Карта Кодаира–Спенсер

В математике отображение Кодаиры –Спенсера , введенное Кунихико Кодаирой и Дональдом С. Спенсером , представляет собой отображение, связанное с деформацией схемы или комплексного многообразия X , переводящее касательное пространство точки пространства деформации в первую группу когомологий пучка векторных полей на  X.

Определение

Историческая мотивация

Отображение Кодаиры–Спенсера изначально было построено в условиях комплексных многообразий. При наличии комплексного аналитического многообразия с картами и биголоморфными картами, отправляющими склеивание карт вместе, идея теории деформации состоит в том, чтобы заменить эти отображения перехода параметризованными отображениями перехода над некоторой базой (которая может быть действительным многообразием) с координатами , такими что . Это означает, что параметры деформируют комплексную структуру исходного комплексного многообразия . Затем эти функции должны также удовлетворять условию коцикла, которое дает 1-коцикл на со значениями в его касательном расслоении. Поскольку база может быть предположена как полидиск, этот процесс дает отображение между касательным пространством базы и , называемое отображением Кодаиры–Спенсера. ^[1] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle f_{jk}}$ ${\displaystyle z_{k}\to z_{j}=(z_{j}^{1},\ldots ,z_{j}^{n})}$ ${\displaystyle f_{jk}(z_{k})}$ ${\displaystyle f_{jk}(z_{k},t_{1},\ldots ,t_{k})}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{k}}$ ${\displaystyle f_{jk}(z_{k},0,\ldots ,0)=f_{jk}(z_{k})}$ ${\displaystyle t_{i}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle H^{1}(M,T_{M})}$

Исходное определение

Более формально, отображение Кодаиры–Спенсера выглядит следующим образом ^[2]

${\displaystyle KS:T_{0}B\to H^{1}(M,T_{M})}$

где

• ${\displaystyle {\mathcal {M}}\to B}$является гладким собственным отображением между комплексными пространствами ^[3] (т.е. деформацией специального слоя ). ${\displaystyle M={\mathcal {M}}_{0}}$
• ${\displaystyle KS}$— это связывающий гомоморфизм, полученный путем взятия длинной точной когомологической последовательности сюръекции, ядром которой является касательное расслоение . ${\displaystyle T{\mathcal {M}}|_{M}\to T_{0}B\otimes {\mathcal {O}}_{M}}$ ${\displaystyle T_{M}}$

Если находится в , то его образ называется классом Кодаиры–Спенсера . ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle T_{0}B}$ ${\displaystyle KS(v)}$ ${\displaystyle v}$

Замечания

Поскольку теория деформаций была распространена на множество других контекстов, таких как деформации в теории схем или кольцевые топосы , существуют конструкции карты Кодаиры–Спенсера для этих контекстов.

В теории схем над базовым полем характеристики существует естественная биекция между классами изоморфизмов и . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {\mathcal {X}}\to S=\operatorname {Spec} (k[t]/t^{2})}$ ${\displaystyle H^{1}(X,TX)}$

Конструкции

Использование бесконечно малых величин

Условие коцикла для деформаций

Над характеристикой построение отображения Кодаиры–Спенсера ^[4] может быть выполнено с использованием инфинитезимальной интерпретации условия коцикла. Если у нас есть комплексное многообразие, покрытое конечным числом карт с координатами и функциями перехода ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in I}}$ ${\displaystyle z_{\alpha }=(z_{\alpha }^{1},\ldots ,z_{\alpha }^{n})}$

${\displaystyle f_{\beta \alpha }:U_{\beta }|_{U_{\alpha \beta }}\to U_{\alpha }|_{U_{\alpha \beta }}}$где ${\displaystyle f_{\alpha \beta }(z_{\beta })=z_{\alpha }}$

Напомним, что деформация задается коммутативной диаграммой

${\displaystyle {\begin{matrix}X&\to &{\mathfrak {X}}\\\downarrow &&\downarrow \\{\text{Spec}}(\mathbb {C} )&\to &{\text{Spec}}(\mathbb {C} [\varepsilon ])\end{matrix}}}$

где — кольцо дуальных чисел , а вертикальные отображения плоские, деформация имеет когомологическую интерпретацию как коциклы на , где ${\displaystyle \mathbb {C} [\varepsilon ]}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}_{\alpha \beta }(z_{\beta },\varepsilon )}$ ${\displaystyle U_{\alpha }\times {\text{Spec}}(\mathbb {C} [\varepsilon ])}$

${\displaystyle z_{\alpha }={\tilde {f}}_{\alpha \beta }(z_{\beta },\varepsilon )=f_{\alpha \beta }(z_{\beta })+\varepsilon b_{\alpha \beta }(z_{\beta })}$

Если удовлетворяют условию коцикла, то они приклеиваются к деформации . Это можно прочитать как ${\displaystyle {\tilde {f}}_{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {f}}_{\alpha \gamma }(z_{\gamma },\varepsilon )={}&{\tilde {f}}_{\alpha \beta }({\tilde {f}}_{\beta \gamma }(z_{\gamma },\varepsilon ),\varepsilon )\\={}&f_{\alpha \beta }(f_{\beta \gamma }(z_{\gamma })+\varepsilon b_{\beta \gamma }(z_{\gamma }))\\&+\varepsilon b_{\alpha \beta }(f_{\beta \gamma }(z_{\gamma })+\varepsilon b_{\beta \gamma }(z_{\gamma }))\end{aligned}}}$

Используя свойства двойственных чисел, а именно , имеем ${\displaystyle g(a+b\varepsilon )=g(a)+\varepsilon g'(a)b}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{\alpha \beta }(f_{\beta \gamma }(z_{\gamma })+\varepsilon b_{\beta \gamma }(z_{\gamma }))&=f_{\alpha \beta }(f_{\beta \gamma }(z_{\gamma }))+\varepsilon {\frac {\partial f_{\alpha \beta }}{\partial z_{\alpha }}}(z_{\alpha })b_{\beta _{\gamma }}(z_{\gamma })\\\end{aligned}}}$

и

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon b_{\alpha \beta }(f_{\beta \gamma }(z_{\gamma })+\varepsilon b_{\beta \gamma }(z_{\gamma }))&=\varepsilon b_{\alpha \beta }(f_{\beta \gamma }(z_{\gamma }))+\varepsilon ^{2}{\frac {\partial b_{\alpha \beta }}{\partial z_{\alpha }}}(z_{\alpha })b_{\beta _{\gamma }}(z_{\gamma })\\&=\varepsilon b_{\alpha \beta }(f_{\beta \gamma }(z_{\gamma }))\\&=\varepsilon b_{\alpha \beta }(z_{\beta })\end{aligned}}}$

следовательно, условие коцикла — это следующие два правила ${\displaystyle U_{\alpha }\times {\text{Spec}}(\mathbb {C} [\varepsilon ])}$

1. ${\displaystyle b_{\alpha \gamma }={\frac {\partial f_{\alpha \beta }}{\partial z_{\beta }}}b_{\beta \gamma }+b_{\alpha \beta }}$
2. ${\displaystyle f_{\alpha \gamma }=f_{\alpha \beta }\circ f_{\beta \gamma }}$

Преобразование в коциклы векторных полей

Коцикл деформации можно легко преобразовать в коцикл векторных полей следующим образом: учитывая коцикл, мы можем образовать векторное поле ${\displaystyle \theta =\{\theta _{\alpha \beta }\}\in C^{1}({\mathcal {U}},T_{X})}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}_{\alpha \beta }=f_{\alpha \beta }+\varepsilon b_{\alpha \beta }}$

${\displaystyle \theta _{\alpha \beta }=\sum _{i=1}^{n}b_{\alpha \beta }^{i}{\frac {\partial }{\partial z_{\alpha }^{i}}}}$

который является 1-коцепью. Тогда правило для карт перехода дает эту 1-коцепь как 1-коцикл, следовательно, класс . ${\displaystyle b_{\alpha \gamma }}$ ${\displaystyle [\theta ]\in H^{1}(X,T_{X})}$

Использование векторных полей

Одна из исходных конструкций этой карты использовала векторные поля в настройках дифференциальной геометрии и комплексного анализа. ^[1] Учитывая обозначения выше, переход от деформации к условию коцикла прозрачен над малой базой размерности один, поэтому есть только один параметр . Тогда условие коцикла можно прочитать как ${\displaystyle t}$

${\displaystyle f_{ik}^{\alpha }(z_{k},t)=f_{ij}^{\alpha }(f_{kj}^{1}(z_{k},t),\ldots ,f_{kj}^{n}(z_{k},t),t)}$

Тогда производную по можно вычислить из предыдущего уравнения как ${\displaystyle f_{ik}^{\alpha }(z_{k},t)}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial f_{ik}^{\alpha }(z_{k},t)}{\partial t}}&={\frac {\partial f_{ij}^{\alpha }(z_{j},t)}{\partial t}}+\sum _{\beta =0}^{n}{\frac {\partial f_{ij}^{\alpha }(z_{j},t)}{\partial f_{jk}^{\beta }(z_{k},t)}}\cdot {\frac {\partial f_{jk}^{\beta }(z_{k},t)}{\partial t}}\\\end{aligned}}}$

Обратите внимание, поскольку и , то производная имеет вид ${\displaystyle z_{j}^{\beta }=f_{jk}^{\beta }(z_{k},t)}$ ${\displaystyle z_{i}^{\alpha }=f_{ij}^{\alpha }(z_{j},t)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial f_{ik}^{\alpha }(z_{k},t)}{\partial t}}&={\frac {\partial f_{ij}^{\alpha }(z_{j},t)}{\partial t}}+\sum _{\beta =0}^{n}{\frac {\partial z_{i}^{\alpha }}{\partial z_{j}^{\beta }}}\cdot {\frac {\partial f_{jk}^{\beta }(z_{k},t)}{\partial t}}\\\end{aligned}}}$

При изменении координат части предыдущего голоморфного векторного поля, имеющего эти частные производные в качестве коэффициентов, можно записать

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z_{j}^{\beta }}}=\sum _{\alpha =1}^{n}{\frac {\partial z_{i}^{\alpha }}{\partial z_{j}^{\beta }}}\cdot {\frac {\partial }{\partial z_{i}^{\alpha }}}}$

Следовательно, мы можем записать приведенное выше уравнение как следующее уравнение векторных полей:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{\alpha =0}^{n}{\frac {\partial f_{ik}^{\alpha }(z_{k},t)}{\partial t}}{\frac {\partial }{\partial z_{i}^{\alpha }}}=&\sum _{\alpha =0}^{n}{\frac {\partial f_{ij}^{\alpha }(z_{j},t)}{\partial t}}{\frac {\partial }{\partial z_{i}^{\alpha }}}\\&+\sum _{\beta =0}^{n}{\frac {\partial f_{jk}^{\beta }(z_{k},t)}{\partial t}}{\frac {\partial }{\partial z_{j}^{\beta }}}\\\end{aligned}}}$

Переписываем это как векторные поля

${\displaystyle \theta _{ik}(t)=\theta _{ij}(t)+\theta _{jk}(t)}$

где

${\displaystyle \theta _{ij}(t)={\frac {\partial f_{ij}^{\alpha }(z_{j},t)}{\partial t}}{\frac {\partial }{\partial z_{i}^{\alpha }}}}$

дает условие коцикла. Следовательно, имеет ассоциированный класс в из исходной деформации . ${\displaystyle \theta _{ij}}$ ${\displaystyle [\theta _{ij}]\in H^{1}(M,T_{M})}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}_{ij}}$ ${\displaystyle f_{ij}}$

В теории схем

Деформации гладкого многообразия ^[5]

${\displaystyle {\begin{matrix}X&\to &{\mathfrak {X}}\\\downarrow &&\downarrow \\{\text{Spec}}(k)&\to &{\text{Spec}}(k[\varepsilon ])\end{matrix}}}$

имеют класс Кодаиры-Спенсера, построенный когомологически. С этой деформацией связана короткая точная последовательность

${\displaystyle 0\to \pi ^{*}\Omega _{{\text{Spec}}(k[\varepsilon ])}^{1}\to \Omega _{\mathfrak {X}}^{1}\to \Omega _{{\mathfrak {X}}/S}^{1}\to 0}$

(где ) который при тензорировании по -модулю дает короткую точную последовательность ${\displaystyle \pi :{\mathfrak {X}}\to {\text{Spec}}(k[\varepsilon ])}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}\to \Omega _{\mathfrak {X}}^{1}\otimes {\mathcal {O}}_{X}\to \Omega _{X}^{1}\to 0}$

Используя производные категории , это определяет элемент в

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {R} {\text{Hom}}(\Omega _{X}^{1},{\mathcal {O}}_{X}[+1])&\cong \mathbf {R} {\text{Hom}}({\mathcal {O}}_{X},T_{X}[+1])\\&\cong {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}}_{X},T_{X})\\&\cong H^{1}(X,T_{X})\end{aligned}}}$

обобщение отображения Кодаиры–Спенсера. Обратите внимание, что это может быть обобщено на любое гладкое отображение с использованием последовательности котангенса, давая элемент в . ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle {\text{Sch}}/S}$ ${\displaystyle H^{1}(X,T_{X/Y}\otimes f^{*}(\Omega _{Y/Z}^{1}))}$

Из кольцевых топосов

Одна из самых абстрактных конструкций карт Кодаиры–Спенсера исходит из котангенсивных комплексов, связанных с композицией карт кольцевых топосов.

${\displaystyle X\xrightarrow {f} Y\to Z}$

Затем, к этой композиции присоединяется выдающийся треугольник

${\displaystyle f^{*}\mathbf {L} _{Y/Z}\to \mathbf {L} _{X/Z}\to \mathbf {L} _{X/Y}\xrightarrow {[+1]} }$

и это граничное отображение образует отображение Кодаиры–Спенсера ^[6] (или класс когомологий, обозначаемый ). Если два отображения в композиции являются гладкими отображениями схем, то этот класс совпадает с классом в . ${\displaystyle K(X/Y/Z)}$ ${\displaystyle H^{1}(X,T_{X/Y}\otimes f^{*}(\Omega _{Y/Z}^{1}))}$

Примеры

С аналитическими микробами

Отображение Кодаиры–Спенсера при рассмотрении аналитических ростков легко вычисляется с использованием касательных когомологий в теории деформаций и ее версальных деформаций. ^[7] Например, если задан росток многочлена , его пространство деформаций может быть задано модулем ${\displaystyle f(z_{1},\ldots ,z_{n})\in \mathbb {C} \{z_{1},\ldots ,z_{n}\}=H}$

${\displaystyle T^{1}={\frac {H}{df\cdot H^{n}}}}$

Например, если тогда его версальные деформации задаются как ${\displaystyle f=y^{2}-x^{3}}$

${\displaystyle T^{1}={\frac {\mathbb {C} \{x,y\}}{(y,x^{2})}}}$

следовательно, произвольная деформация задается как . Тогда для вектора , имеющего основу ${\displaystyle F(x,y,a_{1},a_{2})=y^{2}-x^{3}+a_{1}+a_{2}x}$ ${\displaystyle v\in T_{0}(\mathbb {C} ^{2})}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial a_{1}}},{\frac {\partial }{\partial a_{2}}}}$

там карта отправляет ${\displaystyle KS:v\mapsto v(F)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi _{1}{\frac {\partial }{\partial a_{1}}}+\phi _{2}{\frac {\partial }{\partial a_{2}}}\mapsto &\phi _{1}{\frac {\partial F}{\partial a_{1}}}+\phi _{2}{\frac {\partial F}{\partial a_{2}}}\\&=\phi _{1}+\phi _{2}\cdot x\end{aligned}}}$

Об аффинных гиперповерхностях с котангенсивным комплексом

Для аффинной гиперповерхности над полем, определяемым полиномом , существует соответствующий фундаментальный треугольник ${\displaystyle i:X_{0}\hookrightarrow \mathbb {A} ^{n}\to {\text{Spec}}(k)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle i^{*}\mathbf {L} _{\mathbb {A} ^{n}/{\text{Spec}}(k)}\to \mathbf {L} _{X_{0}/{\text{Spec}}(k)}\to \mathbf {L} _{X_{0}/\mathbb {A} ^{n}}\xrightarrow {[+1]} }$

Затем, применение дает длинную точную последовательность ${\displaystyle \mathbf {RHom} (-,{\mathcal {O}}_{X_{0}})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\textbf {RHom}}(i^{*}\mathbf {L} _{\mathbb {A} ^{n}/{\text{Spec}}(k)},{\mathcal {O}}_{X_{0}}[+1])\leftarrow {\textbf {RHom}}(\mathbf {L} _{X_{0}/{\text{Spec}}(k)},{\mathcal {O}}_{X_{0}}[+1])\leftarrow {\textbf {RHom}}(\mathbf {L} _{X_{0}/\mathbb {A} ^{n}},{\mathcal {O}}_{X_{0}}[+1])\\\leftarrow &{\textbf {RHom}}(i^{*}\mathbf {L} _{\mathbb {A} ^{n}/{\text{Spec}}(k)},{\mathcal {O}}_{X_{0}})\leftarrow {\textbf {RHom}}(\mathbf {L} _{X_{0}/{\text{Spec}}(k)},{\mathcal {O}}_{X_{0}})\leftarrow {\textbf {RHom}}(\mathbf {L} _{X_{0}/\mathbb {A} ^{n}},{\mathcal {O}}_{X_{0}})\end{aligned}}}$

Напомним, что существует изоморфизм

${\displaystyle {\textbf {RHom}}(\mathbf {L} _{X_{0}/{\text{Spec}}(k)},{\mathcal {O}}_{X_{0}}[+1])\cong {\text{Ext}}^{1}(\mathbf {L} _{X_{0}/{\text{Spec}}(k)},{\mathcal {O}}_{X_{0}})}$

из общей теории производных категорий, а группа ext классифицирует деформации первого порядка. Затем, посредством ряда редукций, эта группа может быть вычислена. Во-первых, поскольку является свободным модулем , . Кроме того, поскольку , существуют изоморфизмы ${\displaystyle \mathbf {L} _{\mathbb {A} ^{n}/{\text{Spec}}(k)}\cong \Omega _{\mathbb {A} ^{n}/{\text{Spec}}(k)}^{1}}$ ${\displaystyle {\textbf {RHom}}(i^{*}\mathbf {L} _{\mathbb {A} ^{n}/{\text{Spec}}(k)},{\mathcal {O}}_{X_{0}}[+1])=0}$ ${\displaystyle \mathbf {L} _{X_{0}/\mathbb {A} ^{n}}\cong {\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}[+1]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\textbf {RHom}}(\mathbf {L} _{X_{0}/\mathbb {A} ^{n}},{\mathcal {O}}_{X_{0}}[+1])\cong &{\textbf {RHom}}({\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}[+1],{\mathcal {O}}_{X_{0}}[+1])\\\cong &{\textbf {RHom}}({\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2},{\mathcal {O}}_{X_{0}})\\\cong &{\text{Ext}}^{0}({\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2},{\mathcal {O}}_{X_{0}})\\\cong &{\text{Hom}}({\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2},{\mathcal {O}}_{X_{0}})\\\cong &{\mathcal {O}}_{X_{0}}\end{aligned}}}$

Последний изоморфизм происходит из изоморфизма и морфизма в ${\displaystyle {\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}\cong {\mathcal {I}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{\mathbb {A} ^{n}}}{\mathcal {O}}_{X_{0}}}$

${\displaystyle {\text{Hom}}_{{\mathcal {O}}_{X_{0}}}({\mathcal {I}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{\mathbb {A} ^{n}}}{\mathcal {O}}_{X_{0}},{\mathcal {O}}_{X_{0}})}$ отправлять ${\displaystyle [gf]\mapsto g'g+(f)}$

давая желаемый изоморфизм. Из последовательности котангенса

${\displaystyle {\frac {(f)}{(f)^{2}}}\xrightarrow {[g]\mapsto dg\otimes 1} \Omega _{\mathbb {A} ^{n}}^{1}\otimes {\mathcal {O}}_{X_{0}}\to \Omega _{X_{0}/{\text{Spec}}(k)}^{1}\to 0}$

(который является усеченной версией фундаментального треугольника) связующее отображение длинной точной последовательности является двойственным к , что дает изоморфизм ${\displaystyle [g]\mapsto dg\otimes 1}$

${\displaystyle {\text{Ext}}^{1}(\mathbf {L} _{X_{0}/k},{\mathcal {O}}_{X_{0}})\cong {\frac {k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}{\left(f,{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right)}}}$

Обратите внимание, что это вычисление можно выполнить, используя последовательность котангенсов и вычислив . ^[8] Затем отображение Кодаиры–Спенсера посылает деформацию ${\displaystyle {\text{Ext}}^{1}(\Omega _{X_{0}}^{1},{\mathcal {O}}_{X_{0}})}$

${\displaystyle {\frac {k[\varepsilon ][x_{1},\ldots ,x_{n}]}{f+\varepsilon g}}}$

к элементу . ${\displaystyle g\in {\text{Ext}}^{1}(\mathbf {L} _{X_{0}/k},{\mathcal {O}}_{X_{0}})}$

Смотрите также

• Комплексный котангенс
• Теорема Шлезингера
• характеристическая линейная система алгебраического семейства кривых
• Связь Гаусса–Манина
• Производная категория
• Ext-функтор

Ссылки

1. Kodaira (2005). Комплексные многообразия и деформация комплексных структур . Классика математики. стр. 182–184, 188–189. doi :10.1007/b138372. ISBN 978-3-540-22614-7.
2. Хейбрехтс 2005, 6.2.6.
3. Главное различие между комплексным многообразием и комплексным пространством заключается в том, что последнее может иметь нильпотент.
4. Арбарелло; Корнальба; Гриффитс (2011). Геометрия алгебраических кривых II. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Арбарелло, Э. И др.: Алгебраические кривые I, II. Спрингер. стр. 172–174. ISBN 9783540426882.
5. Sernesi. "Обзор классической теории деформаций" (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 2020-04-27.
6. Иллюзия, Л. Комплексный котангенс; применение к теории деформаций (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 2020-11-25 . Получено 2020-04-27 .
7. Паламодов (1990). "Деформации комплексных пространств". Несколько комплексных переменных IV . Энциклопедия математических наук. Т. 10. С. 138, 130. doi :10.1007/978-3-642-61263-3_3. ISBN 978-3-642-64766-6.
8. Talpo, Mattia; Vistoli, Angelo (2011-01-30). «Теория деформации с точки зрения волокнистых категорий». стр. 25, упражнение 3.25. arXiv : 1006.0497 [math.AG].

• Хайбрехтс, Дэниел (2005). Сложная геометрия: Введение . Спрингер. ISBN 3-540-21290-6.
• Кодайра, Кунихико (1986), Комплексные многообразия и деформация комплексных структур, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Фундаментальные принципы математических наук], том. 283, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN. 978-0-387-96188-0, МР  0815922
• Пост на Mathoverflow, связывающий деформации с якобиевым кольцом.