Тетраэдрическое число

Многогранное число, представляющее тетраэдр

Пирамида со стороной 5 содержит 35 сфер. Каждый слой представляет одно из первых пяти треугольных чисел.

Тетраэдрическое число , или треугольное пирамидальное число , — фигурное число , представляющее собой пирамиду с треугольным основанием и тремя сторонами, называемую тетраэдром . N - е тетраэдрическое число Te _n представляет собой сумму первых n треугольных чисел , то есть

${\displaystyle Te_{n}=\sum _{k=1}^{n}T_{k}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {k(k+1)}{2}}=\sum _{k=1}^{n}\left(\sum _{i=1}^{k}i\right)}$

Тетраэдрические числа:

1 , 4 , 10 , 20 , 35 , 56 , 84 , 120 , 165 , 220 , ... (последовательность A000292 в OEIS )

Формула

Вывод тетраэдрического числа из выровненного слева треугольника Паскаля .

  Натуральные числа

  Треугольные числа

  Тетраэдрические числа

  Пентатопные числа

  5-симплексные числа

  6-симплексные числа

  7-симплексные числа

Формула n- го тетраэдрического числа представлена ​​третьим восходящим факториалом n , разделенным на факториал 3:

${\displaystyle Te_{n}=\sum _{k=1}^{n}T_{k}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {k(k+1)}{2}}=\sum _{k=1}^{n}\left(\sum _{i=1}^{k}i\right)={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}={\frac {n^{\overline {3}}}{3!}}}$

Тетраэдрические числа также можно представить в виде биномиальных коэффициентов :

${\displaystyle Te_{n}={\binom {n+2}{3}}.}$

Таким образом, тетраэдрические числа можно найти в четвертой позиции слева или справа в треугольнике Паскаля .

Доказательства формулы

В этом доказательстве используется тот факт, что n -е треугольное число определяется выражением

${\displaystyle T_{n}={\frac {n(n+1)}{2}}.}$

Это происходит по индукции .

Базовый вариант

${\displaystyle Te_{1}=1={\frac {1\cdot 2\cdot 3}{6}}.}$

Индуктивный шаг

${\displaystyle {\begin{aligned}Te_{n+1}\quad &=Te_{n}+T_{n+1}\\&={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}+{\frac {(n+1)(n+2)}{2}}\\&=(n+1)(n+2)\left({\frac {n}{6}}+{\frac {1}{2}}\right)\\&={\frac {(n+1)(n+2)(n+3)}{6}}.\end{aligned}}}$

Формулу также можно доказать с помощью алгоритма Госпера .

Рекурсивное отношение

Тетраэдрические и треугольные числа связаны рекурсивными формулами

${\displaystyle {\begin{aligned}&Te_{n}=Te_{n-1}+T_{n}&(1)\\&T_{n}=T_{n-1}+n&(2)\end{aligned}}}$

Уравнение становится ${\displaystyle (1)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&Te_{n}=Te_{n-1}+T_{n-1}+n\end{aligned}}}$

Подставляя в уравнение ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (1)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&Te_{n-1}=Te_{n-2}+T_{n-1}\end{aligned}}}$

Таким образом, тетраэдрическое число-е удовлетворяет следующему рекурсивному уравнению ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&Te_{n}=2Te_{n-1}-Te_{n-2}+n\end{aligned}}}$

Обобщение

Закономерность, обнаруженная для треугольных чисел и тетраэдрических чисел, может быть обобщена. Это приводит к формуле: ^[1] ${\displaystyle \sum _{n_{1}=1}^{n_{2}}n_{1}={\binom {n_{2}+1}{2}}}$ ${\displaystyle \sum _{n_{2}=1}^{n_{3}}\sum _{n_{1}=1}^{n_{2}}n_{1}={\binom {n_{3}+2}{3}}}$

$${\displaystyle \sum _{n_{k-1}=1}^{n_{k}}\sum _{n_{k-2}=1}^{n_{k-1}}\ldots \sum _{n_{2}=1}^{n_{3}}\sum _{n_{1}=1}^{n_{2}}n_{1}={\binom {n_{k}+k-1}{k}}}$$

Геометрическая интерпретация

Тетраэдрические числа можно смоделировать путем складывания сфер. Например, пятое тетраэдрическое число ( Te ₅ = 35 ) можно смоделировать с помощью 35 бильярдных шаров и стандартной треугольной рамы бильярдного шара, которая удерживает на месте 15 шаров. Затем поверх них кладут еще 10 шаров, затем еще 6, затем еще три и один шар вверху завершает тетраэдр.

Когда в качестве единицы используются тетраэдры порядка n _, построенные из десяти сфер, можно показать, что замощение пространства такими единицами может обеспечить наиболее плотную упаковку сфер, пока n ≤ 4 . ^{[2] [ сомнительно ]}

Тетраэдрические корни и тесты на тетраэдрические числа

По аналогии с кубическим корнем x можно определить (действительный) тетраэдрический корень x как число n такое, что Te _n = x :

$${\displaystyle n={\sqrt[{3}]{3x+{\sqrt {9{x^{2}}-{\frac {1}{27}}}}}}+{\sqrt[{3}]{3x-{\sqrt {9{x^{2}}-{\frac {1}{27}}}}}}-1}$$

что следует из формулы Кардано . Аналогично, если действительный тетраэдральный корень n числа x является целым числом, x является n- м тетраэдрическим числом.

Характеристики

• Te _n + Te _{n −1} = 1 ² + 2 ² + 3 ² ... + n ² , квадратно-пирамидальные числа .

  Te _2n+1 = 1 ² + 3 ² ... + (2n+1) ² , сумма нечетных квадратов.

  Te _2n = 2 ² + 4 ² ... + (2n) ²   , сумма четных квадратов.

• А. Дж. Мейл доказал в 1878 году, что только три тетраэдрических числа также являются совершенными квадратами , а именно:

  Те ₁ = 1 ² = 1      

  Те ₂ = 2 ² = 4      

  Те ₄₈ = 140 ² = 19600 .

• Сэр Фредерик Поллок предположил, что каждое число представляет собой сумму не более 5 тетраэдрических чисел: см. Гипотезу Поллока о тетраэдрических числах .
• Единственное тетраэдрическое число, которое также является квадратно-пирамидальным числом, — это 1 (Бойкерс, 1988), а единственное тетраэдрическое число, которое также является идеальным кубом, — это 1.
• Бесконечная сумма обратных чисел тетраэдра равна3/2, который можно получить с помощью телескопического ряда :

  ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {6}{n(n+1)(n+2)}}={\frac {3}{2}}.}$

• Четность тетраэдрических чисел следует повторяющейся схеме нечет-чет-чет-чет .
• Наблюдение тетраэдрических чисел:

  Те ₅ = Те ₄ + Те ₃ + Те ₂ + Те ₁

• Числа, которые являются как треугольными, так и тетраэдрическими, должны удовлетворять уравнению биномиального коэффициента :

  ${\displaystyle T_{n}={\binom {n+1}{2}}={\binom {m+2}{3}}=Te_{m}.}$

Третье тетраэдрическое число равно четвертому треугольному числу, поскольку n -е k -симплексное число равно k -му n- симплексному числу из-за симметрии треугольника Паскаля , а его диагонали являются симплексными числами; аналогично пятое тетраэдрическое число (35) равно четвертому пентатопному числу и так далее.

Единственные числа, которые одновременно являются тетраэдрическими и треугольными числами (последовательность A027568 в OEIS ):

Те ₁ = Т ₁ = 1   

Те ₃ = Т ₄ = 10  

Тэ ₈ = Т ₁₅ =  120

Тэ ₂₀ = Т ₅₅ = 1540

Тэ ₃₄ = Т ₁₁₉ = 7140

• Te _n — это сумма всех произведений p × q , где ( p , q ) — упорядоченные пары и p + q = n + 1
• Te _n — количество ( n + 2)-битных чисел, которые содержат две серии единиц в двоичном представлении.

Популярная культура

Количество подарков каждого типа и количества, получаемых каждый день, и их связь с цифрами.

Te ₁₂ = 364 — это общее количество подарков, «посланных мне моей настоящей любовью» в течение всех 12 куплетов гимна « Двенадцать дней Рождества ». ^[3] Совокупное общее количество подарков после каждого стиха также равно Te _n для стиха n .

Количество возможных комбинаций трех домов KeyForge также представляет собой тетраэдрическое число Te _{n -2} , где n — количество домов.

Смотрите также

• Центрированное треугольное число

Рекомендации

1. Бауманн, Майкл Генрих (12 декабря 2018 г.). «К-мерная пирамида Шампанского» (PDF) . Mathematische Semesterberichte (на немецком языке). 66 : 89–100. doi : 10.1007/s00591-018-00236-x. ISSN  1432-1815. S2CID  125426184.
2. «Тетраэдры». 21 мая 2000 г. Архивировано из оригинала 21 мая 2000 г.
3. Брент (21 декабря 2006 г.). «Двенадцать дней Рождества и тетраэдрические числа». Mathlesstraveled.com . Проверено 28 февраля 2017 г.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Тетраэдрическое число». Математический мир .
• Геометрическое доказательство формулы тетраэдрального числа, Джим Делани, Демонстрационный проект Вольфрама .