Тест Дирихле

Тест на сходимость ряда

В математике тест Дирихле — это метод проверки сходимости ряда , который особенно полезен для доказательства условной сходимости . Он назван в честь своего автора Петера Густава Лежена Дирихле и был опубликован посмертно в Journal de Mathématiques Pures et Appliquées в 1862 году. ^[1]

Заявление

Тест утверждает, что если — монотонная последовательность действительных чисел с и — последовательность действительных чисел или комплексных чисел с ограниченными частичными суммами, то ряд ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0}$ ${\displaystyle (b_{n})}$

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}}$$

сходится. ^{[2] [3] [4]}

Доказательство

Пусть и . ${\textstyle S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}}$ ${\textstyle B_{n}=\sum _{k=1}^{n}b_{k}}$

Из суммирования по частям следует, что . Поскольку величины частичных сумм ограничены некоторым M и при , то первый из этих членов стремится к нулю: при . ${\textstyle S_{n}=a_{n}B_{n}+\sum _{k=1}^{n-1}B_{k}(a_{k}-a_{k+1})}$ ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle a_{n}\to 0}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle |a_{n}B_{n}|\leq |a_{n}M|\to 0}$ ${\displaystyle n\to \infty }$

Кроме того, для каждого k , . ${\displaystyle |B_{k}(a_{k}-a_{k+1})|\leq M|a_{k}-a_{k+1}|}$

Так как является монотонной, то она либо убывает, либо возрастает: ${\displaystyle (a_{n})}$

• Если убывает, то есть телескопическая сумма , которая равна и, следовательно, стремится к . Таким образом, сходится. ${\displaystyle (a_{n})}$ $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}M|a_{k}-a_{k+1}|=\sum _{k=1}^{n}M(a_{k}-a_{k+1})=M\sum _{k=1}^{n}(a_{k}-a_{k+1}),}$$ ${\displaystyle M(a_{1}-a_{n+1})}$ ${\displaystyle Ma_{1}}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }M(a_{k}-a_{k+1})}$
• Если увеличивается, что снова является телескопической суммой, которая равна и, следовательно, стремится к . Таким образом, снова сходится. ${\displaystyle (a_{n})}$ $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}M|a_{k}-a_{k+1}|=-\sum _{k=1}^{n}M(a_{k}-a_{k+1})=-M\sum _{k=1}^{n}(a_{k}-a_{k+1}),}$$ ${\displaystyle -M(a_{1}-a_{n+1})}$ ${\displaystyle -Ma_{1}}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }M(a_{k}-a_{k+1})}$

Итак, ряд сходится по прямому сравнительному тесту к . Следовательно, сходится. ^{[2] [4]} ${\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }B_{k}(a_{k}-a_{k+1})}$ ${\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }M(a_{k}-a_{k+1})}$ ${\displaystyle S_{n}}$

Приложения

Частным случаем теста Дирихле является более часто используемый для этого случая знакопеременный рядовой тест ^{[2] [5]} $${\displaystyle b_{n}=(-1)^{n}\Longrightarrow \left|\sum _{n=1}^{N}b_{n}\right|\leq 1.}$$

Другое следствие заключается в том, что сходится всякий раз, когда является убывающей последовательностью, стремящейся к нулю. Чтобы увидеть, что ограничено, мы можем использовать формулу суммирования ^[6] ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\sin n}$ ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}\sin n}$ $${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}\sin n=\sum _{n=1}^{N}{\frac {e^{in}-e^{-in}}{2i}}={\frac {\sum _{n=1}^{N}(e^{i})^{n}-\sum _{n=1}^{N}(e^{-i})^{n}}{2i}}={\frac {\sin 1+\sin N-\sin(N+1)}{2-2\cos 1}}.}$$

Несобственные интегралы

Аналогичное утверждение для сходимости несобственных интегралов доказывается с помощью интегрирования по частям . Если интеграл функции f равномерно ограничен по всем интервалам , а g — неотрицательная монотонно убывающая функция , то интеграл от fg является сходящимся несобственным интегралом.

Примечания

1. Демонстрация теории д'Абеля. Journal de mathématiques pures et appliquées, 2-я серия, том 7 (1862), стр. 253–255. Архивировано 21 июля 2011 г. в Wayback Machine . См. также [1].
2. Apostol 1967, стр. 407–409.
3. Спивак 2008, стр. 495
4. Rudin 1976, стр. 70
5. Рудин 1976, стр. 71
6. «Откуда берётся формула суммы $\sin(n)$?».

Ссылки

• Апостол, Том М. (1967) [1961]. Исчисление . Т. 1 (2-е изд.). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-00005-1.
• Харди, Г. Х. , Курс чистой математики , девятое издание, Cambridge University Press, 1946. (стр. 379–380).
• Рудин, Уолтер (1976) [1953]. Принципы математического анализа (3-е изд.). Нью-Йорк: McGraw-Hill. ISBN 0-07-054235-X. OCLC  1502474.
• Спивак, Майкл (2008) [1967]. Calculus (4-е изд.). Хьюстон, Техас: Publish or Perish. ISBN 978-0-914098-91-1.
• Воксман, Уильям Л., Расширенный анализ: введение в современный анализ , Marcel Dekker, Inc., Нью-Йорк, 1981. (§8.B.13–15) ISBN 0-8247-6949-X . 

Внешние ссылки

• PlanetMath.org