Тепловая длина волны де Бройля

Физическая величина идеальных и квантовых газов

В физике тепловая длина волны де Бройля ( иногда также обозначается как ) примерно равна средней длине волны де Бройля частиц в идеальном газе при указанной температуре. Мы можем принять среднее расстояние между частицами в газе равным приблизительно ( V / N ) ^1/3 , где V — объем, а N — число частиц. Когда тепловая длина волны де Бройля намного меньше межчастичного расстояния, газ можно считать классическим или газом Максвелла-Больцмана . С другой стороны, когда тепловая длина волны де Бройля порядка или больше межчастичного расстояния, квантовые эффекты будут доминировать, и газ следует рассматривать как ферми-газ или бозе-газ , в зависимости от природы частиц газа. Критическая температура является точкой перехода между этими двумя режимами, и при этой критической температуре тепловая длина волны будет приблизительно равна межчастичному расстоянию. То есть квантовая природа газа будет очевидна для ${\displaystyle \lambda _{\mathrm {th} }}$ ${\displaystyle \Lambda }$ $${\displaystyle \displaystyle {\frac {V}{N\lambda _{\mathrm {th} }^{3}}}\leq 1\ ,{\rm {or}}\ \left({\frac {V}{N}}\right)^{1/3}\leq \lambda _{\mathrm {th} }}$$

т.е. когда межчастичное расстояние меньше тепловой длины волны де Бройля; в этом случае газ будет подчиняться статистике Бозе-Эйнштейна или статистике Ферми-Дирака , в зависимости от того, что подходит. Это, например, случай электронов в типичном металле при T = 300 K , где электронный газ подчиняется статистике Ферми-Дирака , или в конденсате Бозе-Эйнштейна . С другой стороны, для $${\displaystyle \displaystyle {\frac {V}{N\lambda _{\mathrm {th} }^{3}}}\gg 1\ ,{\rm {or}}\ \left({\frac {V}{N}}\right)^{1/3}\gg \lambda _{\mathrm {th} }}$$

т. е. когда межчастичное расстояние намного больше тепловой длины волны де Бройля, газ будет подчиняться статистике Максвелла-Больцмана . ^[1] Это имеет место для молекулярных или атомарных газов при комнатной температуре, а также для тепловых нейтронов, производимых источником нейтронов .

Массивные частицы

Для массивных, невзаимодействующих частиц тепловую длину волны де Бройля можно вывести из расчета функции распределения . Предполагая одномерный ящик длиной L , функция распределения (использующая энергетические состояния одномерной частицы в ящике ) равна $${\displaystyle Z=\sum _{n}e^{-E_{n}/k_{\mathrm {B} }T}=\sum _{n}e^{-h^{2}n^{2}/8mL^{2}k_{\mathrm {B} }T}.}$$

Поскольку уровни энергии расположены чрезвычайно близко друг к другу, мы можем аппроксимировать эту сумму как интеграл: ^[2] $${\displaystyle Z=\int _{0}^{\infty }e^{-h^{2}n^{2}/8mL^{2}k_{\mathrm {B} }T}dn={\sqrt {\frac {2\pi mk_{\mathrm {B} }T}{h^{2}}}}L\equiv {\frac {L}{\lambda _{\rm {th}}}}.}$$

Следовательно, где — постоянная Планка , m — масса частицы газа, — постоянная Больцмана , а T — температура газа. ^[1] Это также можно выразить с помощью приведенной постоянной Планка как $${\displaystyle \lambda _{\rm {th}}={\frac {h}{\sqrt {2\pi mk_{\mathrm {B} }T}}},}$$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle k_{\mathrm {B} }}$ ${\displaystyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}}$ $${\displaystyle \lambda _{\mathrm {th} }={\sqrt {\frac {2\pi \hbar ^{2}}{mk_{\mathrm {B} }T}}}.}$$

Безмассовые частицы

Для безмассовых (или высокорелятивистских ) частиц тепловая длина волны определяется как $${\displaystyle \lambda _{\mathrm {th} }={\frac {hc}{2\pi ^{1/3}k_{\mathrm {B} }T}}={\frac {\pi ^{2/3}\hbar c}{k_{\mathrm {B} }T}},}$$

где c — скорость света. Как и в случае с тепловой длиной волны для массивных частиц, это порядка средней длины волны частиц в газе и определяет критическую точку, в которой квантовые эффекты начинают доминировать. Например, при наблюдении длинноволнового спектра излучения черного тела можно применять классический закон Рэлея–Джинса , но когда наблюдаемые длины волн приближаются к тепловой длине волны фотонов в излучателе черного тела, необходимо использовать квантовый закон Планка .

Общее определение

Можно ввести общее определение тепловой длины волны для идеального газа частиц, имеющего произвольное степенное соотношение между энергией и импульсом (дисперсионное соотношение) в любом количестве измерений. ^[3] Если n — число измерений, а соотношение между энергией ( E ) и импульсом ( p ) задается выражением (при этом a и s являются константами), то тепловая длина волны определяется как где Γ — гамма-функция . В частности, для трехмерного ( n = 3 ) газа массивных или безмассовых частиц мы имеем E = p ² /2 m ( a = 1/2 m , s = 2) и E = pc ( a = c , s = 1) , соответственно, что дает выражения, перечисленные в предыдущих разделах. Обратите внимание, что для массивных нерелятивистских частиц ( s = 2) выражение не зависит от n . Это объясняет, почему одномерный вывод выше согласуется с трехмерным случаем. $${\displaystyle E=ap^{s}}$$ $${\displaystyle \lambda _{\mathrm {th} }={\frac {h}{\sqrt {\pi }}}\left({\frac {a}{k_{\mathrm {B} }T}}\right)^{1/s}\left[{\frac {\Gamma (n/2+1)}{\Gamma (n/s+1)}}\right]^{1/n},}$$

Примеры

Ниже приведены некоторые примеры тепловой длины волны де Бройля при 298 К.

Ссылки

1. Чарльз Киттель; Герберт Кремер (1980). Тепловая физика (2-е изд.). WH Freeman. стр. 73. ISBN 978-0716710882.
2. Шредер, Дэниел (2000). Введение в тепловую физику . США: Addison Wesley Longman. стр. 253. ISBN 0-201-38027-7.
3. Ян, Цзыцзюнь (2000). «Общая тепловая длина волны и ее применение». European Journal of Physics . 21 (6): 625–631. Bibcode : 2000EJPh...21..625Y. doi : 10.1088/0143-0807/21/6/314. ISSN  0143-0807. S2CID  250870934. Получено 17.08.2021 .

• Ву-Куок, Л., Интеграл конфигурации (статистическая механика), 2008. Этот вики-сайт недоступен; см. эту статью в веб-архиве 28 апреля 2012 г.