тождество Эйлера

Математическое уравнение, связывающее e, i и pi

В математике тождество Эйлера ^{[примечание 1]} (также известное как уравнение Эйлера ) — это равенство , где $${\displaystyle e^{i\pi }+1=0}$$

${\displaystyle e}$— число Эйлера , основание натуральных логарифмов ,

${\displaystyle i}$— мнимая единица , которая по определению удовлетворяет , и ${\displaystyle i^{2}=-1}$

${\displaystyle \pi }$это число Пи , отношение длины окружности к ее диаметру .

Тождество Эйлера названо в честь швейцарского математика Леонарда Эйлера . Это особый случай формулы Эйлера при оценке для . Тождество Эйлера считается образцом математической красоты , поскольку оно показывает глубокую связь между самыми фундаментальными числами в математике. Кроме того, оно напрямую используется в доказательстве ^{[3] [4]} , что π является трансцендентным , что подразумевает невозможность квадратуры круга . ${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}$ ${\displaystyle x=\pi }$

Математическая красота

Тождество Эйлера часто приводится в качестве примера глубокой математической красоты . ^[5] Три из основных арифметических операций происходят ровно один раз: сложение , умножение и возведение в степень . Тождество также связывает пять фундаментальных математических констант : ^[6]

• Число , аддитивное тождество
• Число 1 , мультипликативное тождество
• Число π ( π = 3,1415...), фундаментальная круговая константа
• Число e ( e = 2,718...), также известное как число Эйлера, широко встречается в математическом анализе.
• Число i , мнимая единица, такая , что ${\displaystyle i^{2}=-1}$

Уравнение часто задается в виде выражения, приравненного к нулю, что является обычной практикой в ​​некоторых областях математики.

Профессор математики Стэнфордского университета Кит Девлин сказал: «Как шекспировский сонет , который передает самую суть любви, или картина, которая выявляет красоту человеческого тела, которая гораздо глубже, чем просто поверхность, уравнение Эйлера проникает в самые глубины бытия». ^[7] А Пол Нахин , почетный профессор Университета Нью-Гемпшира , написавший книгу, посвященную формуле Эйлера и ее применению в анализе Фурье , описывает личность Эйлера как «изысканную красоту». ^[8]

Математический писатель Констанс Рид высказала мнение, что тождество Эйлера является «самой известной формулой во всей математике». ^[9] А Бенджамин Пирс , американский философ 19-го века , математик и профессор Гарвардского университета , после доказательства тождества Эйлера во время лекции заявил, что тождество «абсолютно парадоксально; мы не можем его понять, и мы не знаем, что оно означает, но мы доказали его, и поэтому мы знаем, что оно должно быть истиной». ^[10]

Опрос читателей, проведенный The Mathematical Intelligencer в 1990 году, назвал тождество Эйлера «самой красивой теоремой в математике». ^[11] В другом опросе читателей, проведенном Physics World в 2004 году, тождество Эйлера было связано с уравнениями Максвелла ( электромагнетизма ) как «величайшее уравнение из когда-либо существовавших». ^[12]

О личности Эйлера было опубликовано по крайней мере три книги по популярной математике :

• Потрясающая формула доктора Эйлера: излечивает множество математических недугов , Пол Нахин (2011) ^[13]
• Самое элегантное уравнение: формула Эйлера и красота математики , Дэвид Стипп (2017) ^[14]
• Новаторское уравнение Эйлера: самая красивая теорема в математике , Робин Уилсон (2018). ^[15]

Пояснения

Мнимые показатели степени

В этой анимации N принимает различные возрастающие значения от 1 до 100. Вычисление (1 + ⁠яπ/Н⁠ ) ^​​N отображается как объединенный эффект N повторных умножений в комплексной плоскости , причем конечная точка является фактическим значением (1 + ⁠яπ/Н⁠ ) ^​​N. Видно, что по мереувеличения N (1 + ⁠яπ/Н⁠ ) ^​​N приближается к пределу −1.

Тождество Эйлера утверждает, что равно −1. Выражение является частным случаем выражения , где z — любое комплексное число . В общем случае определяется для комплексного z путем расширения одного из определений показательной функции от действительных показателей до комплексных показателей. Например, одно общее определение: ${\displaystyle e^{i\pi }}$ ${\displaystyle e^{i\pi }}$ ${\displaystyle e^{z}}$ ${\displaystyle e^{z}}$

${\displaystyle e^{z}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}.}$

Таким образом, тождество Эйлера утверждает, что предел, когда n стремится к бесконечности, равен −1. Этот предел проиллюстрирован на анимации справа. ${\displaystyle (1+i\pi /n)^{n}}$

Формула Эйлера для общего угла

Тождество Эйлера является частным случаем формулы Эйлера , которая утверждает, что для любого действительного числа x ,

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}$

где входные данные тригонометрических функций синуса и косинуса даны в радианах .

В частности, когда x = π ,

${\displaystyle e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi .}$

С

${\displaystyle \cos \pi =-1}$

и

${\displaystyle \sin \pi =0,}$

следует, что

${\displaystyle e^{i\pi }=-1+0i,}$

что дает тождество Эйлера:

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0.}$

Геометрическая интерпретация

Любое комплексное число можно представить точкой на комплексной плоскости . Эту точку можно также представить в полярных координатах как , где r — абсолютное значение z (расстояние от начала координат), а — аргумент z (угол против часовой стрелки от положительной оси x ). По определениям синуса и косинуса эта точка имеет декартовы координаты , что подразумевает, что . Согласно формуле Эйлера, это эквивалентно утверждению . ${\displaystyle z=x+iy}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (r,\theta )}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle (r\cos \theta ,r\sin \theta )}$ ${\displaystyle z=r(\cos \theta +i\sin \theta )}$ ${\displaystyle z=re^{i\theta }}$

Тождество Эйлера гласит, что . Поскольку для r = 1 и , это можно интерпретировать как факт о числе −1 на комплексной плоскости: его расстояние от начала координат равно 1, а его угол с положительной осью x равен радианам. ${\displaystyle -1=e^{i\pi }}$ ${\displaystyle e^{i\pi }}$ ${\displaystyle re^{i\theta }}$ ${\displaystyle \theta =\pi }$ ${\displaystyle \pi }$

Кроме того, когда любое комплексное число z умножается на , оно имеет эффект поворота z против часовой стрелки на угол на комплексной плоскости. Поскольку умножение на −1 отражает точку относительно начала координат, тождество Эйлера можно интерпретировать как утверждение, что поворот любой точки на радианы вокруг начала координат имеет тот же эффект, что и отражение точки относительно начала координат. Аналогично, приравнивание к дает связанное уравнение , которое можно интерпретировать как утверждение, что поворот любой точки на один оборот вокруг начала координат возвращает ее в исходное положение. ${\displaystyle e^{i\theta }}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle e^{2\pi i}=1,}$

Обобщения

Тождество Эйлера также является частным случаем более общего тождества, согласно которому корни n-й степени из единицы при n > 1 в сумме дают 0:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}e^{2\pi i{\frac {k}{n}}}=0.}$

Тождество Эйлера имеет место при n = 2 .

Аналогичное тождество применимо и к кватернионному экспоненциалу : пусть { i , j , k } будут базисными кватернионами ; тогда,

${\displaystyle e^{{\frac {1}{\sqrt {3}}}(i\pm j\pm k)\pi }+1=0.}$

В более общем случае пусть q будет кватернионом с нулевой действительной частью и нормой, равной 1 ; то есть, с Тогда имеем ${\displaystyle q=ai+bj+ck,}$ ${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=1.}$

${\displaystyle e^{q\pi }+1=0.}$

Та же формула применима к октонионам с нулевой действительной частью и нормой, равной 1. Эти формулы являются прямым обобщением тождества Эйлера, поскольку и являются единственными комплексными числами с нулевой действительной частью и нормой (абсолютной величиной), равной 1 . ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle -i}$

История

Хотя тождество Эйлера является прямым результатом формулы Эйлера , опубликованной в его монументальном труде по математическому анализу в 1748 году, Introductio in analysin infinitorum , ^[16] сомнительно, что конкретная концепция связывания пяти фундаментальных констант в компактной форме может быть приписана самому Эйлеру, поскольку он, возможно, никогда ее не выражал. ^[17]

Робин Уилсон утверждает следующее. ^[18]

Мы видели, как его [тождество Эйлера] можно легко вывести из результатов Иоганна Бернулли и Роджера Коутса , но никто из них, похоже, этого не сделал. Даже Эйлер, похоже, не записал его явно – и, конечно, оно не появляется ни в одной из его публикаций – хотя он, несомненно, должен был понимать, что оно немедленно следует из его тождества [т. е. формулы Эйлера ], e ^ix = cos x + i sin x . Более того, кажется, неизвестно, кто первым сформулировал этот результат явно...

Смотрите также

• Математический портал

• Формула Муавра
• Экспоненциальная функция
• постоянная Гельфонда

Примечания

1. Термин «тождество Эйлера» (или «тождество Эйлера») также используется в других местах для обозначения других понятий, включая связанную общую формулу e ^ix = cos x + i sin x , ^[1] и формулу произведения Эйлера . ^[2] См. также Список вещей, названных в честь Леонарда Эйлера .

Ссылки

1. Данэм, 1999, стр. xxiv.
2. Степанов, С.А. (2001) [1994], "Тождество Эйлера", Энциклопедия математики , EMS Press
3. Милла, Лоренц (2020), Трансцендентность числа π и квадратура круга , arXiv : 2003.14035
4. Хайнс, Роберт. "e is transcendental" (PDF) . Университет Колорадо . Архивировано (PDF) из оригинала 2021-06-23.
5. Галлахер, Джеймс (13 февраля 2014 г.). «Математика: почему мозг видит математику как красоту». BBC News Online . Получено 26 декабря 2017 г.
6. Паулос, 1992, стр. 117.
7. Нахин, 2006, стр. 1.
8. Нахин, 2006, стр. xxxii.
9. Рид, глава e .
10. Маор, стр. 160, и Каснер и Ньюман, стр. 103–104.
11. Уэллс, 1990.
12. Криз, 2004.
13. Нахин, Пол (2011). Великолепная формула доктора Эйлера: излечивает многие математические недуги . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-11822-2.
14. Стипп, Дэвид (2017). Самое элегантное уравнение: формула Эйлера и красота математики (первое издание). Basic Books. ISBN 978-0-465-09377-9.
15. Уилсон, Робин (2018). Пионерское уравнение Эйлера: самая красивая теорема в математике . Оксфорд: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-879493-6.
16. Конвей и Гай, стр. 254–255.
17. Сэндифер, стр. 4.
18. Уилсон, стр. 151-152.

Источники

• Конвей, Джон Х. и Гай, Ричард К. (1996), Книга чисел , Springer ISBN 978-0-387-97993-9 
• Криз, Роберт П. (10 мая 2004 г.), «Величайшие уравнения всех времен», Physics World [требуется регистрация]
• Данэм, Уильям (1999), Эйлер: Учитель всех нас , Математическая ассоциация Америки ISBN 978-0-88385-328-3 
• Эйлер, Леонард (1922), Леонарди Эйлери опера омния. 1, Математическая опера. Том VIII, Леонарди Эйлери «Введение в анализ бесконечности». Tomus primus , Лейпциг: Б.Г. Тойбнери
• Каснер, Э. и Ньюман, Дж. (1940), Математика и воображение , Саймон и Шустер
• Маор, Эли (1998), e : История одного числа , Princeton University Press ISBN 0-691-05854-7 
• Нахин, Пол Дж. (2006), Потрясающая формула доктора Эйлера: излечивает многие математические недуги , Princeton University Press ISBN 978-0-691-11822-2 
• Паулос, Джон Аллен (1992), Beyond Numeracy: An Uncommon Mathematics Dictionary , Penguin Books ISBN 0-14-014574-5 
• Рид, Констанция (различные издания), От нуля до бесконечности , Математическая ассоциация Америки
• Сэндифер, К. Эдвард (2007), «Величайшие хиты Эйлера» , Математическая ассоциация Америки , ISBN 978-0-88385-563-8 
• Стипп, Дэвид (2017), Самое элегантное уравнение: формула Эйлера и красота математики , Basic Books
• Уэллс, Дэвид (1990). «Это самые красивые?». The Mathematical Intelligencer . 12 (3): 37–41. doi :10.1007/BF03024015. S2CID  121503263.
• Уилсон, Робин (2018), Новаторское уравнение Эйлера: самая красивая теорема в математике , Oxford University Press , ISBN 978-0-192-51406-6
• Zeki, S.; Romaya, JP; Benincasa, DMT; Atiyah, MF (2014), «Ощущение математической красоты и ее нейронные корреляты», Frontiers in Human Neuroscience , 8 : 68, doi : 10.3389/fnhum.2014.00068 , PMC  3923150 , PMID  24592230

Внешние ссылки

• Интуитивное понимание формулы Эйлера