Функция Ляпунова

Концепция анализа динамических систем

В теории обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) функции Ляпунова , названные в честь Александра Ляпунова , являются скалярными функциями, которые могут быть использованы для доказательства устойчивости равновесия ОДУ . Функции Ляпунова (также называемые вторым методом Ляпунова для устойчивости) важны для теории устойчивости динамических систем и теории управления . Подобная концепция появляется в теории общих цепей Маркова в пространстве состояний , обычно под названием функций Фостера–Ляпунова.

Для некоторых классов ОДУ существование функций Ляпунова является необходимым и достаточным условием устойчивости. В то время как не существует общей методики построения функций Ляпунова для ОДУ, во многих конкретных случаях построение функций Ляпунова известно. Например, квадратичные функции достаточны для систем с одним состоянием, решение конкретного линейного матричного неравенства дает функции Ляпунова для линейных систем, а законы сохранения часто могут использоваться для построения функций Ляпунова для физических систем .

Определение

Функция Ляпунова для автономной динамической системы

${\displaystyle {\begin{cases}g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}&\\{\dot {y}}=g(y)\end{cases}}}$

с точкой равновесия в — скалярная функция , которая непрерывна, имеет непрерывные первые производные, строго положительна для и для которой производная по времени неположительна (эти условия требуются для некоторой области, содержащей начало координат). (Более сильное) условие, которое строго положительно для, иногда формулируется как локально положительно определено или локально отрицательно определено . ${\displaystyle y=0}$ ${\displaystyle V:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle y\neq 0}$ ${\displaystyle {\dot {V}}=\nabla {V}\cdot g}$ ${\displaystyle -\nabla {V}\cdot g}$ ${\displaystyle y\neq 0}$ ${\displaystyle -\nabla {V}\cdot g}$ ${\displaystyle \nabla {V}\cdot g}$

Дальнейшее обсуждение терминов, возникающих в определении

Функции Ляпунова возникают при изучении положений равновесия динамических систем. В произвольной автономной динамической системе их можно записать в виде ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$

${\displaystyle {\dot {y}}=g(y)}$

для некоторого гладкого ${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}.}$

Точка равновесия — это точка , такая что Для точки равновесия всегда существует преобразование координат, такое что: ${\displaystyle y^{*}}$ ${\displaystyle g\left(y^{*}\right)=0.}$ ${\displaystyle y^{*},}$ ${\displaystyle x=y-y^{*},}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {x}}={\dot {y}}=g(y)=g\left(x+y^{*}\right)=f(x)\\f(0)=0\end{cases}}}$

Таким образом, при изучении точек равновесия достаточно предположить, что точка равновесия находится при . ${\displaystyle 0}$

По правилу цепочки для любой функции производная по времени функции, вычисленная вдоль решения динамической системы, равна ${\displaystyle H:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ,}$

${\displaystyle {\dot {H}}={\frac {d}{dt}}H(x(t))={\frac {\partial H}{\partial x}}\cdot {\frac {dx}{dt}}=\nabla H\cdot {\dot {x}}=\nabla H\cdot f(x).}$

Функция определяется как локально положительно определенная функция (в смысле динамических систем), если и существует окрестность начала координат, , такая, что: ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H(0)=0}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

${\displaystyle H(x)>0\quad \forall x\in {\mathcal {B}}\setminus \{0\}.}$

Основные теоремы Ляпунова для автономных систем

Пусть – точка равновесия автономной системы ${\displaystyle x^{*}=0}$

${\displaystyle {\dot {x}}=f(x).}$

и используем обозначение для обозначения производной по времени от функции-кандидата Ляпунова : ${\displaystyle {\dot {V}}(x)}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\dot {V}}(x)={\frac {d}{dt}}V(x(t))={\frac {\partial V}{\partial x}}\cdot {\frac {dx}{dt}}=\nabla V\cdot {\dot {x}}=\nabla V\cdot f(x).}$

Локально асимптотически устойчивое равновесие

Если точка равновесия изолирована, то функция-кандидат Ляпунова локально положительно определена, а производная по времени функции-кандидата Ляпунова локально отрицательно определена: ${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\dot {V}}(x)<0\quad \forall x\in {\mathcal {B}}(0)\setminus \{0\},}$

для некоторой окрестности начала координат доказано, что равновесие локально асимптотически устойчиво. ${\displaystyle {\mathcal {B}}(0)}$

Устойчивое равновесие

Если — функция Ляпунова, то равновесие устойчиво по Ляпунову . Обратное также верно, и это доказал Хосе Луис Массера . ${\displaystyle V}$

Глобально асимптотически устойчивое равновесие

Если функция-кандидат Ляпунова глобально положительно определена, радиально неограничена , равновесие изолировано, а производная по времени функции-кандидата Ляпунова глобально отрицательно определена: ${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\dot {V}}(x)<0\quad \forall x\in \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\},}$

тогда доказано, что равновесие глобально асимптотически устойчиво .

Функция-кандидат Ляпунова радиально неограничена, если ${\displaystyle V(x)}$

${\displaystyle \|x\|\to \infty \Rightarrow V(x)\to \infty .}$

(Это также называется нормо-принудительным действием.)

Пример

Рассмотрим следующее дифференциальное уравнение относительно : ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\dot {x}}=-x.}$

Учитывая, что всегда положительно около начала координат, это естественный кандидат на роль функции Ляпунова, чтобы помочь нам изучить . Итак, давайте . Затем, ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle V(x)=x^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\dot {V}}(x)=V'(x){\dot {x}}=2x\cdot (-x)=-2x^{2}<0.}$

Это правильно показывает, что приведенное выше дифференциальное уравнение асимптотически устойчиво относительно начала координат. Обратите внимание, что, используя тот же кандидат Ляпунова, можно показать, что равновесие также глобально асимптотически устойчиво. ${\displaystyle x,}$

Смотрите также

• устойчивость по Ляпунову
• Обыкновенные дифференциальные уравнения
• Контрольно-Ляпуновская функция
• Функция Четаева
• Теорема Фостера
• оптимизация Ляпунова

Ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. "Функция Ляпунова". MathWorld .
• Халил, ХК (1996). Нелинейные системы . Prentice Hall Upper Saddle River, Нью-Джерси.
• Ла Саль, Жозеф; Лефшец, Соломон (1961). Устойчивость по прямому методу Ляпунова: с приложениями . Нью-Йорк: Academic Press.
• В данной статье использованы материалы из книги «Функция Ляпунова» на сайте PlanetMath , лицензированной по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike .

Внешние ссылки

• Пример определения устойчивости равновесного решения системы ОДУ с функцией Ляпунова