теория возмущений к·п

Модель физики твердого тела

В физике твердого тела теория возмущений k·p представляет собой приближенный полуэмпирический подход для расчета зонной структуры (в частности, эффективной массы ) и оптических свойств кристаллических твердых тел. ^{[1] [2] [3]} Она произносится как «k dot p» и также называется « методом k·p ». Эта теория была применена конкретно в рамках модели Латтинжера–Кона (в честь Хоакина Маздака Латтинжера и Уолтера Кона ) и модели Кейна (в честь Эвана О. Кейна ).

Предыстория и происхождение

Теорема Блоха и волновые векторы

Согласно квантовой механике (в одноэлектронном приближении ), квазисвободные электроны в любом твердом теле характеризуются волновыми функциями , которые являются собственными состояниями следующего стационарного уравнения Шредингера :

${\displaystyle \left({\frac {p^{2}}{2m}}+V\right)\psi =E\psi }$

где p — квантово-механический оператор импульса , V — потенциал , а m — вакуумная масса электрона. (Это уравнение не учитывает спин-орбитальный эффект ; см. ниже.)

В кристаллическом теле V является периодической функцией с той же периодичностью, что и кристаллическая решетка . Теорема Блоха доказывает, что решения этого дифференциального уравнения можно записать следующим образом:

${\displaystyle \psi _{n,\mathbf {k} }(\mathbf {x} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{n,\mathbf {k} }(\mathbf {x} )}$

где k — вектор (называемый волновым вектором ), n — дискретный индекс (называемый индексом зоны ), а u _{n , k} — функция с той же периодичностью, что и кристаллическая решетка.

Для любого заданного n ассоциированные состояния называются полосой . В каждой полосе будет существовать соотношение между волновым вектором k и энергией состояния En _{, k} , называемое дисперсией полосы . Вычисление этой дисперсии является одним из основных приложений теории _{возмущений} k · p .

Теория возмущений

Периодическая функция u _{n , k} удовлетворяет следующему уравнению типа Шредингера (просто прямому разложению уравнения Шредингера с волновой функцией типа Блоха): ^[1]

${\displaystyle H_{\mathbf {k} }u_{n,\mathbf {k} }=E_{n,\mathbf {k} }u_{n,\mathbf {k} }}$

где гамильтониан равен

${\displaystyle H_{\mathbf {k} }={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {\hbar \mathbf {k} \cdot \mathbf {p} }{m}}+{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}+V}$

Обратите внимание, что k — это вектор, состоящий из трех действительных чисел с размерностями обратной длины , тогда как p — это вектор операторов; если говорить точнее,

${\displaystyle \mathbf {k} \cdot \mathbf {p} =k_{x}(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}})+k_{y}(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}})+k_{z}(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}})}$

В любом случае мы записываем этот гамильтониан как сумму двух членов:

${\displaystyle H_{\mathbf {k} }=H_{0}+H_{\mathbf {k} }',\;\;H_{0}={\frac {p^{2}}{2m}}+V,\;\;H_{\mathbf {k} }'={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}+{\frac {\hbar \mathbf {k} \cdot \mathbf {p} }{m}}}$

Это выражение является основой теории возмущений . «Невозмущенный гамильтониан» — это H ₀ , который фактически равен точному гамильтониану при k  = 0 (т. е. в точке гамма ). «Возмущение» — это член . Полученный анализ называется « теорией возмущений k·p » из- _за члена, пропорционального k·p . Результатом этого анализа является выражение для En _{, k} и u _{n , k} в терминах энергий и волновых функций при k  = 0. ${\displaystyle H_{\mathbf {k} }'}$

Обратите внимание, что термин «возмущение» постепенно уменьшается по мере того, как k приближается к нулю. Поэтому теория возмущений k·p наиболее точна для малых значений k . Однако, если в пертурбативное разложение включено достаточно членов , то теория может быть фактически достаточно точной для любого значения k во всей зоне Бриллюэна . ${\displaystyle H_{\mathbf {k} }'}$

Выражение для невырожденной полосы

Для невырожденной зоны (т.е. зоны, которая имеет энергию, отличную от энергии  любой другой зоны при k = 0), с экстремумом при k  = 0 и без спин-орбитальной связи , результат теории возмущений k · p имеет вид (в низшем нетривиальном порядке ): ^[1]

${\displaystyle u_{n,\mathbf {k} }=u_{n,0}+{\frac {\hbar }{m}}\sum _{n'\neq n}{\frac {\langle u_{n',0}|\mathbf {k} \cdot \mathbf {p} |u_{n,0}\rangle }{E_{n,0}-E_{n',0}}}u_{n',0}}$

${\displaystyle E_{n,\mathbf {k} }=E_{n,0}+{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}+{\frac {\hbar ^{2}}{m^{2}}}\sum _{n'\neq n}{\frac {|\langle u_{n,0}|\mathbf {k} \cdot \mathbf {p} |u_{n',0}\rangle |^{2}}{E_{n,0}-E_{n',0}}}}$

Поскольку k — вектор действительных чисел (а не вектор более сложных линейных операторов), матричный элемент в этих выражениях можно переписать как:

${\displaystyle \langle u_{n,0}|\mathbf {k} \cdot \mathbf {p} |u_{n',0}\rangle =\mathbf {k} \cdot \langle u_{n,0}|\mathbf {p} |u_{n',0}\rangle }$

Таким образом, можно рассчитать энергию при любом k , используя всего несколько неизвестных параметров, а именно E _{n ,0} и . Последние называются «оптическими матричными элементами», тесно связанными с переходными дипольными моментами . Эти параметры обычно выводятся из экспериментальных данных. ${\displaystyle \langle u_{n,0}|\mathbf {p} |u_{n',0}\rangle }$

На практике сумма по n часто включает только ближайшие одну или две полосы, поскольку они, как правило, наиболее важны (из-за знаменателя). Однако для повышения точности, особенно при больших k , необходимо включить больше полос, а также больше членов в пертурбативном разложении, чем те, что записаны выше.

Эффективная масса

Используя приведенное выше выражение для соотношения дисперсии энергии, можно найти упрощенное выражение для эффективной массы в зоне проводимости полупроводника. ^[3] Чтобы аппроксимировать соотношение дисперсии в случае зоны проводимости, возьмите энергию E _n0 как минимальную энергию зоны проводимости E _c0 и включите в суммирование только члены с энергиями вблизи максимума валентной зоны, где разность энергий в знаменателе наименьшая. (Эти члены вносят наибольший вклад в суммирование.) Затем этот знаменатель аппроксимируется как ширина запрещенной зоны E _g , что приводит к выражению энергии:

${\displaystyle E_{c}({\boldsymbol {k}})\approx E_{c0}+{\frac {(\hbar k)^{2}}{2m}}+{\frac {\hbar ^{2}}{{E_{g}}m^{2}}}\sum _{n}{|\langle u_{c,0}|\mathbf {k} \cdot \mathbf {p} |u_{n,0}\rangle |^{2}}}$

Тогда эффективная масса в направлении ℓ равна:

${\displaystyle {\frac {1}{{m}_{\ell }}}={{1} \over {\hbar ^{2}}}\sum _{m}\cdot {{\partial ^{2}E_{c}({\boldsymbol {k}})} \over {\partial k_{\ell }\partial k_{m}}}\approx {\frac {1}{m}}+{\frac {2}{E_{g}m^{2}}}\sum _{m,\ n}{\langle u_{c,0}|p_{\ell }|u_{n,0}\rangle }{\langle u_{n,0}|p_{m}|u_{c,0}\rangle }}$

Игнорируя детали матричных элементов, ключевыми следствиями являются то, что эффективная масса изменяется с наименьшей шириной запрещенной зоны и стремится к нулю, когда щель стремится к нулю. ^[3] Полезное приближение для матричных элементов в прямозонных полупроводниках выглядит следующим образом: ^[4]

${\displaystyle {\frac {2}{E_{g}m^{2}}}\sum _{m,\ n}{|\langle u_{c,0}|p_{\ell }|u_{n,0}\rangle |}{|\langle u_{c,0}|p_{m}|u_{n,0}\rangle |}\approx 20\mathrm {eV} {\frac {1}{mE_{g}}}\ ,}$

что применимо в пределах около 15% или лучше для большинства полупроводников группы IV, III-V и II-VI. ^[5]

В отличие от этого простого приближения, в случае энергии валентной зоны необходимо ввести спин-орбитальное взаимодействие (см. ниже) и индивидуально рассмотреть еще много зон. Расчет приведен в работе Ю и Кардоны . ^[6] В валентной зоне подвижными носителями являются дырки . Обнаружено, что существуют два типа дырок, называемые тяжелыми и легкими , с анизотропными массами.

модель k·p со спин-орбитальным взаимодействием

Включая спин-орбитальное взаимодействие , уравнение Шредингера для u имеет вид: ^[2]

${\displaystyle H_{\mathbf {k} }u_{n,\mathbf {k} }=E_{n,\mathbf {k} }u_{n,\mathbf {k} }}$

где ^[7]

${\displaystyle H_{\mathbf {k} }={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {\hbar }{m}}\mathbf {k} \cdot \mathbf {p} +{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}+V+{\frac {\hbar }{4m^{2}c^{2}}}(\nabla V\times (\mathbf {p} +\hbar \mathbf {k} ))\cdot {\vec {\sigma }}}$

где — вектор, состоящий из трех матриц Паули . Этот гамильтониан можно подвергнуть тому же виду анализа теории возмущений, что и выше. ${\displaystyle {\vec {\sigma }}=(\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})}$

Расчет в вырожденном случае

Для вырожденных или почти вырожденных зон, в частности валентных зон в некоторых материалах, таких как арсенид галлия , уравнения могут быть проанализированы методами вырожденной теории возмущений . ^{[1] [2]} Модели этого типа включают « модель Латтинжера–Кона » (также известную как «модель Кона–Латтинжера»), ^[8] и « модель Кейна ». ^[7]

В общем случае вводится эффективный гамильтониан , и в первом порядке его матричные элементы могут быть выражены как ${\displaystyle H^{\rm {eff}}}$

${\displaystyle H_{\mathbf {k} ,mn}^{\rm {eff}}=\langle u_{m,0}|H_{0}|u_{n,0}\rangle +\mathbf {k} \cdot \langle u_{m,0}|\nabla _{\mathbf {k} }H_{\mathbf {k} }'|u_{n,0}\rangle }$

После решения получаются волновые функции и энергетические зоны.

Смотрите также

Примечания и ссылки

1. P. Yu, M. Cardona (2005). Основы полупроводников: физика и свойства материалов (3-е изд.). Springer . Раздел 2.6, стр. 68 и далее . ISBN 3-540-25470-6.
2. C. Kittel (1987). Квантовая теория твердых тел (Второе пересмотренное печатное издание). Нью-Йорк: Wiley . С. 186–190. ISBN 0-471-62412-8.
3. WP Harrison (1989) [1980]. Электронная структура и свойства твердых тел (переиздание). Dover Publications . стр. 158 и далее . ISBN 0-486-66021-4.
4. Прямозонный полупроводник — это полупроводник , в котором максимум валентной зоны и минимум зоны проводимости находятся в одном и том же положении в k -пространстве, обычно в так называемой Γ-точке, где k = 0.
5. См. таблицу 2.22 в Yu & Cardona, op. cit.
6. См. Ю и Кардона, op. цит. стр. 75–82
7. Эван О. Кейн (1957). "Зонная структура антимонида индия". Журнал физики и химии твердых тел . 1 (4): 249–261. Bibcode :1957JPCS....1..249K. doi :10.1016/0022-3697(57)90013-6.
8. JM Luttinger, W. Kohn (1955). «Движение электронов и дырок в возмущенных периодических полях». Physical Review . 97 (4): 869–883. Bibcode : 1955PhRv...97..869L. doi : 10.1103/PhysRev.97.869.