классификация Петрова

Classification used in differential geometry and general relativity

В дифференциальной геометрии и теоретической физике классификация Петрова (также известная как классификация Петрова–Пирани–Пенроуза) описывает возможные алгебраические симметрии тензора Вейля для каждого события в лоренцевом многообразии .

Чаще всего она применяется при изучении точных решений уравнений поля Эйнштейна , но строго говоря, классификация является теоремой в чистой математике, применяемой к любому лоренцеву многообразию, независимо от какой-либо физической интерпретации. Классификация была найдена в 1954 году А. З. Петровым и независимо Феликсом Пирани в 1957 году.

Теорема классификации

Мы можем представить себе тензор четвертого ранга , такой как тензор Вейля , вычисленный при некотором событии , как действующий на пространстве бивекторов при этом событии подобно линейному оператору, действующему на векторном пространстве:

${\displaystyle X^{ab}\rightarrow {\frac {1}{2}}\,{C^{ab}}_{mn}X^{mn}}$

Тогда естественно рассмотреть задачу нахождения собственных значений и собственных векторов (которые теперь называются собственными бивекторами) таких, что ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle X^{ab}}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\,{C^{ab}}_{mn}\,X^{mn}=\lambda \,X^{ab}}$

В (четырехмерном) лоренцевом пространстве-времени существует шестимерное пространство антисимметричных бивекторов в каждом событии. Однако симметрии тензора Вейля подразумевают, что любые собственные бивекторы должны принадлежать четырехмерному подмножеству. Таким образом, тензор Вейля (в данном событии) может фактически иметь максимум четыре линейно независимых собственных бивектора.

Собственные бивекторы тензора Вейля могут встречаться с различной кратностью , и любая кратность среди собственных бивекторов указывает на своего рода алгебраическую симметрию тензора Вейля при данном событии. Различные типы тензора Вейля (при данном событии) могут быть определены путем решения характеристического уравнения , в данном случае уравнения четвертой степени . Все вышесказанное происходит аналогично теории собственных векторов обычного линейного оператора.

Эти собственные бивекторы связаны с определенными нулевыми векторами в исходном пространстве-времени, которые называются главными нулевыми направлениями (при данном событии). Соответствующая полилинейная алгебра несколько запутана (см. цитаты ниже), но полученная теорема классификации утверждает, что существует ровно шесть возможных типов алгебраической симметрии. Они известны как типы Петрова :

Диаграмма Пенроуза, показывающая возможные вырождения типа Петрова тензора Вейля

• Тип I : четыре простых главных нулевых направления,
• Тип II : одно двойное и два простых главных нулевых направления,
• Тип D : два двойных главных нулевых направления,
• Тип III : одно тройное и одно простое главное нулевое направление,
• Тип N : одно четверное главное нулевое направление,
• Тип O : тензор Вейля равен нулю.

Возможные переходы между типами Петрова показаны на рисунке, который также можно интерпретировать как утверждение, что некоторые из типов Петрова являются «более специальными», чем другие. Например, тип I , наиболее общий тип, может вырождаться в типы II или D , в то время как тип II может вырождаться в типы III , N или D.

Различные события в данном пространстве-времени могут иметь различные типы Петрова. Тензор Вейля, имеющий тип I (при некотором событии), называется алгебраически общим ; в противном случае он называется алгебраически специальным (при этом событии). В общей теории относительности пространства-времена типа O являются конформно плоскими .

Формализм Ньюмена–Пенроуза

На практике для классификации часто используется формализм Ньюмена –Пенроуза . Рассмотрим следующий набор бивекторов, построенных из тетрад нулевых векторов (обратите внимание, что в некоторых обозначениях символы l и n меняются местами):

${\displaystyle U_{ab}=-2l_{[a}{\bar {m}}_{b]}}$

${\displaystyle V_{ab}=2n_{[a}m_{b]}}$

${\displaystyle W_{ab}=2m_{[a}{\bar {m}}_{b]}-2n_{[a}l_{b]}.}$

Тензор Вейля можно выразить как комбинацию этих бивекторов через

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{abcd}&=\Psi _{0}U_{ab}U_{cd}\\&\,\,\,+\Psi _{1}(U_{ab}W_{cd}+W_{ab}U_{cd})\\&\,\,\,+\Psi _{2}(V_{ab}U_{cd}+U_{ab}V_{cd}+W_{ab}W_{cd})\\&\,\,\,+\Psi _{3}(V_{ab}W_{cd}+W_{ab}V_{cd})\\&\,\,\,+\Psi _{4}V_{ab}V_{cd}+c.c.\end{aligned}}}$

где — скаляры Вейля , а cc — комплексно-сопряженное число. Шесть различных типов Петрова различаются по тому, какой из скаляров Вейля обращается в нуль. Условия таковы: ${\displaystyle \{\Psi _{j}\}}$

• Тип I  : , ${\displaystyle \Psi _{0}=0}$
• Тип II  : , ${\displaystyle \Psi _{0}=\Psi _{1}=0}$
• Тип D  : , ${\displaystyle \Psi _{0}=\Psi _{1}=\Psi _{3}=\Psi _{4}=0}$
• Тип III  : ${\displaystyle \Psi _{0}=\Psi _{1}=\Psi _{2}=0}$
• Тип N  : , ${\displaystyle \Psi _{0}=\Psi _{1}=\Psi _{2}=\Psi _{3}=0}$
• Тип О  : . ${\displaystyle \Psi _{0}=\Psi _{1}=\Psi _{2}=\Psi _{3}=\Psi _{4}=0}$

критерии Бела

Если задана метрика на лоренцевом многообразии , то можно вычислить тензор Вейля для этой метрики. Если тензор Вейля является алгебраически специальным в некотором , то существует полезный набор условий, найденный Луисом (или Луи) Белом и Робертом Дебевером ^[1] для точного определения типа Петрова в . Обозначая компоненты тензора Вейля в через (предполагается, что они не равны нулю, т.е. не имеют типа O ), критерии Бела можно сформулировать следующим образом: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle C_{abcd}}$

• ${\displaystyle C_{abcd}}$имеет тип N тогда и только тогда, когда существует вектор, удовлетворяющий ${\displaystyle k(p)}$

${\displaystyle C_{abcd}\,k^{d}=0}$

где обязательно нулевой и уникальный (с точностью до масштабирования). ${\displaystyle k}$

• Если не является типом N , то является типом III тогда и только тогда, когда существует вектор, удовлетворяющий ${\displaystyle C_{abcd}}$ ${\displaystyle C_{abcd}}$ ${\displaystyle k(p)}$

${\displaystyle C_{abcd}\,k^{b}k^{d}=0={^{*}C}_{abcd}\,k^{b}k^{d}}$

где обязательно нулевой и уникальный (с точностью до масштабирования). ${\displaystyle k}$

• ${\displaystyle C_{abcd}}$имеет тип II тогда и только тогда, когда существует вектор, удовлетворяющий ${\displaystyle k}$

${\displaystyle C_{abcd}\,k^{b}k^{d}=\alpha k_{a}k_{c}}$и ( ) ${\displaystyle {}^{*}C_{abcd}\,k^{b}k^{d}=\beta k_{a}k_{c}}$ ${\displaystyle \alpha \beta \neq 0}$

где обязательно нулевой и уникальный (с точностью до масштабирования). ${\displaystyle k}$

• ${\displaystyle C_{abcd}}$имеет тип D тогда и только тогда, когда существуют два линейно независимых вектора , удовлетворяющие условиям ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k'}$

${\displaystyle C_{abcd}\,k^{b}k^{d}=\alpha k_{a}k_{c}}$, ( ) ${\displaystyle {}^{*}C_{abcd}\,k^{b}k^{d}=\beta k_{a}k_{c}}$ ${\displaystyle \alpha \beta \neq 0}$

и

${\displaystyle C_{abcd}\,k'^{b}k'^{d}=\gamma k'_{a}k'_{c}}$, ( ). ${\displaystyle {}^{*}C_{abcd}\,k'^{b}k'^{d}=\delta k'_{a}k'_{c}}$ ${\displaystyle \gamma \delta \neq 0}$

где — двойственный тензор Вейля при . ${\displaystyle {{}^{*}C}_{abcd}}$ ${\displaystyle p}$

Фактически, для каждого из вышеприведенных критериев существуют эквивалентные условия для тензора Вейля, чтобы иметь этот тип. Эти эквивалентные условия сформулированы в терминах дуальности и самодуальности тензора Вейля и некоторых бивекторов и собраны вместе в Hall (2004).

Критерии Бела находят применение в общей теории относительности, где определение типа Петрова алгебраически специальных тензоров Вейля осуществляется путем поиска нулевых векторов.

Физическая интерпретация

Согласно общей теории относительности , различные алгебраически специальные типы Петрова имеют некоторые интересные физические интерпретации, поэтому такую ​​классификацию иногда называют классификацией гравитационных полей .

Регионы типа D связаны с гравитационными полями изолированных массивных объектов, таких как звезды. Точнее, поля типа D возникают как внешнее поле гравитирующего объекта, которое полностью характеризуется его массой и угловым моментом. (Более общий объект может иметь ненулевые высшие мультипольные моменты .) Два двойных главных нулевых направления определяют «радиально» входящие и исходящие нулевые конгруэнтности вблизи объекта, который является источником поля.

Электрогравитационный тензор (или приливной тензор ) в области типа D очень близок к гравитационным полям, которые в ньютоновской гравитации описываются гравитационным потенциалом кулоновского типа . Такое приливное поле характеризуется растяжением в одном направлении и сжатием в ортогональных направлениях; собственные значения имеют шаблон (-2,1,1). Например, космический корабль, вращающийся вокруг Земли , испытывает крошечное растяжение вдоль радиуса от центра Земли и крошечное сжатие в ортогональных направлениях. Так же, как в ньютоновской гравитации, это приливное поле обычно затухает как , где - расстояние от объекта. ${\displaystyle O(r^{-3})}$ ${\displaystyle r}$

Если объект вращается вокруг некоторой оси , то в дополнение к приливным эффектам будут иметь место различные гравитомагнитные эффекты, такие как спин-спиновые силы на гироскопах, переносимых наблюдателем. В вакууме Керра , который является наиболее известным примером вакуумного решения типа D , эта часть поля затухает как . ${\displaystyle O(r^{-4})}$

Регионы типа III связаны с продольным гравитационным излучением. В таких регионах приливные силы оказывают сдвигающий эффект. Эта возможность часто игнорируется, отчасти потому, что гравитационное излучение, возникающее в теории слабого поля, относится к типу N , а отчасти потому, что излучение типа III распадается как , что происходит быстрее, чем излучение типа N. ${\displaystyle O(r^{-2})}$

Тип N областей связан с поперечным гравитационным излучением, которое является типом, обнаруженным астрономами с помощью LIGO . Квадратное главное нулевое направление соответствует волновому вектору, описывающему направление распространения этого излучения. Обычно оно затухает как , поэтому поле дальнего излучения относится к типу N. ${\displaystyle O(r^{-1})}$

Области типа II объединяют эффекты, отмеченные выше для типов D , III и N , довольно сложным нелинейным образом.

Регионы типа O , или конформно плоские регионы, связаны с местами, где тензор Вейля тождественно равен нулю. В этом случае говорят, что кривизна является чистой Риччи . В конформно плоском регионе любые гравитационные эффекты должны быть обусловлены непосредственным присутствием материи или полевой энергией некоторого негравитационного поля (например, электромагнитного поля ). В некотором смысле это означает, что никакие удаленные объекты не оказывают никакого дальнодействующего влияния на события в нашем регионе. Точнее, если в удаленных регионах есть какие-либо изменяющиеся во времени гравитационные поля, то новости еще не достигли нашего конформно плоского региона.

Гравитационное излучение, испускаемое изолированной системой, обычно не будет алгебраически специальным. Теорема о шелушении описывает способ, которым по мере удаления от источника излучения различные компоненты поля излучения «отслаиваются», пока, наконец, на больших расстояниях не будет заметно только излучение типа N. Это похоже на теорему об электромагнитном шелушении.

Примеры

В некоторых (более или менее) знакомых решениях тензор Вейля имеет один и тот же тип Петрова при каждом событии:

• Вакуум Керра везде типа D ,
• некоторые вакуумы Робинсона/Траутмана везде относятся к типу III ,
• pp -волновое пространство-время везде имеет тип N ,
• модели FLRW везде относятся к типу O.

В более общем смысле, любое сферически симметричное пространство-время должно иметь тип D (или O ). Все алгебраически специальные пространства-времена, имеющие различные типы тензора энергии-импульса , известны, например, все вакуумные решения типа D.

Некоторые классы решений могут быть инвариантно охарактеризованы с использованием алгебраических симметрий тензора Вейля: например, класс неконформно плоских нулевых электровакуумных или нулевых пылевых решений, допускающих расширяющуюся, но не скручивающую нулевую конгруэнтность, — это как раз класс пространств-времен Робинсона/Траутмана . Обычно это типы II , но есть примеры типов III и N.

Обобщение на более высокие измерения

A. Coley, R. Milson, V. Pravda и A. Pravdová (2004) разработали обобщение алгебраической классификации на произвольное измерение пространства-времени . Их подход использует подход с базисом нулевого кадра , то есть базис кадра, содержащий два нулевых вектора и , а также пространственноподобные векторы. Компоненты базиса кадра тензора Вейля классифицируются по их свойствам преобразования при локальных усилениях Лоренца . Если конкретные компоненты Вейля обращаются в нуль, то и/или называются выровненными по Вейлю нулевыми направлениями (WAND). В четырех измерениях является WAND тогда и только тогда, когда это главное нулевое направление в определенном выше смысле. Этот подход дает естественное многомерное расширение каждого из различных алгебраических типов II , D и т. д., определенных выше. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle d-2}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle l}$

Альтернативное, но неэквивалентное обобщение было ранее определено де Сметом (2002), основанное на спинорном подходе . Однако подход де Смета ограничен только 5 измерениями.

Смотрите также

• Математический портал
• Физический портал

• Классификация электромагнитных полей
• Точные решения в общей теории относительности
• классификация Сегре
• Теорема о пилинге
• тензор Плебанского
• Теорема Голдберга–Сакса

Ссылки

1. Ортаджио, Марчелло (2009). «Критерий Беля–Дебевера для классификации тензора Вейля в высших измерениях». Классическая и квантовая гравитация . arXiv : 0906.3818 . doi :10.1088/0264-9381/26/19/195015.

• Coley, A.; et al. (2004). «Классификация тензора Вейля в высших измерениях». Классическая и квантовая гравитация . 21 (7): L35–L42. arXiv : gr-qc/0401008 . Bibcode : 2004CQGra..21L..35C. doi : 10.1088/0264-9381/21/7/L01. S2CID  31859828.
• de Smet, P. (2002). «Черные дыры на цилиндрах не являются алгебраически специальными». Classical and Quantum Gravity . 19 (19): 4877–4896. arXiv : hep-th/0206106 . Bibcode : 2002CQGra..19.4877D. doi : 10.1088/0264-9381/19/19/307. S2CID  15772816.
• d'Inverno, Ray (1992). Введение в теорию относительности Эйнштейна . Оксфорд: Oxford University Press . ISBN 0-19-859686-3. См. разделы 21.7, 21.8.
• Холл, Грэм (2004). Симметрии и структура кривизны в общей теории относительности (Всемирные научные заметки по физике) . Сингапур: World Scientific Pub. Co. ISBN 981-02-1051-5. Подробное обсуждение классификации Петрова см . в разделах 7.3, 7.4.
• MacCallum, MAH (2000). «Примечание редактора: Классификация пространств, определяющих гравитационные поля». Общая теория относительности и гравитация . 32 (8): 1661–1663. Bibcode : 2000GReGr..32.1661P. doi : 10.1023/A:1001958823984. S2CID  116370483.
• Пенроуз, Роджер (1960). «Спинорный подход к общей теории относительности». Annals of Physics . 10 (2): 171–201. Bibcode : 1960AnPhy..10..171P. doi : 10.1016/0003-4916(60)90021-X.
• Петров, А.З. (1954). «Классификация пространств определяющих поля тяготения». Уч. Записки Казани. Гос. унив . 114 (8): 55–69. Перевод на английский язык Петров, А.З. (2000). «Классификация пространств, определяемых гравитационными полями». Общая теория относительности и гравитация . 32 (8): 1665–1685. Bibcode : 2000GReGr..32.1665P. doi : 10.1023/A:1001910908054. S2CID  73540912.
• Петров, AZ (1969). Пространства Эйнштейна . Оксфорд: Пергам. ISBN 0080123155., перевод Р. Ф. Келлехера и Дж. Вудроу.
• Стефани, Х.; Крамер, Д.; МакКаллум, М.; Хоэнселерс К. и Херлт Э. (2003). Точные решения уравнений поля Эйнштейна (2-е изд.) . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-46136-7. См. главы 4, 26.