В математике , в частности в теории групп , компонент тождества группы G (также известный как ее компонент единства ) относится к нескольким тесно связанным понятиям наибольшей связной подгруппы группы G, содержащей элемент тождества.
В топологии точечных множеств компонент тождества топологической группы G — это связный компонент G 0 группы G , содержащий элемент тождества группы. Компонент пути тождества топологической группы G — это компонент пути группы G , содержащий элемент тождества группы.
В алгебраической геометрии компонент тождества алгебраической группы G над полем k является компонентом тождества базового топологического пространства. Компонент тождества групповой схемы G над базовой схемой S является, грубо говоря, групповой схемой G 0 , чей слой над точкой s из S является связным компонентом (G s ) 0 слоя G s , алгебраической группы. [1]
Компонента тождества G 0 топологической или алгебраической группы G является замкнутой нормальной подгруппой группы G . Она замкнута, поскольку компоненты всегда замкнуты. Она является подгруппой, поскольку умножение и инверсия в топологической или алгебраической группе являются непрерывными отображениями по определению. Более того, для любого непрерывного автоморфизма a группы G мы имеем
Таким образом , G 0 является характеристической подгруппой G , поэтому она нормальна.
Компонент тождества G 0 топологической группы G не обязательно должен быть открытым в G . Фактически, мы можем иметь G 0 = { e }, в этом случае G полностью несвязно . Однако компонент тождества локально линейно связного пространства (например, группы Ли ) всегда открыт, поскольку он содержит линейно связную окрестность { e }; и, следовательно, является открыто- замкнутым множеством .
Компонент пути тождественности топологической группы в общем случае может быть меньше компонента тождественности (поскольку связность путей является более сильным условием, чем связность), но они совпадают, если G локально связна путями.
Фактор -группа G / G0 называется группой компонент или компонентной группой группы G. Ее элементами являются просто связные компоненты группы G. Компонентная группа G / G0 является дискретной группой тогда и только тогда, когда G0 открыта. Если G — алгебраическая группа конечного типа , например, аффинная алгебраическая группа , то G / G0 на самом деле является конечной группой .
Аналогично можно определить группу компонентов пути как группу компонентов пути (частное G по компоненту пути тождества), и в общем случае группа компонентов является фактором группы компонентов пути, но если G локально связна, эти группы согласуются. Группа компонентов пути также может быть охарактеризована как нулевая гомотопическая группа ,
Алгебраическая группа G над топологическим полем K допускает две естественные топологии: топологию Зарисского и топологию, унаследованную от K . Компонента тождества группы G часто меняется в зависимости от топологии. Например, общая линейная группа GL n ( R ) связна как алгебраическая группа, но имеет две компоненты пути как группа Ли: матрицы положительного определителя и матрицы отрицательного определителя. Любая связная алгебраическая группа над неархимедовым локальным полем K полностью несвязна в K -топологии и, таким образом, имеет тривиальную компоненту тождества в этой топологии.
