критерий текучести фон Мизеса

Теория отказов в механике сплошных сред

В механике сплошной среды критерий максимальной энергии искажения (также критерий текучести фон Мизеса ^[1] ) утверждает, что текучесть пластичного материала начинается , когда второй инвариант девиаторного напряжения достигает критического значения. ^[2] Это часть теории пластичности , которая в основном применяется к пластичным материалам, таким как некоторые металлы . До определения текучести можно предположить, что реакция материала имеет нелинейно-упругое , вязкоупругое или линейно-упругое поведение. ${\displaystyle J_{2}}$

В материаловедении и технике критерий текучести фон Мизеса также формулируется в терминах напряжения фон Мизеса или эквивалентного растягивающего напряжения . Это скалярное значение напряжения, которое можно вычислить по тензору напряжений Коши . В этом случае говорят, что материал начинает поддаваться, когда напряжение фон Мизеса достигает значения, известного как предел текучести , . Напряжение фон Мизеса используется для прогнозирования текучести материалов при сложном нагружении по результатам испытаний на одноосное растяжение . Напряжение фон Мизеса удовлетворяет свойству, при котором два напряженных состояния с одинаковой энергией искажения имеют одинаковое напряжение фон Мизеса. ${\displaystyle \sigma _{\text{v}}}$ ${\displaystyle \sigma _{\text{y}}}$

Поскольку критерий текучести фон Мизеса не зависит от первого инварианта напряжения , он применим для анализа пластической деформации пластичных материалов, таких как металлы, поскольку начало текучести для этих материалов не зависит от гидростатической составляющей тензора напряжений . ${\displaystyle I_{1}}$

Хотя считается, что он был сформулирован Джеймсом Клерком Максвеллом в 1865 году, Максвелл описал лишь общие условия в письме Уильяму Томсону (лорду Кельвину). ^[3] Рихард Эдлер фон Мизес строго сформулировал его в 1913 году. ^{[2] [4]} Титус Максимилиан Хубер (1904) в статье, написанной на польском языке, в некоторой степени предвосхитил этот критерий, правильно полагаясь на энергию деформации деформации, а не на полную энергию деформации, как и его предшественники. ^{[5] [6] [7]} Генрих Хенки независимо сформулировал тот же критерий, что и фон Мизес в 1924 году. ^[8] По вышеуказанным причинам этот критерий также называют «теорией Максвелла – Хубера – Хенки – фон Мизеса».

Математическая формулировка

Поверхности текучести фон Мизеса в координатах главного напряжения описывают цилиндр с радиусом вокруг гидростатической оси. Также показана шестиугольная поверхность текучести Tresca . ${\textstyle {\sqrt {\frac {2}{3}}}\sigma _{y}}$

Математически критерий текучести фон Мизеса выражается как:

${\displaystyle J_{2}=k^{2}\,\!}$

Здесь предел текучести материала при чистом сдвиге. Как будет показано далее в этой статье, в начале текучести величина предела текучести при сдвиге при чистом сдвиге в √3 раза ниже, чем предел текучести при растяжении в случае простого растяжения. Таким образом, мы имеем: ${\displaystyle k}$

${\displaystyle k={\frac {\sigma _{y}}{\sqrt {3}}}}$

где – предел текучести материала. Если мы установим напряжение фон Мизеса равным пределу текучести и объединим приведенные выше уравнения, критерий текучести фон Мизеса запишется как: ${\displaystyle \sigma _{y}}$

${\displaystyle \sigma _{v}=\sigma _{y}={\sqrt {3J_{2}}}}$

или

${\displaystyle \sigma _{v}^{2}=3J_{2}=3k^{2}}$

Подставив компоненты тензора напряжений Коши , получим ${\displaystyle J_{2}}$

${\displaystyle \sigma _{\text{v}}^{2}={\frac {1}{2}}\left[(\sigma _{11}-\sigma _{22})^{2}+(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2}+(\sigma _{33}-\sigma _{11})^{2}+6\left(\sigma _{23}^{2}+\sigma _{31}^{2}+\sigma _{12}^{2}\right)\right]={\frac {3}{2}}s_{ij}s_{ij}}$,

где называется девиаторным напряжением. Это уравнение определяет поверхность текучести как круглый цилиндр (см. рисунок), кривая текучести которого или пересечение с девиаторной плоскостью представляет собой круг с радиусом или . Это означает, что условие текучести не зависит от гидростатических напряжений. ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}k}$ ${\textstyle {\sqrt {\frac {2}{3}}}\sigma _{y}}$

Приведенное уравнение фон Мизеса для различных напряженных условий

Критерий текучести фон Мизеса в условиях двумерной (плоской) нагрузки: если напряжение в третьем измерении равно нулю ( ), для координат напряжения в красной области не прогнозируется текучесть . Поскольку критерий текучести Трески находится в красной зоне, критерий фон Мизеса более мягкий. ${\displaystyle \sigma _{3}=0}$ ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$

Одноосное (1D) напряжение

В случае одноосного напряжения или простого растяжения критерий Мизеса просто сводится к ${\displaystyle \sigma _{1}\neq 0,\sigma _{3}=\sigma _{2}=0}$

${\displaystyle \sigma _{1}=\sigma _{\text{y}}\,\!}$,

Это означает, что материал начинает поддаваться, когда достигает предела текучести материала , что соответствует определению предела текучести при растяжении (или сжатии). ${\displaystyle \sigma _{1}}$ ${\displaystyle \sigma _{\text{y}}}$

Многоосное (2D или 3D) напряжение

Эквивалентное растягивающее напряжение или эквивалентное напряжение фон-Мизеса используется для прогнозирования текучести материалов в условиях многоосного нагружения с использованием результатов простых испытаний на одноосное растяжение. Таким образом, мы определяем ${\displaystyle \sigma _{\text{v}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{\text{v}}&={\sqrt {3J_{2}}}\\&={\sqrt {\frac {(\sigma _{11}-\sigma _{22})^{2}+(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2}+\left(\sigma _{33}-\sigma _{11})^{2}+6(\sigma _{12}^{2}+\sigma _{23}^{2}+\sigma _{31}^{2}\right)}{2}}}\\&={\sqrt {\frac {(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}}{2}}}\\&={\sqrt {{\frac {3}{2}}s_{ij}s_{ij}}}\end{aligned}}\,\!}$

где – компоненты тензора девиатора напряжений : ${\displaystyle s_{ij}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}^{\text{dev}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}^{\text{dev}}={\boldsymbol {\sigma }}-{\frac {\operatorname {tr} \left({\boldsymbol {\sigma }}\right)}{3}}\mathbf {I} \,\!}$.

В этом случае текучесть наступает, когда эквивалентное напряжение достигает предела текучести материала при простом растяжении . Например, напряженное состояние стальной балки при сжатии отличается от напряженного состояния стальной оси при кручении, даже если оба образца изготовлены из одного и того же материала. С учетом тензора напряжений, который полностью описывает напряженное состояние, эта разница проявляется в шести степенях свободы , поскольку тензор напряжений имеет шесть независимых компонент. Поэтому трудно сказать, какой из двух образцов ближе к пределу текучести или даже достиг его. Однако с помощью критерия текучести фон Мизеса, который зависит исключительно от значения скалярного напряжения фон Мизеса, т. е. одной степени свободы, это сравнение является простым: большее значение фон Мизеса означает, что материал ближе к пределу текучести. точка. ${\displaystyle \sigma _{\text{v}}}$ ${\displaystyle \sigma _{\text{y}}}$

В случае чистого касательного напряжения , , в то время как все остальные , критерий Мизеса принимает вид: ${\displaystyle \sigma _{12}=\sigma _{21}\neq 0}$ ${\displaystyle \sigma _{ij}=0}$

${\displaystyle \sigma _{12}=k={\frac {\sigma _{y}}{\sqrt {3}}}\,\!}$.

Это означает, что в начале текучести величина напряжения сдвига при чистом сдвиге в разы ниже, чем предел текучести при простом растяжении. Критерий текучести фон Мизеса для чистого напряжения сдвига, выраженный в главных напряжениях, равен ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$

${\displaystyle (\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{1}-\sigma _{3})^{2}=2\sigma _{y}^{2}\,\!}$

В случае главного плоского напряжения и критерий фон Мизеса принимает вид: ${\displaystyle \sigma _{3}=0}$ ${\displaystyle \sigma _{12}=\sigma _{23}=\sigma _{31}=0}$

${\displaystyle \sigma _{1}^{2}-\sigma _{1}\sigma _{2}+\sigma _{2}^{2}=3k^{2}=\sigma _{y}^{2}\,\!}$

Это уравнение представляет собой эллипс на плоскости . ${\displaystyle \sigma _{1}-\sigma _{2}}$

Краткое содержание

Физическая интерпретация критерия текучести фон Мизеса

Хенки (1924) предложил физическую интерпретацию критерия фон Мизеса, предполагающую, что текучесть начинается, когда упругая энергия деформации достигает критического значения. ^[6] По этой причине критерий фон Мизеса также известен как критерий максимальной энергии деформации деформации. Это происходит из соотношения между и упругой деформации и энергии искажения : ${\displaystyle J_{2}}$ ${\displaystyle W_{\text{D}}}$

${\displaystyle W_{\text{D}}={\frac {J_{2}}{2G}}\,\!}$с модулем упругого сдвига . ${\displaystyle G={\frac {E}{2(1+\nu )}}\,\!}$

В 1937 году ^[9] Арпад Л. Надаи предположил, что текучесть начинается, когда октаэдрическое напряжение сдвига достигает критического значения, т.е. октаэдрическое напряжение сдвига материала при текучести при простом растяжении. В этом случае критерий текучести фон Мизеса также известен как критерий максимального октаэдрического напряжения сдвига ввиду прямой пропорциональности, существующей между и октаэдрическим напряжением сдвига, которое по определению равно ${\displaystyle J_{2}}$ ${\displaystyle \tau _{\text{oct}}}$

${\displaystyle \tau _{\text{oct}}={\sqrt {{\frac {2}{3}}J_{2}}}\,\!}$

таким образом, мы имеем

${\displaystyle \tau _{\text{oct}}={\frac {\sqrt {2}}{3}}\sigma _{\text{y}}\,\!}$

Плотность энергии деформации состоит из двух составляющих – объемной или диалационной и дисторсионной. Объемная составляющая отвечает за изменение объема без изменения формы. Искажающий компонент отвечает за сдвиговую деформацию или изменение формы.

Практическое инженерное использование критерия текучести фон Мизеса

Как показано в приведенных выше уравнениях, использование критерия фон Мизеса в качестве критерия текучести точно применимо только тогда, когда следующие свойства материала однородны и имеют соотношение: ^[10]

${\displaystyle {\frac {F_{sy}}{F_{ty}}}={\frac {1}{\sqrt {3}}}\approx 0.577\!}$

Поскольку ни один материал не будет иметь точное это соотношение, на практике необходимо использовать инженерное суждение, чтобы решить, какая теория разрушения подходит для данного материала. Альтернативно, для использования теории Трески то же соотношение определяется как 1/2.

Смотрите также

• Поверхность текучести
• Уравнение Губера
• Анри Треска
• Степан Тимошенко
• Теория Мора – Кулона
• Критерий разрушения Хука – Брауна
• Выход (инжиниринг)
• Стресс
• Напряжение
• 3-D эластичность

Рекомендации

1. «Критерий фон Мизеса (энергетический критерий максимального искажения)» . Преимущество инженера . Проверено 8 февраля 2018 г.
2. фон Мизес, Р. (1913). «Механик der festen Körper im plastisch-deformablen Zustand». Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen . Математически-физический класс. 1913 (1): 582–592.
3. Джонс, Роберт Миллард (2009). Деформационная теория пластичности, с. 151, раздел 4.5.6. Корпорация Булл Ридж. ISBN 9780978722319. Проверено 11 июня 2017 г.
4. Форд (1963). Расширенная механика материалов . Лондон: Лонгманс.
5. Хубер, MT (1904). «Właściwa praca odksztalcenia jko miara wytezenia materiału». Czasopismo Techniczne . 22 . Львов.Переводится как «Удельная работа напряжения как мера материального усилия». Архив механики . 56 : 173–190. 2004.
6. Хилл, Р. (1950). Математическая теория пластичности . Оксфорд: Кларендон Пресс.
7. Тимошенко, С. (1953). История сопротивления материалов . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл.
8. Хенки, Х. (1924). «Zur Theorie plastischer Deformationen und der hierdurch im Material Hervorgerufen Nachspannngen». З. Энджью. Математика. Мех . 4 (4): 323–334. Бибкод : 1924ZaMM....4..323H. дои : 10.1002/zamm.19240040405.
9. СМА Казими. (1982). Твердая механика. Тата МакГроу-Хилл. ISBN 0-07-451715-5 
10. Надай, А. (1950). Теория течения и разрушения твердых тел . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл.