Уравнение ионизации Саха

Связь между состоянием ионизации газа и температурой и давлением

В физике уравнение ионизации Саха — это выражение, связывающее состояние ионизации газа в тепловом равновесии с температурой и давлением. ^{[1] [2]} Уравнение является результатом объединения идей квантовой механики и статистической механики и используется для объяснения спектральной классификации звезд. Выражение было разработано физиком Мегнад Саха в 1920 году. ^{[3] [4]} Оно обсуждается во многих учебниках по статистической физике и физике плазмы. ^[5]

Описание

Для газа при достаточно высокой температуре (здесь измеряемой в единицах энергии, т. е. кэВ или Дж) и/или плотности тепловые столкновения атомов будут ионизировать некоторые атомы, создавая ионизированный газ. Когда несколько или более электронов, которые обычно связаны с атомом на орбитах вокруг атомного ядра, освобождаются, они образуют независимое облако электронного газа, сосуществующее с окружающим газом атомных ионов и нейтральных атомов. При достаточной ионизации газ может перейти в состояние вещества, называемое плазмой .

Уравнение Саха описывает степень ионизации любого газа в тепловом равновесии как функцию температуры, плотности и энергии ионизации атомов. Уравнение Саха справедливо только для слабоионизированной плазмы, для которой длина Дебая мала. Это означает, что экранирование кулоновского взаимодействия ионов и электронов другими ионами и электронами пренебрежимо мало. Последующее понижение потенциалов ионизации и «обрезка» статистической суммы , следовательно, также пренебрежимо мало.

Для газа, состоящего из одного вида атомов, уравнение Саха записывается так: где: $${\displaystyle {\frac {n_{i+1}n_{\text{e}}}{n_{i}}}={\frac {2}{\lambda _{\text{th}}^{3}}}{\frac {g_{i+1}}{g_{i}}}\exp \left[-{\frac {(\varepsilon _{i+1}-\varepsilon _{i})}{k_{\text{B}}T}}\right]}$$

• ${\displaystyle n_{i}}$— плотность атомов в i- м состоянии ионизации, то есть при удалении i электронов.
• ${\displaystyle g_{i}}$вырождение состояний для i -ионов
• ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$это энергия, необходимая для удаления i электронов из нейтрального атома, создавая ион i -го уровня.
• ${\displaystyle n_{\text{e}}}$это электронная плотность
• ${\displaystyle k_{\text{B}}}$постоянная Больцмана
• ${\displaystyle \lambda _{\text{th}}}$это тепловая длина волны де Бройля электрона $${\displaystyle \lambda _{\text{th}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {h}{\sqrt {2\pi m_{\text{e}}k_{\text{B}}T}}}}$$
• ${\displaystyle m_{\text{e}}}$это масса электрона
• ${\displaystyle T}$это температура газа
• ${\displaystyle h}$постоянная Планка

Выражение представляет собой энергию, необходимую для удаления th электрона. В случае, когда важен только один уровень ионизации, мы имеем и определяем общую плотность n как , уравнение Саха упрощается до: где - энергия ионизации. Мы можем определить степень ионизации и найти ${\displaystyle (\varepsilon _{i+1}-\varepsilon _{i})}$ ${\displaystyle (i+1)}$ ${\displaystyle n_{1}=n_{\text{e}}}$ ${\displaystyle n=n_{0}+n_{1}}$ $${\displaystyle {\frac {n_{\text{e}}^{2}}{n-n_{\text{e}}}}={\frac {2}{\lambda _{\text{th}}^{3}}}{\frac {g_{1}}{g_{0}}}\exp \left[{\frac {-\varepsilon }{k_{\text{B}}T}}\right]}$$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle x=n_{1}/n}$ $${\displaystyle {\frac {x^{2}}{1-x}}=A={\frac {2}{n\lambda _{\text{th}}^{3}}}{\frac {g_{1}}{g_{0}}}\exp \left[{\frac {-\varepsilon }{k_{\text{B}}T}}\right]}$$

Это дает квадратное уравнение, которое можно решить в замкнутой форме: $${\displaystyle x^{2}+Ax-A=0}$$

При малых , , так что ионизация уменьшается с плотностью. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x\approx A^{1/2}\propto n^{-1/2}}$

В качестве простого примера представьте себе газ из одноатомных атомов водорода, положим и пусть = ${\displaystyle g_{0}=g_{1}}$ ${\displaystyle \varepsilon }$13,6  эВ =158 000  К — энергия ионизации водорода из его основного состояния. Пусть = ${\displaystyle n}$2,69 × 10 ²⁵  м ⁻³ , что является постоянной Лошмидта или плотностью частиц земной атмосферы при стандартном давлении и температуре. При = ${\displaystyle T}$300 К , ионизация по существу отсутствует: = ${\displaystyle x}$5 × 10 ⁻¹¹⁵ и в объеме атмосферы Земли почти наверняка не будет ионизированных атомов. быстро увеличивается с, достигая 0,35 для = ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$20 000  K. Происходит существенная ионизация, хотя этонамного меньше энергии ионизации (хотя это зависит от плотности). Это обычное явление. Физически это происходит из-за того, что при данной температуре частицы имеют распределение энергий, включая некоторые с несколькими временами. Эти частицы с высокой энергией гораздо более эффективны при ионизации атомов. В атмосфере Земли ионизация на самом деле регулируется не уравнением Саха, а очень энергичными космическими лучами, в основном мюонами. Эти частицы не находятся в тепловом равновесии с атмосферой, поэтому они не находятся при ее температуре, и логика Саха неприменима. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$

Ионизация водорода по уравнению Саха в зависимости от температуры для трех значений общей плотности числа ионов (относительно постоянной Лошмидта ).

Плотность частиц

Уравнение Саха полезно для определения отношения плотностей частиц для двух различных уровней ионизации. Наиболее полезная форма уравнения Саха для этой цели — где Z обозначает функцию распределения . Уравнение Саха можно рассматривать как переформулировку условия равновесия для химических потенциалов : $${\displaystyle {\frac {Z_{i}}{N_{i}}}={\frac {Z_{i+1}Z_{e}}{N_{i+1}N_{e}}},}$$ $${\displaystyle \mu _{i}=\mu _{i+1}+\mu _{e}\,}$$

Это уравнение просто утверждает, что потенциал ионизации атома в состоянии ионизации i такой же, как потенциал ионизации электрона и атома в состоянии ионизации i + 1 ; потенциалы равны, поэтому система находится в равновесии и никакого чистого изменения ионизации не произойдет.

Звездные атмосферы

В начале двадцатых годов Ральф Х. Фаулер (в сотрудничестве с Чарльзом Гальтоном Дарвином ) разработал новый метод в статистической механике, позволяющий систематически рассчитывать равновесные свойства вещества. Он использовал его для строгого вывода формулы ионизации, которую получил Саха, распространив на ионизацию атомов теорему Якоба Генрикуса ван 'т Гоффа , используемую в физической химии для ее применения к молекулярной диссоциации. Кроме того, значительным улучшением уравнения Саха, введенного Фаулером, было включение эффекта возбужденных состояний атомов и ионов. Еще один важный шаг вперед был сделан в 1923 году, когда Эдвард Артур Милн и Р. Х. Фаулер опубликовали статью в Monthly Notices of the Royal Astronomical Society , в которой было показано, что критерий максимальной интенсивности линий поглощения (принадлежащих подчиненным сериям нейтрального атома) был гораздо более плодотворным в предоставлении информации о физических параметрах звездных атмосфер, чем критерий, используемый Саха, который состоял в пограничном появлении или исчезновении линий поглощения. Последний критерий требует некоторых знаний о соответствующих давлениях в звездных атмосферах, и Саха, следуя общепринятому в то время взгляду, принял значение порядка 1-0,1 атмосферы. Милн писал:

Саха сосредоточился на пограничных появлениях и исчезновениях линий поглощения в звездной последовательности, предположив порядок величины для давления в звездной атмосфере и рассчитав температуру, при которой, например, увеличивающаяся ионизация подавляла дальнейшее поглощение рассматриваемой линии из-за потери последовательного электрона. Когда Фаулер и я однажды топтались по моим комнатам в Тринити и обсуждали это, мне внезапно пришло в голову, что максимальная интенсивность бальмеровских линий водорода , например, легко объясняется тем соображением, что при более низких температурах слишком мало возбужденных атомов, чтобы дать заметное поглощение, в то время как при более высоких температурах остается слишком мало нейтральных атомов, чтобы дать какое-либо поглощение. ... Тем вечером я сделал поспешный расчет порядка величины эффекта и обнаружил, что для согласования с температурой 10000° [K] для звезд типа A0, где бальмеровские линии имеют свой максимум, требуется давление порядка 10−4 ^{атмосферы} . Это было очень волнительно, поскольку стандартные определения давления в звездных атмосферах по сдвигам и ширине линий должны были указывать на давление порядка одной атмосферы или более, а я по другим причинам начал этому не верить. ^[6]

Общепринятая точка зрения в то время предполагала, что состав звезд подобен земному. Однако в 1925 году Сесилия Пейн использовала теорию ионизации Сахи, чтобы вычислить, что состав звездных атмосфер такой, каким мы его знаем сейчас; в основном водород и гелий, что расширило наши знания о звездах. ^[7]

Звездные короны

Равновесие Саха преобладает, когда плазма находится в локальном термодинамическом равновесии , что не имеет места в оптически тонкой короне . Здесь равновесные состояния ионизации должны быть оценены путем детального статистического расчета скоростей столкновений и рекомбинации.

Ранняя вселенная

Равновесная ионизация, описываемая уравнением Саха, объясняет эволюцию в ранней Вселенной. После Большого взрыва все атомы были ионизированы, оставив в основном протоны и электроны. Согласно подходу Саха, когда Вселенная расширилась и остыла так, что температура достигла примерно3000 K электроны рекомбинировали с протонами, образуя атомы водорода . В этот момент вселенная стала прозрачной для большей части электромагнитного излучения. ЭтоПоверхность с температурой 3000 К , смещенная в красную сторону примерно в 1000 раз, генерирует космическое микроволновое фоновое излучение с температурой 3 К , которое пронизывает всю Вселенную сегодня.

Ссылки

1. Александр А. Фридман (2008). Плазменная химия . Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press . С. 94. ISBN 978-0-521-84735-3.
2. Чен, Фрэнсис Ф. (2016). Введение в физику плазмы и управляемый термоядерный синтез. стр. 2. Bibcode :2016ippc.book.....C. doi :10.1007/978-3-319-22309-4. ISBN 978-3-319-22309-4.
3. Саха, Мег Над (1920). «LIII.Ионизация в солнечной хромосфере». Философский журнал . Серия 6. 40 (238): 472–488. дои : 10.1080/14786441008636148.
4. Saha, MN (1921). «О физической теории звездных спектров». Труды Королевского общества A: Математические, физические и инженерные науки . 99 (697): 135–153. Bibcode :1921RSPSA..99..135S. doi : 10.1098/rspa.1921.0029 .
5. Дрейк, Р. Пол (2018), Дрейк, Р. Пол (ред.), «Свойства плазмы высокой плотности энергии», Физика высокой плотности энергии: основы инерциального синтеза и экспериментальной астрофизики , Cham: Springer International Publishing, стр. 51–114, doi :10.1007/978-3-319-67711-8_3, ISBN 978-3-319-67711-8, получено 2024-06-24
6. «Биографические мемуары: Мегнад Саха».
7. Стивен Сотер и Нил Деграсс Тайсон (2000). «Сесилия Пейн и состав звезд». Американский музей естественной истории .

Внешние ссылки

• Вывод и обсуждение Хейла Брадта
• Подробный вывод от физического факультета Университета штата Юта
• Конспект лекций кафедры астрономии Мэрилендского университета