Наивная теория множеств (книга)

Учебник математики 1960 года, автор Пол Халмос

См. также Наивную теорию множеств по математической теме.

«Наивная теория множеств» —учебник по математике Пола Халмоса, дающий введение в теорию множеств для студентов . ^[1] Первоначально опубликованный Ван Нострандом в 1960 году, ^[2] он был переиздан в серии «Математические тексты для студентов» издательства Springer-Verlag в 1974 году. ^[3]

Хотя в названии указано, что представленная теория множеств «наивна», что обычно подразумевает отсутствие формальных аксиом , книга вводит систему аксиом, эквивалентную системе аксиом теории множеств ZFC, за исключением аксиомы основания . Она также дает правильные и строгие определения для многих основных понятий. ^{[2] [4]} Отличие от «истинной» книги по аксиоматической теории множеств заключается в ее характере: в ней нет обсуждений аксиоматических мелочей, и почти ничего нет о сложных темах, таких как большие кардиналы или форсинг . Вместо этого она пытается быть понятной тому, кто никогда раньше не задумывался о теории множеств.

Халмош позже заявил, что это была самая быстро написанная им книга, на которую ушло около шести месяцев, и что книга «написалась сама собой» ^{[5] .}

Аксиомы, используемые в книге

Ниже приведены утверждения аксиом, как они представлены в книге, со ссылками на разделы и пояснительными комментариями по каждой из них. «Основное примитивное (неопределенное) понятие принадлежности » (то есть членство во множестве ) является отправной точкой, где « принадлежит к » записывается в обычной нотации как . Здесь и являются обоими множествами, причем различие в обозначениях верхнего/нижнего регистра является чисто стилистическим выбором. Аксиомы управляют свойствами этого отношения между множествами. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x\in A}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$

1. Аксиома расширения (раздел 1): два множества равны тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же элементов .

Это гарантирует, что отношения членства и (логического) равенства взаимодействуют надлежащим образом.

2. Аксиома спецификации (Раздел 2): Каждому множеству и каждому условию соответствует множество , элементами которого являются именно те элементы, для которых выполняется . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S(x)}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S(x)}$

Это, скорее, схема аксиом (то есть каждое условие порождает аксиому). «Условие» здесь означает «предложение», в котором переменная (пробегающая по всем множествам) является свободной переменной . «Предложения» определяются как построенные из меньших предложений с использованием логических операций первого порядка ( и , или , не ), включая квантификаторы (« существует », « для всех »), и с атомарными (т.е. базовыми исходными) предложениями и . ${\displaystyle S(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\in A}$ ${\displaystyle A=B}$

Эта схема используется в 4.-7. ниже, чтобы сократить множество, которое, как утверждается, существует, до множества, содержащего именно предполагаемые элементы, а не некоторого большего множества с посторонними элементами. Например, аксиома спаривания применяется к множествам и гарантирует только то, что существует некоторое множество , такое что и . Спецификацию можно использовать для того, чтобы затем построить множество только с этими элементами. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\in X}$ ${\displaystyle B\in X}$ ${\displaystyle \{A,B\}}$

3. Существование множества (Раздел 3): существует множество.

Не указано как именованная аксиома, но вместо этого указано как "официально предполагаемое". Это предположение не является необходимым, поскольку позже принимается аксиома бесконечности, которая также определяет существование множества (с определенным свойством). Существование любого множества вообще используется для того, чтобы показать, что существует пустое множество , используя аксиому спецификации.

4. Аксиома сопряжения (раздел 3): Для любых двух множеств существует множество, которому они оба принадлежат.

Это используется для демонстрации того, что существует синглтон , содержащий заданный набор . ${\displaystyle \{A\}}$ ${\displaystyle A}$

5. Аксиома объединений (раздел 4): Для каждой совокупности множеств существует множество, содержащее все элементы, принадлежащие хотя бы одному множеству данной совокупности.

В разделе 1 Халмош пишет, что «чтобы избежать терминологического однообразия, мы иногда будем говорить «коллекция» вместо «множество». Следовательно, эта аксиома эквивалентна обычной форме аксиомы объединений (с учетом аксиомы спецификации, как отмечено выше).

На основе имеющихся аксиом Халмош дает конструкцию пересечений множеств , а также описывает обычные булевы операции над множествами и доказывает их свойства.

6. Аксиома степеней (раздел 5): Для каждого множества существует совокупность множеств, содержащая среди своих элементов все подмножества данного множества.

Опять же (отметим, что «коллекция» означает «множество»), используя аксиому (схему) спецификации, мы можем сократить, чтобы получить множество мощности множества , элементы которого являются в точности подмножествами . До сих пор аксиомы использовались для построения декартова произведения множеств. ${\displaystyle P(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

7. Аксиома бесконечности (раздел 11): существует множество, содержащее 0 и содержащее последователя каждого из его элементов.

Множество . Последователь множества определяется как множество . Например: . Эта аксиома гарантирует существование множества, содержащего и, следовательно , и, следовательно , и так далее. Это подразумевает, что существует множество, содержащее все элементы первого бесконечного ординала фон Неймана . И еще одно применение аксиомы (схемы) спецификации означает, что само является множеством. ${\displaystyle 0:=\emptyset }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x^{+}:=x\cup \{x\}}$ ${\displaystyle \{a,b\}^{+}=\{a,b,\{a,b\}\}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle \{0,\{0\}\}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$

8. Аксиома выбора (раздел 15): Декартово произведение непустого семейства непустых множеств непусто.

Это один из многих эквивалентов аксиомы выбора . Обратите внимание, что «семейство» определяется как функция , с интуитивной идеей, что множества семейства являются множествами для ранжирования по множеству , и в обычной нотации эта аксиома говорит, что существует по крайней мере один элемент в , при условии, что для всех . ${\displaystyle f\colon I\to X}$ ${\displaystyle f(i)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \prod _{i\in I}f(i)}$ ${\displaystyle f(i)\neq \emptyset }$ ${\displaystyle i\in I\neq \emptyset }$

9. Аксиома подстановки (Раздел 19): Если есть предложение такое, что для каждого из множества можно сформировать множество , то существует функция с областью определения такой, что для каждого из . ${\displaystyle S(a,b)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \{b:S(a,b)\}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F(a)=\{b:S(a,b)\}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle A}$

Функция определяется как функциональное отношение (т.е. определенное подмножество ), а не как определенный тип набора упорядоченных пар , как, например, в ZFC. ${\displaystyle F\colon A\to X}$ ${\displaystyle A\times X}$

Эта «аксиома» по сути является схемой аксиом коллекции , которая, учитывая другие аксиомы, эквивалентна схеме аксиом замены . Это схема коллекции, а не замены, поскольку 1) это отношение класса , а не функция класса и 2) функция не указана как имеющая область значений именно множества , а просто некоторого множества . ${\displaystyle S(a,b)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \{F(a):a\in A\}}$ ${\displaystyle X\supseteq \{F(a):a\in A\}}$

Эта аксиома используется в книге для а) построения предельных ординалов фон Неймана после первого бесконечного ординала и б) доказательства того, что каждое вполне упорядоченное множество порядково изоморфно уникальному ординалу фон Неймана. ${\displaystyle \omega }$

Связь с другими системами аксиом теории множеств

Обратите внимание, что аксиомы 1.-9. эквивалентны системе аксиом ZFC-Foundation (то есть ZFC без аксиомы Foundation), поскольку, как отмечено выше, аксиома (схема) подстановки Халмоша эквивалентна схеме аксиом подстановки при наличии других аксиом.

Кроме того, аксиомы 1.-8. почти в точности соответствуют аксиомам теории множеств Цермело ZC; единственное отличие состоит в том, что предположение о существовании множества заменяется в ZC существованием пустого множества, а существование синглтонов прямо утверждается для ZC, а не доказывается, как выше. Кроме того, бесконечное множество, существование которого утверждается аксиомой бесконечности, не является тем, которое Цермело изначально постулировал ^[a] , но версия Халмоша иногда молчаливо заменяет его в трактовках теории множеств Цермело.

То, что аксиома (схема) подстановки изложена последней и так поздно в книге, является свидетельством того, насколько элементарная теория множеств — и, в действительности, математика в целом — может обойтись без нее . Как очень простой пример того, для чего это необходимо , ординал фон Неймана (то есть второй предельный ординал) не может быть доказан как множество, используя только аксиомы 1.-8., хотя множества с хорошими порядками с этим типом порядка могут быть построены из этих аксиом. Например , с порядком, помещающим все элементы первой копии меньше, чем вторая. Работа с ординалами фон Неймана вместо общих хороших порядков имеет технические преимущества, не в последнюю очередь тот факт, что каждый хороший порядок является порядком изоморфным уникальному ординалу фон Неймана. ${\displaystyle \omega +\omega }$ ${\displaystyle \omega \times \{1\}\cup \omega \times \{2\}}$ ${\displaystyle \omega }$

Как отмечено выше, в книге отсутствует Аксиома Основания (также известная как Аксиома Регулярности). Халмос неоднократно колеблется вокруг вопроса о том, может ли множество содержать само себя.

• стр. 1: «множество может быть также элементом некоторого другого множества» (выделено мной)
• стр. 3: « верно ли это когда-либо? Это определенно неверно для любого разумного множества, которое кто-либо когда-либо видел». ${\displaystyle A\in A}$
• стр. 6: « ... маловероятно, но не очевидно невозможно» ${\displaystyle B\in B}$

Но Халмос позволяет нам доказать, что существуют определенные множества, которые не могут содержать сами себя.

• стр. 44: Халмош позволяет нам доказать, что . Ибо если , то все равно будет множеством-последователем, поскольку и не является множеством-последователем никакого натурального числа. Но не является подмножеством , что противоречит определению как подмножества каждого множества-последователя. ${\displaystyle \omega \not \in \omega }$ ${\displaystyle \omega \in \omega }$ ${\displaystyle \omega \setminus \{\omega \}}$ ${\displaystyle \omega \not =\emptyset }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega \setminus \{\omega \}}$ ${\displaystyle \omega }$
• стр. 47: Халмош доказывает лемму о том, что «никакое натуральное число не является подмножеством любого из своих элементов». Это позволяет нам доказать, что никакое натуральное число не может содержать само себя. Ибо если , где — натуральное число, то , что противоречит лемме. ${\displaystyle n\in n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\subset n\in n}$
• стр. 75: " Порядковое число определяется как вполне упорядоченное множество , такое что для всех в ; здесь , как и прежде, начальный сегмент }". Хорошо упорядоченное число определяется следующим образом: если и являются элементами порядкового числа , то означает (стр. 75-76). Выбрав символ вместо , Халмош подразумевает, что хорошо упорядоченное число является строгим (стр. 55-56). Это определение делает невозможным наличие , где является элементом порядкового числа. Это потому , что означает , что подразумевает (потому что < является строгим), что невозможно. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle s(\xi )=\xi }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle s(\xi )}$ ${\displaystyle \{\eta \in \alpha :}$ ${\displaystyle \eta <\xi }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \xi <\eta }$ ${\displaystyle \xi \in \eta }$ ${\displaystyle <}$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle <}$ ${\displaystyle <}$ ${\displaystyle \xi \in \xi }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \xi \in \xi }$ ${\displaystyle \xi <\xi }$ ${\displaystyle \xi \not =\xi }$
• стр. 75: приведенное выше определение порядкового числа также делает невозможным наличие , где — порядковое число. Это потому, что подразумевает . Это дает нам , что подразумевает , что подразумевает (потому что является строгим), что невозможно. ${\displaystyle \alpha \in \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha \in \alpha }$ ${\displaystyle \alpha =s(\alpha )}$ ${\displaystyle \alpha \in \alpha =s(\alpha )=\{\eta \in \alpha :\eta <\alpha \}}$ ${\displaystyle \alpha <\alpha }$ ${\displaystyle \alpha \not =\alpha }$ ${\displaystyle <}$

Опечатки

• стр. 4, строка 18: «Каин и Авель» следует заменить на «Сиф, Каин и Авель».
• стр. 30, строка 10: « на » следует заменить на « в ». ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$
• стр. 66, строка 16: «Рассмотрим, например, множество всех тех пар , для которых ; множество имеет своим наименьшим элементом.»: утверждение неверно, поскольку . На самом деле . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle (1,1)\leq (a,b)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle (1,1)}$ ${\displaystyle (2,2)\leq (1,1)}$ ${\displaystyle (2\times 2+1)\times 2^{1}=10\leq (2\times 1+1)\times 2^{2}=12}$
• стр. 73, строка 19: «для каждого в » следует заменить на «для каждого в ». ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle X}$
• стр. 75, строка 3: «тогда и только тогда, когда » следует заменить на «тогда и только тогда, когда ». ${\displaystyle x\in F(n)}$ ${\displaystyle x=\{b:S(n,b)\}}$
• стр., 100, строка 11: «then » следует заменить на «then ». ${\displaystyle \mathrm {card} \ X\sim \mathrm {card} \ Y}$ ${\displaystyle \mathrm {card} \ X=\mathrm {card} \ Y}$

Смотрите также

• Список важных публикаций по математике

Примечания

[a] - Фактически, учитывая остальные аксиомы, ни исходная аксиома бесконечности Цермело, ни аксиома бесконечности Халмоша не могут быть доказаны из другой, ^[6] даже если добавить аксиому основания. То есть, нельзя построить бесконечное множество, которое аксиома Халмоша утверждает, что существует, из бесконечного множества, которое исходные аксиомы Цермело утверждают, что существует, и наоборот. С другой стороны, схема аксиом Замещения позволяет построить любое из этих бесконечных множеств из другого.

Библиография

• Halmos, Paul , Naive Set Theory . Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Перепечатано Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN  0-387-90092-6 (издание Springer-Verlag). Перепечатано Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (издание в мягкой обложке); переиздание Dover 2017 ISBN 9780486814872 ; doi : 10.1007/978-1-4757-1645-0.  

Ссылки

1. Обзор наивной теории множеств Х. Миркила (апрель 1961 г.), American Mathematical Monthly 68 (4): 392, doi :10.2307/2311615.
2. Обзор наивной теории множеств , Л. Ригер, MR 0114756.
3. Халмош, Пол (1974). Наивная теория множеств . Бакалаврские тексты по математике. Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4757-1645-0. ISBN 978-0-387-90092-6. МР  0453532.
4. Обзор наивной теории множеств , Альфонс Боргерс (июль 1969 г.), Журнал символической логики 34 (2): 308, doi :10.2307/2271138.
5. Юинг, Джон Х.; Геринг, Фредерик У., ред. (1991), Пол Халмош: празднование 50-летия математики, Springer-Verlag , Интервью Халмоша с Дональдом Дж. Альберсом, стр. 16, ISBN 0-387-97509-8.
6. Драббе, Жан (20 января 1969 г.). «Аксиомы бесконечности в теории ансамблей без аксиомы подстановки». Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris . 268 : 137–138 . Проверено 8 сентября 2024 г.