смысле), то есть ровно две точки пересечения, которые обе сходятся к (0, 0) , когда циклы приближаются к изображенному положению. (Рисунок вводит в заблуждение, поскольку кажущееся пустым пересечение параболы и линии y = −3 пусто, потому что изображены только действительные решения уравнений).
Первое полностью удовлетворительное определение кратностей пересечений было дано Серром : Пусть объемлющее многообразие X гладкое (или все локальные кольца регулярны ). Далее, пусть V и W — два (неприводимых приведенных замкнутых) подмногообразия, такие, что их пересечение является собственным. Конструкция локальна, поэтому многообразия могут быть представлены двумя идеалами I и J в координатном кольце X. Пусть Z — неприводимая компонента теоретико-множественного пересечения V ∩ W , а z — ее общая точка . Кратность Z в произведении пересечений V · W определяется как
знакопеременная сумма по длине над локальным кольцом X в z групп кручения фактор-колец, соответствующих подмногообразиям. Это выражение иногда называют Tor-формулой Серра .
Замечания:
Кольцо Чжоу — это группа алгебраических циклов по модулю рациональной эквивалентности вместе со следующим коммутативным произведением пересечений :
где всякий раз, когда V и W встречаются должным образом, находится разложение теоретико-множественного пересечения на неприводимые компоненты.
Для двух подмногообразий V и W можно взять их пересечение V ∩ W , но также возможно, хотя и более тонко, определить самопересечение одного подмногообразия.
Например, если взять кривую C на поверхности S , то ее пересечение с собой (как множество) — это просто она сама: C ∩ C = C . Это, очевидно, правильно, но, с другой стороны, неудовлетворительно: если взять любые две различные кривые на поверхности (без общих компонентов), они пересекаются в некотором наборе точек, которые, например, можно подсчитать, получив число пересечения , и мы можем захотеть сделать то же самое для данной кривой: аналогия заключается в том, что пересечение различных кривых похоже на умножение двух чисел: xy , тогда как самопересечение похоже на возведение в квадрат одного числа: x 2 . Формально аналогия формулируется как симметричная билинейная форма (умножение) и квадратичная форма (возведение в квадрат).
Геометрическое решение этой проблемы состоит в том, чтобы пересечь кривую C не с собой, а со слегка отодвинутой версией самой себя. На плоскости это просто означает перенос кривой C в некотором направлении, но в общем случае говорят о взятии кривой C′, которая линейно эквивалентна C , и подсчете пересечения C · C′ , таким образом получая номер пересечения, обозначаемый C · C. Обратите внимание, что в отличие от различных кривых C и D , фактические точки пересечения не определены, поскольку они зависят от выбора C′ , но «точки самопересечения C′′» можно интерпретировать как k общих точек на C , где k = C · C. Более точно, точка самопересечения C является общей точкой C , взятой с кратностью C · C.
В качестве альтернативы можно «решить» (или мотивировать) эту проблему алгебраически, дуализируя и рассматривая класс [ C ] ∪ [ C ] – это и дает число, и поднимает вопрос геометрической интерпретации. Обратите внимание, что переход к классам когомологий аналогичен замене кривой линейной системой.
Обратите внимание, что число самопересечений может быть отрицательным, как показано в примере ниже.
Рассмотрим прямую L в проективной плоскости P 2 : она имеет индекс самопересечения 1, поскольку все остальные прямые пересекают ее один раз: можно отодвинуть L до L′ , и L · L′ = 1 (для любого выбора) L′ , следовательно, L · L = 1 . В терминах форм пересечения мы говорим, что плоскость имеет один тип x 2 (существует только один класс прямых, и все они пересекаются друг с другом).
Обратите внимание, что на аффинной плоскости можно отталкивать L к параллельной прямой, поэтому (рассуждая геометрически) количество точек пересечения зависит от выбора отталкивания. Говорят, что «аффинная плоскость не имеет хорошей теории пересечений», а теория пересечений на непроективных многообразиях гораздо сложнее.
Прямая на P 1 × P 1 (которую также можно интерпретировать как неособую квадрику Q в P 3 ) имеет самопересечение 0 , поскольку прямую можно сдвинуть с самой себя. (Это линейчатая поверхность .) В терминах форм пересечения мы говорим, что P 1 × P 1 имеет один из типов xy — существует два основных класса прямых, которые пересекаются друг с другом в одной точке ( xy ), но имеют нулевое самопересечение (нет членов x 2 или y 2 ).
Ключевым примером чисел самопересечения является исключительная кривая раздутия, которая является центральной операцией в бирациональной геометрии . Для заданной алгебраической поверхности S раздутие в точке создает кривую C. Эта кривая C распознается по ее роду, который равен 0 , и ее числу самопересечения, которое равно −1 . (Это не очевидно.) Обратите внимание, что в качестве следствия P 2 и P 1 × P 1 являются минимальными поверхностями (они не являются раздутиями), поскольку у них нет кривых с отрицательным самопересечением. Фактически, теорема Кастельнуово о сжатии утверждает обратное: каждая (−1) -кривая является исключительной кривой некоторого раздутия (ее можно «раздуть»).
![{\displaystyle \lambda _{M}(a,b)=\langle a\smile b,[M]\rangle \in \mathbf {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5224441f15083b73af07a158d2c8f3ddc7e2ce70)
