Теория пластичности течения

Пластическая деформация тонкого металлического листа.

Теория пластичности течения — это теория механики твердого тела , которая используется для описания пластического поведения материалов. ^[1] Теории пластичности течения характеризуются предположением о существовании правила течения, которое можно использовать для определения величины пластической деформации в материале.

В теориях пластичности течения предполагается, что общая деформация тела может быть разложена аддитивно (или мультипликативно) на упругую часть и пластическую часть. Упругая часть деформации может быть вычислена из линейной упругой или гиперупругой конститутивной модели. Однако определение пластической части деформации требует правила течения и модели упрочнения.

Теория малых деформаций

Кривая зависимости деформации от напряжения, демонстрирующая типичное пластическое поведение материалов при одноосном сжатии. Деформацию можно разложить на восстанавливаемую упругую деформацию ( ) и неупругую деформацию ( ). Напряжение при начальном пределе текучести равно . Для материалов с деформационным упрочнением (как показано на рисунке) предел текучести увеличивается с увеличением пластической деформации до значения . ${\displaystyle \varepsilon _{e}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{p}}$ ${\displaystyle \sigma _{0}}$ ${\displaystyle \sigma _{y}}$

Типовые теории пластичности течения при однонаправленном нагружении (при малых деформациях идеальная пластичность или упрочняющая пластичность) разрабатываются на основе следующих требований:

1. Материал имеет линейный диапазон упругости.
2. Материал имеет предел упругости, определяемый как напряжение, при котором впервые происходит пластическая деформация, т. е . . ${\displaystyle \sigma =\sigma _{0}}$
3. За пределами упругости напряженное состояние всегда остается на поверхности текучести, т. е . . ${\displaystyle \sigma =\sigma _{y}}$
4. Нагрузка определяется как ситуация, при которой приращения напряжения больше нуля, т. е . . Если нагрузка переводит напряженное состояние в пластическую область, то приращение пластической деформации всегда больше нуля, т. е . . ${\displaystyle d\sigma >0}$ ${\displaystyle d\varepsilon _{p}>0}$
5. Разгрузка определяется как ситуация, при которой приращения напряжения меньше нуля, т. е . Материал остается эластичным во время разгрузки, и дополнительная пластическая деформация не накапливается. ${\displaystyle d\sigma <0}$
6. Полная деформация представляет собой линейную комбинацию упругой и пластической частей, т. е . Пластическая часть не может быть восстановлена, тогда как упругая часть полностью восстанавливается. ${\displaystyle d\varepsilon =d\varepsilon _{e}+d\varepsilon _{p}}$
7. Работа, совершаемая в цикле нагрузки-разгрузки, положительна или равна нулю, т. е . Это также называется постулатом устойчивости Друкера и исключает возможность поведения смягчения деформации. ${\displaystyle d\sigma \,d\varepsilon =d\sigma \,(d\varepsilon _{e}+d\varepsilon _{p})\geq 0}$

Вышеуказанные требования можно выразить в трехмерных напряженных состояниях и разнонаправленной нагрузке следующим образом.

• Упругость ( закон Гука ). В линейно-упругом режиме напряжения и деформации в материале связаны соотношением

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\mathsf {D}}:{\boldsymbol {\varepsilon }}}$

где матрица жесткости постоянна. ${\displaystyle {\mathsf {D}}}$

• Предел упругости ( поверхность текучести ). Предел упругости определяется поверхностью текучести, которая не зависит от пластической деформации и имеет вид

${\displaystyle f({\boldsymbol {\sigma }})=0\,.}$

• За пределами предела упругости . Для материалов с деформационным упрочнением поверхность текучести развивается с ростом пластической деформации, а предел упругости изменяется. Развивающаяся поверхность текучести имеет вид

${\displaystyle f({\boldsymbol {\sigma }},{\boldsymbol {\varepsilon }}_{p})=0\,.}$

• Нагрузка . Для общих напряженных состояний пластическая нагрузка указывается, если напряженное состояние находится на поверхности текучести, а приращение напряжения направлено к внешней стороне поверхности текучести; это происходит, если внутреннее произведение приращения напряжения и внешней нормали поверхности текучести положительно, т. е.

${\displaystyle d{\boldsymbol {\sigma }}:{\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\sigma }}}}\geq 0\,.}$

Приведенное выше уравнение, когда оно равно нулю, указывает на состояние нейтральной нагрузки , при котором напряженное состояние перемещается вдоль поверхности текучести.

• Разгрузка : Аналогичный аргумент выдвигается для разгрузки , при которой материал находится в упругой области, и ${\displaystyle f<0}$

${\displaystyle d{\boldsymbol {\sigma }}:{\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\sigma }}}}<0\,.}$

• Разложение деформации : Аддитивное разложение деформации на упругую и пластическую части можно записать как

${\displaystyle d{\boldsymbol {\varepsilon }}=d{\boldsymbol {\varepsilon }}_{e}+d{\boldsymbol {\varepsilon }}_{p}\,.}$

• Постулат устойчивости : Постулат устойчивости выражается как

${\displaystyle d{\boldsymbol {\sigma }}:d{\boldsymbol {\varepsilon }}\geq 0\,.}$

Правило потока

В пластичности металлов предположение о том, что приращение пластической деформации и тензор девиаторного напряжения имеют одни и те же главные направления, заключено в соотношении, называемом правилом потока. Теории пластичности горных пород также используют похожую концепцию, за исключением того, что требование зависимости поверхности текучести от давления требует ослабления вышеуказанного предположения. Вместо этого обычно предполагается, что приращение пластической деформации и нормаль к поверхности текучести, зависящей от давления, имеют одно и то же направление, т. е.

${\displaystyle d{\boldsymbol {\varepsilon }}_{p}=d\lambda \,{\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\sigma }}}}}$

где — параметр упрочнения. Эта форма правила течения называется ассоциированным правилом течения, а предположение о сонаправленности называется условием нормальности. Функция также называется пластическим потенциалом. ${\displaystyle d\lambda >0}$ ${\displaystyle f}$

Вышеуказанное правило потока легко обосновывается для идеально пластических деформаций, для которых при , т.е. поверхность текучести остается постоянной при увеличении пластической деформации. Это подразумевает, что приращение упругой деформации также равно нулю, , из-за закона Гука. Следовательно, ${\displaystyle d{\boldsymbol {\sigma }}=0}$ ${\displaystyle d{\boldsymbol {\varepsilon }}_{p}>0}$ ${\displaystyle d{\boldsymbol {\varepsilon }}_{e}=0}$

${\displaystyle d{\boldsymbol {\sigma }}:{\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\sigma }}}}=0\quad {\text{and}}\quad d{\boldsymbol {\sigma }}:d{\boldsymbol {\varepsilon }}_{p}=0\,.}$

Следовательно, как нормаль к поверхности текучести, так и тензор пластической деформации перпендикулярны тензору напряжений и должны иметь одинаковое направление.

Для материала, упрочняющегося при обработке , поверхность текучести может расширяться с ростом напряжения. Мы принимаем второй постулат устойчивости Друкера, который гласит, что для бесконечно малого цикла напряжения эта пластическая работа положительна, т.е.

${\displaystyle d{\boldsymbol {\sigma }}:d{\boldsymbol {\varepsilon }}_{p}\geq 0\,.}$

Вышеуказанная величина равна нулю для чисто упругих циклов. Исследование работы, выполненной за цикл пластической нагрузки-разгрузки, может быть использовано для обоснования справедливости соответствующего правила потока. ^[2]

Условие согласованности

Условие согласованности Прагера необходимо для замыкания набора конститутивных уравнений и исключения неизвестного параметра из системы уравнений. Условие согласованности утверждает, что при выход, поскольку , и, следовательно, ${\displaystyle d\lambda }$ ${\displaystyle df=0}$ ${\displaystyle f({\boldsymbol {\sigma }},{\boldsymbol {\varepsilon }}_{p})=0}$

${\displaystyle df={\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\sigma }}}}:d{\boldsymbol {\sigma }}+{\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\varepsilon }}_{p}}}:d{\boldsymbol {\varepsilon }}_{p}=0\,.}$

Теория больших деформаций

Теории пластичности при больших деформациях обычно начинаются с одного из следующих предположений:

• тензор скорости деформации можно аддитивно разложить на упругую часть и пластическую часть, или
• Тензор градиента деформации можно мультипликативно разложить на упругую часть и пластическую часть.

Первое предположение широко использовалось для численного моделирования металлов, но постепенно было вытеснено мультипликативной теорией.

Кинематика мультипликативной пластичности

Концепция мультипликативного разложения градиента деформации на упругую и пластическую части была впервые предложена независимо Б. А. Билби ^[3] , Э. Кренером ^[4] в контексте пластичности кристаллов и распространена на пластичность континуума Эразмом Ли ^[5] . Разложение предполагает, что полный градиент деформации ( F ) может быть разложен как:

${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {F}}^{e}\cdot {\boldsymbol {F}}^{p}}$

где F ^e — упругая (восстанавливаемая) часть, а F ^p — пластическая (невосстанавливаемая) часть деформации. Пространственный градиент скорости определяется как

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {l}}&={\dot {\boldsymbol {F}}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-1}=\left({\dot {\boldsymbol {F}}}^{e}\cdot {\boldsymbol {F}}^{p}+{\boldsymbol {F}}^{e}\cdot {\dot {\boldsymbol {F}}}^{p}\right)\cdot \left[({\boldsymbol {F}}^{p})^{-1}\cdot ({\boldsymbol {F}}^{e})^{-1}\right]\\&={\dot {\boldsymbol {F}}}^{e}\cdot ({\boldsymbol {F}}^{e})^{-1}+{\boldsymbol {F}}^{e}\cdot [{\dot {\boldsymbol {F}}}^{p}\cdot ({\boldsymbol {F}}^{p})^{-1}]\cdot ({\boldsymbol {F}}^{e})^{-1}\,.\end{aligned}}}$

где наложенная точка указывает на производную по времени. Мы можем записать вышесказанное как

${\displaystyle {\boldsymbol {l}}={\boldsymbol {l}}^{e}+{\boldsymbol {F}}^{e}\cdot {\boldsymbol {L}}^{p}\cdot ({\boldsymbol {F}}^{e})^{-1}\,.}$

Количество

${\displaystyle {\boldsymbol {L}}^{p}:={\dot {\boldsymbol {F}}}^{p}\cdot ({\boldsymbol {F}}^{p})^{-1}}$

называется пластическим градиентом скорости и определяется в промежуточной ( несовместимой ) конфигурации без напряжений. Симметричная часть ( D ^p ) L ^p называется пластической скоростью деформации , а кососимметричная часть ( W ^p ) называется пластическим спином :

${\displaystyle {\boldsymbol {D}}^{p}={\tfrac {1}{2}}[{\boldsymbol {L}}^{p}+({\boldsymbol {L}}^{p})^{T}]~,~~{\boldsymbol {W}}^{p}={\tfrac {1}{2}}[{\boldsymbol {L}}^{p}-({\boldsymbol {L}}^{p})^{T}]\,.}$

Обычно в большинстве описаний конечной пластичности пластическое вращение игнорируется.

Упругий режим

Упругое поведение в режиме конечной деформации обычно описывается гиперупругой моделью материала . Упругую деформацию можно измерить с помощью упругого правого тензора деформации Коши-Грина, определяемого как:

${\displaystyle {\boldsymbol {C}}^{e}:=({\boldsymbol {F}}^{e})^{T}\cdot {\boldsymbol {F}}^{e}\,.}$

Логарифмический тензор деформации или тензор деформации Генки может быть тогда определен как

${\displaystyle {\boldsymbol {E}}^{e}:={\tfrac {1}{2}}\ln {\boldsymbol {C}}^{e}\,.}$

Симметризированный тензор напряжений Манделя является удобной мерой напряжений для конечной пластичности и определяется как

${\displaystyle {\boldsymbol {M}}:={\tfrac {1}{2}}({\boldsymbol {C}}^{e}\cdot {\boldsymbol {S}}+{\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {C}}^{e})}$

где S — второе напряжение Пиолы-Кирхгофа . Возможная гиперупругая модель в терминах логарифмической деформации — ^[6]

${\displaystyle {\boldsymbol {M}}={\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {E}}^{e}}}=J\,{\frac {dU}{dJ}}+2\mu \,{\text{dev}}({\boldsymbol {E}}^{e})}$

где W — функция плотности энергии деформации, J = det( F ), μ — модуль, а «dev» указывает на девиаторную часть тензора.

Правило потока

Применение неравенства Клаузиуса-Дюгема приводит, при отсутствии пластического спина, к правилу течения при конечных деформациях

${\displaystyle {\boldsymbol {D}}^{p}={\dot {\lambda }}\,{\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {M}}}}\,.}$

Условия погрузки-выгрузки

Можно показать, что условия нагрузки-разгрузки эквивалентны условиям Каруша-Куна-Таккера.

${\displaystyle {\dot {\lambda }}\geq 0~,~~f\leq 0~,~~{\dot {\lambda }}\,f=0\,.}$

Условие согласованности

Условие согласованности идентично условию для случая малой деформации,

${\displaystyle {\dot {\lambda }}\,{\dot {f}}=0\,.}$

Ссылки

1. Люблинер, Якоб (2008), Теория пластичности , Courier Dover Publications.
2. Анандараджа (2010).
3. Билби, BA; Буллоу, Р.; Смит, Э. (1955), «Непрерывные распределения дислокаций: новое применение методов неримановой геометрии», Труды Королевского общества A , 231 (1185): 263–273, Bibcode : 1955RSPSA.231..263B, doi : 10.1098/rspa.1955.0171
4. Кренер, Э. (1958), "Continuumstheorie der Versetzungen und Eigenspannungen", Erg. Энджью. Математика. , 5 : 1–179
5. Ли, Э. Х. (1969), «Упруго-пластическая деформация при конечных напряжениях» (PDF) , Журнал прикладной механики , 36 (1): 1–6, Bibcode : 1969JAM....36....1L, doi : 10.1115/1.3564580^{[ постоянная мертвая ссылка ]}
6. Ананд, Л. (1979), «О приближенной функции деформации-энергии Х. Генки для умеренных деформаций», Журнал прикладной механики , 46 (1): 78–82, Bibcode : 1979JAM....46...78A, doi : 10.1115/1.3424532

Смотрите также

• Пластичность (физика)