Тепловой двигатель

Система, преобразующая тепло или тепловую энергию в механическую работу.

Рисунок 1: Схема теплового двигателя

В термодинамике и технике тепловой двигатель — это система, которая преобразует тепло в полезную энергию , особенно механическую энергию , которая затем может быть использована для выполнения механической работы . ^{[1] [2]} Первоначально концепция теплового двигателя была задумана в контексте механической энергии, но по крайней мере с конца 19 века она применялась к различным другим видам энергии, особенно к электрической. ^{[3] [4]} Тепловая машина делает это, переводя рабочее вещество из более высокого состояния в более низкое. Источник тепла генерирует тепловую энергию, которая переводит рабочее вещество в более высокотемпературное состояние. Рабочее тело совершает работу в рабочем теле двигателя, передавая тепло более холодному стоку до тех пор, пока оно не достигнет более низкого температурного состояния. Во время этого процесса часть тепловой энергии преобразуется в работу за счет использования свойств рабочего вещества. Рабочим телом может быть любая система с ненулевой теплоемкостью , но обычно это газ или жидкость. Во время этого процесса часть тепла обычно теряется в окружающую среду и не преобразуется в работу. Кроме того, некоторая энергия непригодна для использования из-за трения и сопротивления.

В общем, двигатель — это любая машина , преобразующая энергию в механическую работу . Тепловые двигатели отличаются от других типов двигателей тем, что их эффективность принципиально ограничена теоремой Карно . ^[5] Хотя это ограничение эффективности может быть недостатком, преимуществом тепловых двигателей является то, что большинство форм энергии могут быть легко преобразованы в тепло с помощью таких процессов, как экзотермические реакции (такие как горение), деление ядер , поглощение света или энергетических частиц, трение , диссипация и сопротивление . Поскольку источник тепла, который подает тепловую энергию в двигатель, может работать практически от любого вида энергии, тепловые двигатели охватывают широкий спектр применений.

Тепловые двигатели часто путают с циклами, которые они пытаются реализовать. Обычно термин «двигатель» используется для физического устройства, а термин «цикл» — для модели.

Обзор

В термодинамике тепловые двигатели часто моделируются с использованием стандартной инженерной модели, такой как цикл Отто . Теоретическая модель может быть уточнена и дополнена фактическими данными работающего двигателя, используя такие инструменты, как индикаторная диаграмма . Поскольку очень немногие реальные реализации тепловых двигателей точно соответствуют лежащим в их основе термодинамическим циклам, можно сказать, что термодинамический цикл является идеальным случаем механического двигателя. В любом случае, полное понимание двигателя и его эффективности требует хорошего понимания (возможно, упрощенной или идеализированной) теоретической модели, практических нюансов реального механического двигателя и различий между ними.

В общих чертах, чем больше разница температур между горячим источником и холодным поглотителем, тем больше потенциальный тепловой КПД цикла. На Земле холодная сторона любого теплового двигателя ограничена температурой, близкой к температуре окружающей среды, или не намного ниже 300 Кельвинов , поэтому большинство усилий по улучшению термодинамического КПД различных тепловых двигателей сосредоточено на повышении температуры источник, в материальных пределах. Максимальный теоретический КПД теплового двигателя (которого никогда не достигает ни один двигатель) равен разнице температур между горячим и холодным концами, разделенной на температуру на горячем конце, каждая из которых выражается в абсолютной температуре .

КПД различных тепловых двигателей, предлагаемых или используемых сегодня, имеет большой диапазон:

• 3% ^[6] (97 процентов отработанного тепла с использованием тепла низкого качества) для предложения по преобразованию тепловой энергии океана (OTEC) в области энергии океана
• 25% для большинства автомобильных бензиновых двигателей ^[7]
• 49% для сверхкритической угольной электростанции, такой как электростанция Аведоре.
• 60% для газовой турбины комбинированного цикла ^[8]

Эффективность этих процессов примерно пропорциональна перепаду температур на них. Значительное количество энергии может потребляться вспомогательным оборудованием, например насосами, что существенно снижает эффективность.

Примеры

Важно отметить, что хотя некоторые циклы имеют типичное место сгорания (внутреннее или внешнее), зачастую они могут быть реализованы совместно с другим. Например, Джон Эрикссон ^[9] разработал двигатель с внешним подогревом, работающий по циклу, очень похожему на более ранний дизельный цикл . Кроме того, двигатели с внешним подогревом часто могут быть реализованы с открытым или закрытым циклом. В закрытом цикле рабочая жидкость сохраняется внутри двигателя по завершении цикла, тогда как в открытом цикле рабочая жидкость либо обменивается с окружающей средой вместе с продуктами сгорания в случае двигателя внутреннего сгорания, либо просто выбрасывается в атмосферу. окружающая среда в случае двигателей внешнего сгорания, таких как паровые двигатели и турбины .

Примеры из повседневной жизни

Повседневные примеры тепловых двигателей включают тепловые электростанции , двигатели внутреннего сгорания , огнестрельное оружие , холодильники и тепловые насосы . Электростанции являются примерами тепловых двигателей, работающих в прямом направлении, в которых тепло течет из горячего резервуара в холодный резервуар, производя работу в качестве желаемого продукта. Холодильники, кондиционеры и тепловые насосы являются примерами тепловых двигателей, работающих в обратном направлении, т.е. они используют работу для получения тепловой энергии при низкой температуре и повышения ее температуры более эффективным способом, чем простое преобразование работы в тепло (либо за счет трение или электрическое сопротивление). Холодильники отводят тепло из термически изолированной камеры при низкой температуре и отводят отработанное тепло при более высокой температуре в окружающую среду, а тепловые насосы забирают тепло из низкотемпературной среды и «выбрасывают» его в термически изолированную камеру (дом) при более высокой температуре. .

В целом тепловые двигатели используют тепловые свойства, связанные с расширением и сжатием газов в соответствии с газовыми законами, или свойства, связанные с фазовыми переходами между газообразным и жидким состояниями.

Тепловая машина Земли

Атмосфера и гидросфера Земли — тепловой двигатель Земли — представляют собой связанные процессы, которые постоянно выравнивают дисбаланс солнечного нагрева за счет испарения поверхностных вод, конвекции, осадков, ветров и циркуляции океана при распределении тепла по земному шару. ^[10]

Ячейка Хэдли является примером тепловой машины. Он включает в себя подъем теплого и влажного воздуха в экваториальной области Земли и опускание более холодного воздуха в субтропиках, создавая прямую циркуляцию с термическим приводом и, как следствие, чистое производство кинетической энергии. ^[11]

Циклы фазового перехода

В этих циклах и двигателях рабочими телами являются газы и жидкости. Двигатель преобразует рабочее тело из газа в жидкость, из жидкости в газ или и то, и другое, генерируя работу за счет расширения или сжатия жидкости.

• Цикл Ренкина (классическая паровая машина )
• Регенеративный цикл ( паровой двигатель более эффективен, чем цикл Ренкина )
• Органический цикл Ренкина (фаза смены теплоносителя в интервалах температур льда и горячей жидкой воды)
• Цикл пар-жидкость ( Питьевая птица , Инжектор , Колесо Минто )
• Цикл перехода жидкости в твердое состояние ( морозное пучение – переход воды из льда в жидкость и обратно может поднять породу на высоту до 60 см.)
• Цикл твердого топлива в газ ( огнестрельное оружие – твердое топливо сгорает до горячих газов.)

Только газовые циклы

В этих циклах и двигателях рабочим телом всегда является газ (т. е. фазовый переход отсутствует):

• Цикл Карно ( тепловая машина Карно )
• Цикл Эрикссона (Талорический корабль Джона Эрикссона)
• Цикл Стирлинга ( Двигатель Стирлинга , ^[12] термоакустические устройства)
• Двигатель внутреннего сгорания (ДВС):
  • Цикл Отто (например , бензиновый/бензиновый двигатель )
  • Дизельный цикл (например, дизельный двигатель )
  • Цикл Аткинсона (двигатель Аткинсона)
  • Цикл Брайтона или цикл Джоуля, первоначально цикл Эрикссона ( газовая турбина )
  • Цикл Ленуара (например, импульсный реактивный двигатель )
  • Цикл Миллера (двигатель Миллера)

Циклы только для жидкости

В этих циклах и двигателях рабочее тело всегда подобно жидкости:

• Цикл Стирлинга ( двигатель Мэлоуна )
• Тепловой регенеративный циклон ^[13]

Электронные циклы

• Термоэлектрический преобразователь энергии Джонсона
• Термоэлектрический ( эффект Пельтье – Зеебека )
• Термогальванический элемент
• Термоэлектронная эмиссия
• Термотоннельное охлаждение

Магнитные циклы

• Термомагнитный двигатель (Тесла)

Циклы, используемые для охлаждения

Бытовой холодильник является примером теплового насоса : тепловой машины наоборот. Работа используется для создания теплового перепада. Многие циклы могут работать в обратном порядке, чтобы переносить тепло с холодной стороны на горячую, в результате чего холодная сторона становится холоднее, а горячая сторона — горячее. Версии этих циклов для двигателей внутреннего сгорания по своей природе необратимы.

Холодильные циклы включают в себя:

• Машина воздушного цикла
• Газоабсорбционный холодильник
• Магнитное охлаждение
• Криокулер Стирлинга
• Парокомпрессионное охлаждение
• Цикл Вийемье

Испарительные тепловые двигатели

Испарительный двигатель Бартона — это тепловой двигатель, основанный на цикле производства энергии и охлаждения влажного воздуха за счет испарения воды в горячий сухой воздух.

Мезоскопические тепловые двигатели

Мезоскопические тепловые двигатели — это наноразмерные устройства, которые могут служить целям обработки тепловых потоков и выполнять полезную работу в небольших масштабах. Потенциальные применения включают, например, электрические охлаждающие устройства. В таких мезоскопических тепловых двигателях работа за цикл работы колеблется из-за теплового шума. Существует точное равенство, связывающее средние показатели степени работы, совершаемой любой тепловой машиной, и передачу тепла от более горячей тепловой ванны. ^[14] Это соотношение преобразует неравенство Карно в точное равенство. Это соотношение также является равенством цикла Карно

Эффективность

КПД теплового двигателя показывает, сколько полезной работы совершается при заданном количестве вложенной тепловой энергии.

Из законов термодинамики , после завершенного цикла: ^[15]

${\displaystyle W+Q=\Delta _{cycle}U=0}$

и поэтому

${\displaystyle W=-Q=-(Q_{c}+Q_{h})}$

где

${\displaystyle W=-\oint PdV}$— чистая работа, извлекаемая двигателем за один цикл. (В соответствии с конвенцией ИЮПАК оно отрицательное , поскольку работа выполняется двигателем.)

${\displaystyle Q_{h}>0}$— это тепловая энергия, полученная от высокотемпературного источника тепла в окружающей среде за один цикл. (Она положительна, поскольку к двигателю добавляется тепловая энергия.)

${\displaystyle Q_{c}=-|Q_{c}|<0}$— это отходящее тепло, отдаваемое двигателем радиатору с низкой температурой. (Оно отрицательно ^[15] , поскольку тепло теряется двигателем в сток.)

Другими словами, тепловой двигатель поглощает тепловую энергию от высокотемпературного источника тепла, преобразуя часть ее в полезную работу, а остальную часть отдает в виде отработанного тепла радиатору с низкой температурой.

В общем, эффективность данного процесса теплопередачи определяется соотношением «то, что вынимается» и «то, что вводится». (Для холодильника или теплового насоса, который можно рассматривать как тепловую машину, работающую в обратном направлении, это коэффициент полезного действия , и он равен ≥ 1.) В случае двигателя человек желает получить работу и должен вложить тепло , например, от сгорания топлива, поэтому КПД двигателя разумно определяется как ${\displaystyle Q_{h}}$

${\displaystyle \eta ={\frac {|W|}{Q_{h}}}={\frac {Q_{h}+Q_{c}}{Q_{h}}}=1+{\frac {Q_{c}}{Q_{h}}}=1-{\frac {|Q_{c}|}{Q_{h}}}}$

КПД составляет менее 100% из-за неизбежной потери отходящего тепла в холодный радиатор (и соответствующей работы сжатия) во время необходимого повторного сжатия при холодной температуре, прежде чем рабочий такт двигателя может произойти снова. ${\displaystyle Q_{c}<0}$

Теоретический максимальный КПД любого теплового двигателя зависит только от температур, в которых он работает . Этот КПД обычно достигается с помощью идеального воображаемого теплового двигателя, такого как тепловой двигатель Карно , хотя другие двигатели, использующие другие циклы, также могут достичь максимального КПД. Математически после полного цикла общее изменение энтропии равно нулю:

${\displaystyle \ \ \ \Delta S_{h}+\Delta S_{c}=\Delta _{cycle}S=0}$

Обратите внимание, что оно положительное, поскольку изотермическое расширение в рабочем такте увеличивает кратность рабочего тела, а отрицательное, поскольку рекомпрессия уменьшает кратность. Если двигатель идеален и работает реверсивно , и , и таким образом ^{[16] [15]} ${\displaystyle \Delta S_{h}}$ ${\displaystyle \Delta S_{c}}$ ${\displaystyle Q_{h}=T_{h}\Delta S_{h}}$ ${\displaystyle Q_{c}=T_{c}\Delta S_{c}}$

${\displaystyle Q_{h}/T_{h}+Q_{c}/T_{c}=0}$,

что дает и, следовательно, предел Карно для эффективности теплового двигателя, ${\displaystyle Q_{c}/Q_{h}=-T_{c}/T_{h}}$

${\displaystyle \eta _{\text{max}}=1-{\frac {T_{c}}{T_{h}}}}$

где – абсолютная температура горячего источника и холодного стока, обычно измеряемая в Кельвинах . ${\displaystyle T_{h}}$ ${\displaystyle T_{c}}$

Причина этого в том, что максимальная эффективность заключается в следующем. Сначала предполагается, что если возможен более эффективный тепловой двигатель, чем двигатель Карно, то его можно будет использовать в обратном направлении как тепловой насос. Математический анализ можно использовать, чтобы показать, что эта предполагаемая комбинация приведет к чистому уменьшению энтропии . Поскольку согласно второму началу термодинамики это статистически невероятно невероятно, эффективность Карно является теоретической верхней границей надежной эффективности любого термодинамического цикла.

Эмпирически еще не было показано, что ни один тепловой двигатель работает с большей эффективностью, чем тепловой двигатель с циклом Карно.

На рисунках 2 и 3 показаны изменения эффективности цикла Карно в зависимости от температуры. На рисунке 2 показано, как изменяется эффективность с увеличением температуры подвода тепла при постоянной температуре на входе в компрессор. На рис. 3 показано, как изменяется КПД с увеличением температуры отвода тепла при постоянной температуре на входе в турбину.

Эндореверсивные тепловые машины

По своей природе любой максимально эффективный цикл Карно должен работать при бесконечно малом градиенте температуры; это связано с тем, что любая передача тепла между двумя телами с разными температурами необратима, поэтому выражение эффективности Карно применимо только к бесконечно малому пределу. Основная проблема заключается в том, что целью большинства тепловых двигателей является выработка мощности, а бесконечно малая мощность требуется редко.

Иную меру идеального КПД теплового двигателя дают соображения эндообратимой термодинамики , где система разбивается на обратимые подсистемы, но с необратимыми взаимодействиями между ними. Классическим примером является двигатель Керзона-Альборна ^[17] , очень похожий на двигатель Карно, но в котором тепловые резервуары при температуре и могут отличаться от температур вещества, проходящего обратимый цикл Карно: и . Теплопередача между резервуарами и веществом рассматривается как кондуктивная (и необратимая) в виде . В этом случае необходимо найти компромисс между выходной мощностью и эффективностью. Если двигатель работает очень медленно, тепловой поток мал и находится классический результат Карно ${\displaystyle T_{h}}$ ${\displaystyle T_{c}}$ ${\displaystyle T'_{h}}$ ${\displaystyle T'_{c}}$ ${\displaystyle dQ_{h,c}/dt=\alpha (T_{h,c}-T'_{h,c})}$ ${\displaystyle T\approx T'}$

${\displaystyle \eta =1-{\frac {T_{c}}{T_{h}}}}$,

но ценой исчезновения выходной мощности. Если вместо этого выбрать работу двигателя на максимальной выходной мощности, эффективность станет

${\displaystyle \eta =1-{\sqrt {\frac {T_{c}}{T_{h}}}}}$(Примечание: T в единицах K или °R )

Эта модель лучше прогнозирует, насколько хорошо могут работать реальные тепловые двигатели (Callen 1985, см. также эндообратимую термодинамику ):

Как показано, эффективность Керзона – Альборна гораздо точнее моделирует наблюдаемое.

История

Тепловые двигатели известны с древности, но в полезные устройства их превратили только во времена промышленной революции 18 века. Их развитие продолжается и сегодня.

Улучшения

Инженеры изучили различные циклы тепловых двигателей, чтобы увеличить количество полезной работы, которую они могут извлечь из данного источника энергии. Предел цикла Карно не может быть достигнут ни при каком газовом цикле, но инженеры нашли как минимум два способа обойти это ограничение и один способ повысить эффективность, не нарушая никаких правил:

1. Увеличить разницу температур в тепловом двигателе. Самый простой способ сделать это — повысить температуру горячей стороны. Этот подход используется в современных газовых турбинах с комбинированным циклом . К сожалению, физические ограничения (такие как температура плавления материалов, используемых для изготовления двигателя) и экологические проблемы, связанные с производством NO x (если источником тепла является сгорание с окружающим воздухом), ограничивают максимальную температуру работоспособных тепловых двигателей. Современные газовые турбины работают при максимально высоких температурах в пределах диапазона температур, необходимого для поддержания ^{приемлемого уровня} выбросов _NOx ^. Другим способом повышения эффективности является снижение выходной температуры. Одним из новых методов достижения этой цели является использование смешанных химических рабочих жидкостей, а затем использование изменяющегося поведения смесей. Одним из самых известных является так называемый цикл Калины , в котором в качестве рабочей жидкости используется смесь аммиака и воды в соотношении 70/30. Эта смесь позволяет циклу генерировать полезную энергию при значительно более низких температурах, чем в большинстве других процессов.
2. Используйте физические свойства рабочей жидкости. Наиболее распространенной такой эксплуатацией является использование воды выше критической точки ( сверхкритическая вода ). Поведение жидкостей выше критической точки радикально меняется, и с такими материалами, как вода и углекислый газ , можно использовать эти изменения в поведении для получения большей термодинамической эффективности от теплового двигателя, даже если он использует довольно традиционные двигатели Брайтона или Ренкина. цикл. Более новым и очень многообещающим материалом для таких применений является сверхкритический CO ₂ . SO 2 и ксенон также рассматривались для таких применений. К недостаткам относятся проблемы коррозии и эрозии, различное химическое поведение выше и ниже критической точки, необходимое высокое давление и – в случае диоксида серы и, в меньшей степени, диоксида углерода – токсичность. Среди упомянутых соединений ксенон наименее пригоден для использования в ядерном реакторе из-за высокого сечения поглощения нейтронов почти всех изотопов ксенона , тогда как диоксид углерода и вода также могут служить замедлителями нейтронов для реактора теплового спектра.
3. Эксплуатировать химические свойства рабочей жидкости. Довольно новым и нестандартным решением является использование экзотических рабочих жидкостей с выгодными химическими свойствами. Одним из них является диоксид азота (NO ₂ ), токсичный компонент смога, который имеет природный димер в виде тетраоксида диазота (N ₂ O ₄ ). При низкой температуре N ₂ O ₄ сжимается, а затем нагревается. Повышение температуры приводит к тому, что каждый N ₂ O ₄ распадается на две молекулы NO ₂ . При этом снижается молекулярная масса рабочей жидкости, что резко повышает эффективность цикла. Как только NO ₂ проходит через турбину, он охлаждается радиатором , что заставляет его рекомбинировать в N ₂ O ₄ . Затем компрессор возвращает его обратно для следующего цикла. Такие соединения, как бромид алюминия (Al ₂ Br ₆ ), NOCl и Ga ₂ I _6, были исследованы на предмет такого использования. На сегодняшний день их недостатки не оправдывают их использования, несмотря на то, что можно добиться повышения эффективности. ^[18]

Процессы теплового двигателя

Каждый процесс является одним из следующих:

• изотермический (при постоянной температуре, поддерживаемой за счет добавления или удаления тепла от источника тепла или радиатора)
• изобарный (при постоянном давлении)
• изометрический/изохорный (при постоянном объеме), также называемый изообъемным
• адиабатический (во время адиабатического процесса тепло не добавляется и не удаляется из системы)
• изэнтропический (обратимый адиабатический процесс, во время изоэнтропического процесса тепло не прибавляется и не отводится)

Смотрите также

• Энергетический портал

• Тепловая машина Карно
• Когенерация
• Эйнштейн холодильник
• Тепловой насос
• Поршневой двигатель для общего описания механики поршневых двигателей.
• двигатель Стирлинга
• Термосинтез
• Хронология технологии тепловых двигателей

Рекомендации

1. Основы классической термодинамики , 3-е изд. п. 159, (1985) Дж. Дж. Ван Вайлена и Р. Э. Зоннтага: «Тепловую машину можно определить как устройство, которое работает в термодинамическом цикле и совершает определенное количество чистой положительной работы в результате передачи тепла от высокотемпературного тела . к низкотемпературному телу. Часто термин «тепловая машина» используется в более широком смысле и включает в себя все устройства, производящие работу либо за счет теплопередачи, либо за счет сгорания, даже если устройство не работает в термодинамическом цикле. и газовая турбина являются примерами таких устройств, и название этих тепловых двигателей является приемлемым использованием этого термина».
2. Механический КПД тепловых двигателей , с. 1 (2007) Джеймса Р. Сенфа: «Тепловые двигатели созданы для получения механической энергии из тепловой энергии».
3. Кенелли, AE (декабрь 1898 г.). «Дискуссия на тему «Сравнение термоэлектрического и гальванического действия»». Журнал Общества Франклина . CXLVI : 442.
4. Лори, Артур Пилланс (17 января 1914 г.). «Общество Фарадея». Электрический обзор . 72 (1834): 90 . Проверено 11 февраля 2023 г.
5. Теплофизика: энтропия и свободная энергия , Джун Чанг Ли (2002), Приложение A, стр. 183: «Тепловая машина поглощает энергию источника тепла, а затем преобразует ее в работу для нас… Когда двигатель поглощает тепловую энергию, поглощенная тепловая энергия сопровождается энтропией». (тепловая энергия ), «Когда двигатель выполняет работу, с другой стороны, никакая энтропия не покидает двигатель. Это проблематично. Нам хотелось бы, чтобы двигатель повторял этот процесс снова и снова, чтобы предоставить нам устойчивый источник работы... .для этого рабочее вещество внутри двигателя должно вернуться в исходное термодинамическое состояние после цикла, требующего удаления оставшейся энтропии.Двигатель может сделать это только одним способом.Он должен отпустить часть поглощенной тепловой энергии без преобразования ее в работу. Поэтому двигатель не может преобразовать всю входящую энергию в работу!» ${\displaystyle \Delta Q=T\Delta S}$
6. Эман, Махмод Мохамед (июнь 2013 г.). «Экспериментальные исследования термоакустического двигателя стоячей волны». Исследовательские ворота . Гиза, Египет: Каирский университет . Проверено 21 января 2018 г.
7. Куда уходит энергия: автомобили с бензиновым двигателем, Министерство энергетики США.
8. Лэнгстон, Ли С. «Эффективность в цифрах». КАК Я. Архивировано из оригинала 16 июня 2009 года.
9. "Талорический двигатель Ericsson 1833 года" . hotairengines.org .
10. Линдси, Ребекка (2009). «Климат и энергетический бюджет Земли». Земная обсерватория НАСА .
11. Цзюньлин Хуан и Майкл Б. МакЭлрой (2014). «Вклад циркуляций Хэдли и Феррела в энергетику атмосферы за последние 32 года». Журнал климата . 27 (7): 2656–2666. Бибкод : 2014JCli...27.2656H. doi : 10.1175/jcli-d-13-00538.1 . S2CID  131132431.
12. "Двигатель Данди Стирлинга 1841 года" . hotairengines.org .
13. "Веб-сайт Cyclone Power Technologies" . Cyclonepower.com. Архивировано из оригинала 19 января 2012 года . Проверено 22 марта 2012 г.
14. Н. А. Синицын (2011). «Флуктуационное соотношение для тепловых двигателей». Дж. Физ. А: Математика. Теор . 44 (40): 405001. arXiv : 1111.7014 . Бибкод : 2011JPhA...44N5001S. дои : 10.1088/1751-8113/44/40/405001. S2CID  119261929.
15. Планк, М. (1945). Трактат по термодинамике . Дуврские публикации. п. §90 и §137. уравнения (39), (40) и (65).
16. Ферми, Э. (1956). Термодинамика . Dover Publications (все еще издается). п. 48. уравнение(64).
17. Ф. Л. Керзон, Б. Альборн (1975). «КПД двигателя Карно при максимальной выходной мощности». Являюсь. Дж. Физ. , Том. 43, стр. 24.
18. «Концепции ядерных реакторов и термодинамические циклы» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 18 марта 2009 года . Проверено 22 марта 2012 г.

• Кремер, Герберт; Киттель, Чарльз (1980). Теплофизика (2-е изд.). Компания WH Freeman. ISBN 0-7167-1088-9.
• Каллен, Герберт Б. (1985). Термодинамика и введение в термостатистику (2-е изд.). Джон Вили и сыновья, Inc. ISBN 0-471-86256-8.
• Робинсон, Кларк (1943). Термодинамика огнестрельного оружия . Книжная компания MaGraw-Hill Inc.