В математике , особенно в теории множеств , говорят, что два упорядоченных множества X и Y имеют одинаковый тип порядка , если они порядково изоморфны , то есть если существует биекция (каждый элемент спаривается ровно с одним элементом в другом множестве) такая, что и f , и его обратное являются монотонными (сохраняющими порядок элементов).
В частном случае, когда X полностью упорядочен , монотонность f уже подразумевает монотонность ее обратной функции.
Один и тот же набор может быть оснащен различными порядками. Поскольку порядок-эквивалентность является отношением эквивалентности , оно разбивает класс всех упорядоченных наборов на классы эквивалентности .
Если множество имеет тип порядка, обозначенный , то тип порядка обратного порядка, двойственный к , обозначается .
Тип порядка хорошо упорядоченного множества X иногда выражается как ord( X ) . [1]
Тип порядка целых и рациональных чисел обычно обозначается и , соответственно. Множество целых чисел и множество четных целых чисел имеют один и тот же тип порядка, потому что отображение является биекцией, которая сохраняет порядок. Но множество целых чисел и множество рациональных чисел (со стандартным порядком) не имеют один и тот же тип порядка, потому что даже несмотря на то, что множества имеют одинаковый размер (они оба счетно бесконечны ), между ними нет сохраняющего порядок биективного отображения. Открытый интервал (0, 1) рациональных чисел порядково изоморфен рациональным числам, поскольку, например, является строго возрастающей биекцией от первого ко второму. Соответствующие теоремы такого рода подробно рассматриваются ниже.
Теперь можно привести больше примеров: множество положительных целых чисел (имеющее наименьший элемент) и множество отрицательных целых чисел (имеющее наибольший элемент). Натуральные числа имеют тип порядка, обозначаемый ω, как поясняется ниже.
Рациональные числа, содержащиеся в полузамкнутых интервалах [0,1) и (0,1], а также замкнутый интервал [0,1], являются тремя дополнительными примерами типа порядка.
Каждое хорошо упорядоченное множество по определению эквивалентно порядку ровно одному порядковому числу . Порядковые числа считаются каноническими представителями своих классов, и поэтому тип порядка хорошо упорядоченного множества обычно отождествляется с соответствующим порядковым числом. Таким образом, типы порядка часто принимают форму арифметических выражений порядковых чисел.
Во-первых, тип порядка множества натуральных чисел — ω . Любая другая модель арифметики Пеано , то есть любая нестандартная модель , начинается с сегмента, изоморфного ω, но затем добавляет дополнительные числа. Например, любая счетная такая модель имеет тип порядка ω + (ω* + ω) ⋅ η .
Во-вторых, рассмотрим множество V четных ординалов, меньших ω ⋅ 2 + 7 :
Поскольку это включает в себя две отдельные последовательности подсчета, за которыми следуют четыре элемента в конце, тип заказа следующий:
Что касается их стандартного порядка как чисел, то набор рациональных чисел не является вполне упорядоченным. То же самое касается и полного набора действительных чисел.
Любое счетное полностью упорядоченное множество может быть отображено инъективно в рациональные числа с сохранением порядка. Когда порядок, кроме того, плотный и не имеет ни самого высокого, ни самого низкого элемента, то существует даже биективное такое отображение.
