Стабильная теория

Занимается понятием стабильности в теории моделей

В математической области теории моделей теория называется стабильной , если она удовлетворяет определенным комбинаторным ограничениям на ее сложность. Стабильные теории укоренены в доказательстве теоремы категоричности Морли и были широко изучены как часть теории классификации Сахарона Шелаха , которая показала дихотомию, что либо модели теории допускают хорошую классификацию, либо модели слишком многочисленны, чтобы иметь какую-либо надежду на разумную классификацию. Первым шагом этой программы было показать, что если теория нестабильна, то ее модели слишком многочисленны, чтобы их можно было классифицировать.

Стабильные теории были преобладающим предметом чистой теории моделей с 1970-х по 1990-е годы, поэтому их изучение сформировало современную теорию моделей ^[1] , и существует богатая структура и набор инструментов для их анализа. Основным направлением в теории моделей является «теория неостабильности», которая пытается обобщить концепции теории стабильности на более широкие контексты, такие как простые и NIP- теории.

Мотивация и история

Общей целью в теории моделей является изучение теории первого порядка путем анализа сложности булевых алгебр (параметрически) определяемых множеств в ее моделях. Можно эквивалентно проанализировать сложность двойственных по Стоуну множеств этих булевых алгебр, которые являются пространствами типов . Устойчивость ограничивает сложность этих пространств типов, ограничивая их мощности . Поскольку типы представляют возможное поведение элементов в моделях теории, ограничение числа типов ограничивает сложность этих моделей. ^[2]

Теория устойчивости берет свое начало в доказательстве Майкла Морли 1965 года гипотезы Лоса о категорных теориях. В этом доказательстве ключевым понятием была концепция полностью трансцендентной теории, определяемой ограничением топологической сложности пространств типов. Однако Морли показал, что (для счетных теорий) это топологическое ограничение эквивалентно ограничению мощности, сильной форме устойчивости, которая теперь называется -устойчивостью, и он значительно использовал эту эквивалентность. В ходе обобщения теоремы Морли о категоричности на несчетные теории Фредерик Роуботтом обобщил -устойчивость, введя -устойчивые теории для некоторого кардинального , и, наконец, Шелах ввел устойчивые теории. ^[3] ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$

Теория устойчивости получила дальнейшее развитие в ходе программы теории классификации Шелаха. Главной целью этой программы было показать дихотомию, что либо модели теории первого порядка могут быть хорошо классифицированы с точностью до изоморфизма с использованием дерева кардинальных инвариантов (обобщая, например, классификацию векторных пространств над фиксированным полем по их размерности ), либо они настолько сложны, что никакая разумная классификация невозможна. ^[4] Среди конкретных результатов этой теории классификации были теоремы о возможных спектральных функциях теории , подсчитывающие число моделей мощности как функцию . ^[a] Подход Шелаха состоял в том, чтобы определить ряд «разделительных линий» для теорий. Разделительная линия — это свойство теории, такое, что и оно, и его отрицание имеют сильные структурные последствия; одно должно подразумевать, что модели теории хаотичны, в то время как другое должно давать положительную структурную теорию. Стабильность была первой такой разделительной линией в программе теории классификации, и поскольку было показано, что ее неудача исключает любую разумную классификацию, вся дальнейшая работа могла предполагать, что теория является стабильной. Таким образом, большая часть теории классификации была связана с анализом стабильных теорий и различных подмножеств стабильных теорий, заданных дальнейшими разделительными линиями, такими как сверхстабильные теории . ^[3] ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$

Одной из ключевых особенностей стабильных теорий, разработанных Шелахом, является то, что они допускают общее понятие независимости, называемое неразветвленной независимостью, обобщающее линейную независимость от векторных пространств и алгебраическую независимость от теории поля. Хотя неразветвленная независимость имеет смысл в произвольных теориях и остается ключевым инструментом за пределами стабильных теорий, она обладает особенно хорошими геометрическими и комбинаторными свойствами в стабильных теориях. Как и в случае с линейной независимостью, это позволяет определять независимые множества и локальные измерения как мощности максимальных экземпляров этих независимых множеств, которые хорошо определены при дополнительных гипотезах. Затем эти локальные измерения приводят к кардинальным инвариантам, классифицирующим модели с точностью до изоморфизма. ^[4]

Определение и альтернативные характеристики

Пусть T — полная теория первого порядка.

Для заданного бесконечного кардинала T является -стабильным , если для каждого множества A мощности в модели T множество S(A) полных типов над A также имеет мощность . Это наименьшая возможная мощность S(A) , в то время как она может быть такой же большой, как . В случае обычно говорят, что T является -стабильным, а не -стабильным. ^[5] ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle 2^{\kappa }}$ ${\displaystyle \kappa =\aleph _{0}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$

T устойчив, если он устойчив для некоторого бесконечного кардинала . ^[6] ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$

Ограничения на кардиналы , для которых теория может быть одновременно -устойчивой, описываются спектром устойчивости ^[7] , который выделяет еще более спокойное подмножество сверхустойчивых теорий. ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$

Распространенное альтернативное определение стабильных теорий состоит в том, что они не обладают свойством порядка . Теория обладает свойством порядка, если существует формула и две бесконечные последовательности кортежей в некоторой модели M, такие, что определяет бесконечный полуграф на , т.е. является истинным в M . ^[8] Это эквивалентно существованию формулы и бесконечной последовательности кортежей в некоторой модели M, таких, что определяет бесконечный линейный порядок на A , т.е. является истинным в M . ^{[9] [b] [c]} ${\displaystyle \phi ({\bar {x}},{\bar {y}})}$ ${\displaystyle A=({\bar {a}}_{i}:i\in \mathbb {N} )}$ ${\displaystyle B=({\bar {b}}_{j}:j\in \mathbb {N} )}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle A\times B}$ ${\displaystyle \phi ({\bar {a}}_{i},{\bar {b}}_{j})}$ ${\displaystyle \iff i\leq j}$ ${\displaystyle \psi ({\bar {x}},{\bar {y}})}$ ${\displaystyle A=({\bar {a}}_{i}:i\in \mathbb {N} )}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi ({\bar {a}}_{i},{\bar {a}}_{j})}$ ${\displaystyle \iff i\leq j}$

Существует множество дополнительных характеристик устойчивости. Как и в случае с полностью трансцендентными теориями Морли, ограничения мощности устойчивости эквивалентны ограничению топологической сложности пространств типов в терминах ранга Кантора-Бендиксона . ^[12] Другая характеристика осуществляется через свойства, которые имеет неразветвляющаяся независимость в стабильных теориях, такие как симметричность. Это характеризует устойчивость в том смысле, что любая теория с абстрактным отношением независимости, удовлетворяющим некоторым из этих свойств, должна быть устойчивой, а отношение независимости должно быть неразветвляющейся независимостью. ^[13]

Любое из этих определений, за исключением абстрактных отношений независимости, может быть использовано для определения того, что означает для одной формулы быть стабильной в данной теории T. Тогда T можно определить как стабильное, если каждая формула стабильна в T. [ ^14] Локализация результатов к стабильным формулам позволяет применять эти результаты к стабильным формулам в нестабильных теориях, и эта локализация к отдельным формулам часто полезна даже в случае стабильных теорий. ^[15]

Примеры и не примеры

Для нестабильной теории рассмотрим теорию DLO плотных линейных порядков без конечных точек. Тогда отношение атомарного порядка имеет свойство порядка. В качестве альтернативы, нереализованные 1-типы над множеством A соответствуют разрезам (обобщенным разрезам Дедекинда , без требований, чтобы два множества были непустыми и чтобы нижнее множество не имело наибольшего элемента) в упорядочении A , ^[16] и существуют плотные порядки любой мощности с -многими разрезами. ^[17] ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle 2^{\kappa }}$

Другая нестабильная теория — это теория графа Радо , где атомное отношение ребра имеет свойство порядка. ^[18]

Для стабильной теории рассмотрим теорию алгебраически замкнутых полей характеристики p , допускающую . Тогда, если K является моделью , подсчет типов по множеству эквивалентен подсчету типов по полю k, порожденному A в K . Существует (непрерывная) биекция из пространства n -типов по k в пространство простых идеалов в кольце многочленов . Поскольку такие идеалы конечно порождены, их всего несколько, поэтому является -стабильным для всех бесконечных . ^[19] ${\displaystyle ACF_{p}}$ ${\displaystyle p=0}$ ${\displaystyle ACF_{p}}$ ${\displaystyle A\subset K}$ ${\displaystyle k[X_{1},\dots ,X_{n}]}$ ${\displaystyle |k|+\aleph _{0}}$ ${\displaystyle ACF_{p}}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$

Ниже приведены некоторые дополнительные примеры стабильных теорий.

• Теория любого модуля над кольцом (в частности, любая теория векторных пространств или абелевых групп ). ^[20]

• Теория неабелевых свободных групп . ^[21]

• Теория дифференциально замкнутых полей характеристики p . Когда , теория -стабильна. ^[22] ${\displaystyle p=0}$ ${\displaystyle \omega }$

• Теория любого нигде не плотного класса графов. ^[23] К ним относятся классы графов с ограниченным расширением , которые, в свою очередь, включают планарные графы и любой класс графов ограниченной степени.

Геометрическая теория устойчивости

Геометрическая теория устойчивости занимается тонким анализом локальных геометрий в моделях и тем, как их свойства влияют на глобальную структуру. Эта линия результатов позже стала ключевой в различных приложениях теории устойчивости, например, в диофантовой геометрии . Обычно считается, что она началась в конце 1970-х годов с анализа Бориса Зильбера полностью категоричных теорий, в конечном итоге показавшего, что они не являются конечно аксиоматизируемыми . Каждая модель полностью категоричной теории контролируется (т. е. является простой и минимальной над) строго минимальным множеством, которое несет матроидную структуру ^[d], определяемую (теоретико-модельным) алгебраическим замыканием, которое дает понятия независимости и размерности. В этой обстановке геометрическая теория устойчивости затем задает локальный вопрос о том, каковы возможности для структуры строго минимального множества, и локально-глобальный вопрос о том, как строго минимальное множество контролирует всю модель. ^[24]

На второй вопрос отвечает теорема Зильбера о лестнице, показывающая, что каждая модель полностью категоричной теории строится с помощью конечной последовательности чего-то вроде «определимых расслоений волокон » над строго минимальным множеством. ^[25] Для первого вопроса гипотеза трихотомии Зильбера состояла в том, что геометрия строго минимального множества должна быть либо подобна геометрии множества без структуры, либо множество должно по существу нести структуру векторного пространства или структуру алгебраически замкнутого поля, причем первые два случая называются локально модулярными. ^[26] Эта гипотеза иллюстрирует две центральные темы. Во-первых, что (локальная) модулярность служит для разделения комбинаторного или линейного поведения от нелинейной, геометрической сложности, как в алгебраической геометрии . ^[27] Во-вторых, что сложная комбинаторная геометрия обязательно происходит из алгебраических объектов; ^[28] это похоже на классическую задачу нахождения координатного кольца для абстрактной проективной плоскости, определяемой инцидентностями, и дальнейшими примерами являются теоремы о конфигурации группы, показывающие, что определенные комбинаторные зависимости между элементами должны возникать из умножения в определимой группе. ^[29] Разрабатывая аналоги частей алгебраической геометрии в строго минимальных множествах, таких как теория пересечений , Зильбер доказал слабую форму гипотезы трихотомии для несчетно категоричных теорий. ^[30] Хотя Эхуд Грушовский разработал конструкцию Грушовского , чтобы опровергнуть полную гипотезу, она была позже доказана с дополнительными гипотезами в рамках «геометрий Зариского». ^[31]

Понятия из программы классификации Шелаха, такие как регулярные типы, разветвление и ортогональность, позволили довести эти идеи до большей общности, особенно в суперстабильных теориях. Здесь множества, определяемые регулярными типами, играют роль строго минимальных множеств, с их локальной геометрией, определяемой зависимостью разветвления, а не алгебраической зависимостью. Вместо единственного строго минимального множества, контролирующего модели полностью категоричной теории, может быть много таких локальных геометрий, определяемых регулярными типами, и ортогональность описывает, когда эти типы не взаимодействуют. ^[32]

Приложения

Хотя стабильные теории являются фундаментальными в теории моделей, в этом разделе перечислены приложения стабильных теорий к другим областям математики. Этот список не претендует на полноту, а скорее на широту охвата.

• Поскольку теория дифференциально замкнутых полей характеристики 0 является -устойчивой, существует множество приложений теории устойчивости в дифференциальной алгебре . Например, существование и единственность дифференциального замыкания такого поля (аналог алгебраического замыкания) были доказаны Ленор Блюм и Шелахом соответственно, используя общие результаты о простых моделях в -устойчивых теориях. ^[33] ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$

• В диофантовой геометрии Эхуд Хрушовский использовал геометрическую теорию устойчивости для доказательства гипотезы Морделла-Лэнга для полей функций во всех характеристиках, которая обобщает теорему Фалтингса о подсчете рациональных точек на кривых и гипотезу Манина-Мамфорда о подсчете точек кручения на кривых. ^[34] Ключевым моментом в доказательстве было использование трихотомии Зильбера в дифференциальных полях для того, чтобы показать, что некоторые арифметически определенные группы являются локально модулярными. ^[35]

• В машинном обучении онлайн размерность Littlestone концептуального класса является мерой сложности, характеризующей обучаемость, аналогичной VC-размерности в обучении PAC . Ограничение размерности Littlestone концептуального класса эквивалентно комбинаторной характеристике стабильности, включающей двоичные деревья. ^[36] Эта эквивалентность использовалась, например, для доказательства того, что обучаемость онлайн концептуального класса эквивалентна дифференциально частной обучаемости PAC. ^[37]

• В функциональном анализе Жан-Луи Кривин и Бернар Морей определили понятие стабильности для банаховых пространств , эквивалентное утверждению, что никакая формула без кванторов не имеет свойства порядка (в непрерывной логике, а не в логике первого порядка). Затем они показали, что каждое стабильное банахово пространство допускает почти изометрическое вложение ℓ p для некоторого . ^[38] Это часть более широкого взаимодействия между функциональным анализом и стабильностью в непрерывной логике; например, ранние результаты Александра Гротендика в функциональном анализе можно интерпретировать как эквивалентные фундаментальным результатам теории стабильности. ^[39] ${\displaystyle p\in [1,\infty )}$

• Счетная (возможно, конечная) структура является ультраоднородной , если каждый конечный частичный автоморфизм продолжается до автоморфизма полной структуры. Грегори Черлин и Алистер Лаклан предложили общую теорию классификации для устойчивых ультраоднородных структур, включая все конечные. В частности, их результаты показывают, что для любого фиксированного конечного реляционного языка конечные однородные структуры распадаются на конечное число бесконечных семейств с членами, параметризованными числовыми инвариантами, и конечное число спорадических примеров. Более того, каждый спорадический пример становится частью бесконечного семейства в некотором более богатом языке, и новые спорадические примеры всегда появляются в соответственно более богатых языках. ^[40]

• В арифметической комбинаторике Хрушовский доказал результаты о структуре приближенных подгрупп , например, подразумевая усиленную версию теоремы Громова о группах полиномиального роста . Хотя это напрямую не использовало стабильные теории, ключевое понимание состояло в том, что фундаментальные результаты из стабильной теории групп могут быть обобщены и применены в этой обстановке. ^[41] Это напрямую привело к теореме Брейяра-Грина-Тао, классифицирующей приближенные подгруппы. ^[42]

Обобщения

В течение примерно двадцати лет после своего появления устойчивость была основным предметом чистой теории моделей. ^[43] Центральное направление современной чистой теории моделей, иногда называемое «неостабильностью» или «теорией классификации», ^[e] состоит в обобщении концепций и методов, разработанных для стабильных теорий, на более широкие классы теорий, и это послужило основой для многих более поздних приложений теории моделей. ^[44]

Два примечательных примера таких более широких классов — простые и NIP-теории. Это ортогональные обобщения стабильных теорий, поскольку теория является одновременно простой и NIP, если и только если она стабильна. ^[43] Грубо говоря, NIP-теории сохраняют хорошее комбинаторное поведение стабильных теорий, в то время как простые теории сохраняют хорошее геометрическое поведение неразветвленной независимости. ^[45] В частности, простые теории можно охарактеризовать симметричностью неразветвленной независимости, ^[46] в то время как NIP можно охарактеризовать ограничением числа типов, реализуемых либо на конечных ^[47] , либо на бесконечных ^[48] множествах.

Другим направлением обобщения является повторение теории классификации за пределами установки полных теорий первого порядка, например, в абстрактных элементарных классах . ^[49]

Смотрите также

• Спектр стабильности
• Спектр теории
• Теорема категоричности Морли
• теории НПВ

Примечания

1. Одним из таких результатов является доказательство Шелахом гипотезы Морли для счетных теорий, утверждающее, что число моделей мощности не уменьшается для несчетных теорий . ^[4] ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$
2. В работе над гипотезой Лоса, предшествовавшей доказательству Морли, Анджей Эренфойхт ввел свойство, немного более сильное, чем свойство порядка, которое Шелах позже назвал свойством (E). Это был еще один предшественник (не)стабильных теорий. ^[10]
3. Одним из преимуществ определения стабильности через свойство порядка является то, что оно более четко является абсолютным с теоретико-множественной точки зрения . ^[11]
4. В этом контексте вместо термина «матроид» часто используется термин « прегеометрия ».
5. Термин «теория классификации» имеет два применения. Узкое применение, описанное ранее, относится к программе Шелаха по выявлению классифицируемых теорий и имеет место почти исключительно в пределах стабильных теорий. Более широкое применение, описанное здесь, относится к более обширной программе классификации теорий путем разделения линий, возможно, более общих, чем стабильность. ^[11]

Ссылки

1. Болдуин, Джон (2021). «Методология разделительной линии: теория моделей, мотивирующая теорию множеств» (PDF) . Theoria . 87 (2): 1. doi :10.1111/theo.12297. S2CID  211239082.
2. Ван ден Дрис, Лу (2005). "Введение в модельно-теоретическую устойчивость" (PDF) . Введение . Получено 9 января 2023 г. .
3. Pillay, Anand (1983). "Предисловие". Введение в теорию устойчивости .
4. Болдуин, Джон (2021). «Методология разделительной линии: теория моделей, мотивирующая теорию множеств» (PDF) . Theoria . 87 (2). Раздел 1.1. doi :10.1111/theo.12297. S2CID  211239082.
5. Маркер, Дэвид (2006). Теория моделей: Введение . Определение 4.2.17.
6. Маркер, Дэвид (2006). Теория моделей: Введение . Определение 5.3.1.
7. Тент, Катрин; Циглер, Мартин (2012). Курс теории моделей . Теорема 8.6.5.
8. Тент, Катрин; Циглер, Мартин (2012). Курс теории моделей . Определение 8.2.1.
9. Тент, Катрин; Циглер, Мартин (2012). Курс теории моделей . Упражнение 8.2.1.
10. Шелах, Сахарон (1974). "Категоричность несчетных теорий" (PDF) . Труды симпозиума Тарского .
11. Hodges, Wilfrid. "Теория моделей первого порядка". Стэнфордская энциклопедия философии . Раздел 5.1 . Получено 9 января 2023 г.
12. Казановас, Энрике. "Стабильные и простые теории (Конспект лекций)" (PDF) . Предложение 6.6 . Получено 11 января 2023 г.
13. Тент, Катрин; Циглер, Мартин (2012). Курс теории моделей . Теорема 8.5.10.
14. Тент, Катрин; Циглер, Мартин (2012). Курс теории моделей . Глава 8.2.
15. Болдуин, Джон (2017). Основы теории устойчивости. Глава 3.1.
16. Маркер, Дэвид (2006). Теория моделей: Введение . Пример 4.1.12.
17. Маркер, Дэвид (2006). Теория моделей: Введение . Лемма 5.2.12.
18. Тент, Катрин; Циглер, Мартин (2012). Курс теории моделей . Упражнение 8.2.3.
19. Маркер, Дэвид (2006). Теория моделей: Введение . Пример 4.1.14.
20. Тент, Катрин; Циглер, Мартин (2012). Курс теории моделей . Пример 8.6.6.
21. Sela, Zlil (2013). «Диофантова геометрия над группами VIII: Устойчивость» (PDF) . Annals of Mathematics . 177 (3): 787–868. doi :10.4007/annals.2013.177.3.1. S2CID  119143329.
22. Шелах, Сахарон (1973). «Дифференциально замкнутые поля» (PDF) . Israel Journal of Mathematics . 16 (3): 314–328. doi : 10.1007/BF02756711 . S2CID  119906669.
23. Адлер, Ганс; Адлер, Изольда (2014). «Интерпретация нигде не плотных классов графов как классического понятия теории моделей». Европейский журнал комбинаторики . 36 : 322–330. doi : 10.1016/j.ejc.2013.06.048 .
24. Пиллэй, Ананд (2001). «Аспекты теории геометрических моделей». Logic Colloquium '99 .
25. Пиллэй, Ананд (1996). Геометрическая теория устойчивости . стр. 343.
26. Скэнлон, Томас. "Гипотеза Зильбера о трихотомии" . Получено 27 января 2023 г.
27. Хрушовски, Эхуд (1998). «Теория геометрических моделей». Труды Международного конгресса математиков. Т. 1 .
28. Скэнлон, Томас. "Комбинаторная геометрическая устойчивость" . Получено 27 января 2023 г.
29. Бен-Яаков, Итай; Томашич, Иван; Вагнер, Франк (2002). «Групповая конфигурация в простых теориях и ее приложения» (PDF) . 8 . 2 .
30. Скэнлон, Томас. "Теорема Зильбера о трихотомии" . Получено 27 января 2023 г.
31. Скэнлон, Томас. "Комбинаторная геометрическая устойчивость" . Получено 27 января 2023 г.
32. Пиллэй, Ананд (2001). «Аспекты теории геометрических моделей». Logic Colloquium '99 .
33. Сакс, Джеральд (1972). «Дифференциальное замыкание дифференциального поля» (PDF) . Бюллетень Американского математического общества . 78 (5): 629–634. doi :10.1090/S0002-9904-1972-12969-0. S2CID  17860378.
34. Хрушовски, Эхуд (1996). "Гипотеза Морделла-Лэнга для функциональных полей" (PDF) . Журнал Американского математического общества . 9 (3): 667–690. doi :10.1090/S0894-0347-96-00202-0.
35. Скэнлон, Томас. "Mordell-Lang and variations" . Получено 27 января 2023 г. .
36. Чейз, Хантер; Фрейтаг, Джеймс (2019). «Теория моделей и машинное обучение». Бюллетень символической логики . 25 (3): 319–332. arXiv : 1801.06566 . doi : 10.1017/bsl.2018.71. S2CID  119689419.
37. Алон, Нога; Бан, Марк; Ливни, Рой; Маллиарис, Марианте; Моран, Шей (2022). «Частная и онлайн-обучаемость эквивалентны» (PDF) . Журнал ACM . 69 (4): 1–34. doi :10.1145/3526074. S2CID  247186721.
38. Иовино, Хосе (2014). Приложения теории моделей к функциональному анализу (PDF) . Главы 13,15.
39. Бен Яаков, Итай (2014). «Теоретическая устойчивость моделей и определимость типов по А. Гротендику». Бюллетень символической логики . 20 (4). arXiv : 1306.5852 .
40. Черлин, Грегори (2000). "Спорадические однородные структуры" (PDF) . Математические семинары Гельфанда, 1996--1999 .
41. Хрушовски, Эхуд (2012). "Стабильная теория групп и приближенные подгруппы" (PDF) . Журнал Американского математического общества . 25 (1).
42. Брейяр, Эммануэль; Грин, Бен; Тао, Теренс (2012). «Структура приближенных групп» (PDF) . Математические публикации IHÉS . 116 . Благодарности. arXiv : 1110.5008 . дои : 10.1007/s10240-012-0043-9. S2CID  254166823.
43. Simon, Pierre (2015). "Введение". Руководство по теориям NIP (PDF) .
44. Харт, Брэдд; Хрушовски, Эхуд; Онсхьюс, Альф; Пиллэй, Ананд; Скэнлон, Томас; Вагнер, Франк. «Теория неостабильности» (PDF) .
45. Адлер, Ганс (2008). "Введение в теории без свойства независимости" (PDF) . Архив для Mathematical Logic . 5 : 21.
46. Ким, Бёнган (2001). «Простота и стабильность там». Журнал символической логики . 66 (2): 822–836. doi :10.2307/2695047. JSTOR  2695047. S2CID  7033889.
47. Черников, Артем; Саймон, Пьер (2015). "Внешне определимые множества и зависимые пары II" (PDF) . Труды Американского математического общества . 367 (7). Факт 3. doi :10.1090/S0002-9947-2015-06210-2. S2CID  53968137.
48. Саймон, Пьер (2015). Руководство по теориям NIP (PDF) . Предложение 2.69.
49. Шелах, Сахарон (2009). Теория классификации для абстрактных элементарных классов, том 1 (PDF) .

Внешние ссылки

• Карта модельно-теоретической классификации теорий, подчеркивающая устойчивость
• Два обзора книг, обсуждающих теорию устойчивости и классификации для немодельных теоретиков: Основы теории устойчивости и Теория классификации
• Обзор (геометрической) теории устойчивости для теоретиков, не являющихся моделями