Функция идентификации

В математике — функция, которая всегда возвращает то же значение, которое было использовано в качестве ее аргумента.

График тождественной функции на действительных числах

В математике тождественная функция , также называемая тождественным отношением , тождественной картой или тождественным преобразованием , — это функция , которая всегда возвращает неизменным значение, которое использовалось в качестве ее аргумента . То есть, когда f является тождественной функцией, равенство f ( x ) = x верно для всех значений x , к которым может быть применено f .

Определение

Формально, если X — множество , тождественная функция f на X определяется как функция с X в качестве области определения и кодомена , удовлетворяющая условиям

f ( x ) = x   для всех элементов x в X . ^[1]

Другими словами, значение функции f ( x ) в кодомене X всегда совпадает со входным элементом x в домене X . Функция идентичности на X , очевидно, является инъективной функцией , а также сюръективной функцией , поэтому она биективна . ^[2]

Тождественная функция f на X часто обозначается id _X .

В теории множеств , где функция определяется как особый вид бинарного отношения , тождественная функция задается тождественным отношением или диагональю X. ^[3]

Алгебраические свойства

Если f  : X → Y — любая функция, то имеем f ∘ id _X = f = id _Y ∘ f (где «∘» обозначает композицию функции ). В частности, id _X является единичным элементом моноида всех функций от X до X ( при композиции функций).

Поскольку единичный элемент моноида уникален , ^[4] можно альтернативно определить тождественную функцию на M как этот единичный элемент. Такое определение обобщает концепцию тождественного морфизма в теории категорий , где эндоморфизмы M не обязательно должны быть функциями .

Характеристики

• Функция тождества является линейным оператором при применении к векторным пространствам . ^[5]
• В n - мерном векторном пространстве тождественная функция представлена ​​единичной матрицей I _n независимо от выбранного для этого пространства базиса . ^[6]
• Функция тождества натуральных чисел — это полностью мультипликативная функция (по сути, умножение на 1), рассматриваемая в теории чисел . ^[7]
• В метрическом пространстве тождественная функция тривиально является изометрией . Объект без какой-либо симметрии имеет в качестве группы симметрии тривиальную группу , содержащую только эту изометрию (тип симметрии C ₁ ). ^[8]
• В топологическом пространстве тождественная функция всегда непрерывна . ^[9]
• Тождественная функция идемпотентна . ^[10]

Смотрите также

• Единичная матрица
• Карта включения
• Функция индикатора

Рекомендации

1. Кнапп, Энтони В. (2006), Основная алгебра , Springer, ISBN 978-0-8176-3248-9
2. Мапа, Садхан Кумар (7 апреля 2014 г.). Абстрактная и линейная высшая алгебра (11-е изд.). Книжный дом Сарат. п. 36. ISBN 978-93-80663-24-1.
3. Труды симпозиумов по чистой математике. Американское математическое общество. 1974. с. 92. ИСБН 978-0-8218-1425-3. ...тогда диагональный набор, определяемый M, является тождественным отношением...
4. Росалес, JC; Гарсиа-Санчес, Пенсильвания (1999). Конечно порожденные коммутативные моноиды. Издательство Нова. п. 1. ISBN 978-1-56072-670-8. Элемент 0 обычно называют идентификационным элементом, и если он существует, он уникален.
5. Антон, Ховард (2005), Элементарная линейная алгебра (версия для приложений) (9-е изд.), Wiley International
6. ТС Шорс (2007). Прикладная линейная алгебра и матричный анализ. Тексты для бакалавриата по математике. Спрингер. ISBN 978-038-733-195-9.
7. Д. Маршалл; Э. Оделл; М. Старберд (2007). Теория чисел посредством исследования . Учебники Математической ассоциации Америки. Математический Ассн. амер. ISBN 978-0883857519.
8. Джеймс В. Андерсон , Гиперболическая геометрия , Springer 2005, ISBN 1-85233-934-9 
9. Коновер, Роберт А. (21 мая 2014 г.). Первый курс топологии: введение в математическое мышление. Курьерская корпорация. п. 65. ИСБН 978-0-486-78001-6.
10. Конференции, Инженерное лето Мичиганского университета (1968). Основы инженерии информационных систем. мы видим, что единичный элемент полугруппы идемпотентен.