Функция идентичности

В математике функция, которая всегда возвращает то же значение, которое использовалось в качестве ее аргумента.

График функции тождества для действительных чисел

В математике функция тождества , также называемая отношением тождества , отображением тождества или преобразованием тождества , — это функция , которая всегда возвращает значение, которое использовалось в качестве ее аргумента , неизменным. То есть, когда f — функция тождества, равенство f ( x ) = x верно для всех значений x, к которым f может быть применена.

Определение

Формально, если X — множество , то функция тождества f на X определяется как функция с X в качестве области определения и области значений , удовлетворяющая условию

f ( x ) = x   для всех элементов x в X . ^[1]

Другими словами, значение функции f ( x ) в области значений X всегда совпадает с входным элементом x в области значений X. Функция тождества на X, очевидно, является как инъективной, так и сюръективной функцией (ее область значений также является ее областью значений ), поэтому она биективна . ^[2]

Функция тождества f на X часто обозначается как id _X.

В теории множеств , где функция определяется как особый вид бинарного отношения , функция тождества задается отношением тождества или диагональю X. ^[3 ]

Алгебраические свойства

Если f  : X → Y — любая функция, то f ∘ id _X = f = id _Y ∘ f , где «∘» обозначает композицию функций . ^[4] В частности, id _X — это единичный элемент моноида всех функций из X в X (при композиции функций).

Поскольку элемент тождества моноида уникален , ^[5] можно альтернативно определить функцию тождества на M как этот элемент тождества . Такое определение обобщается до концепции морфизма тождества в теории категорий , где эндоморфизмы M не обязательно должны быть функциями.

Характеристики

• Функция тождества является линейным оператором при применении к векторным пространствам . ^[6]
• В n - мерном векторном пространстве функция тождества представлена ​​единичной матрицей I _n , независимо от выбранного базиса пространства. ^[7]
• Функция тождества для положительных целых чисел является полностью мультипликативной функцией (по сути, умножением на 1), рассматриваемой в теории чисел . ^[8]
• В метрическом пространстве функция тождества тривиально является изометрией . Объект без какой-либо симметрии имеет в качестве своей группы симметрии тривиальную группу, содержащую только эту изометрию (тип симметрии C ₁ ). ^[9]
• В топологическом пространстве функция тождества всегда непрерывна . ^[10]
• Функция тождества является идемпотентной . ^[11]

Смотрите также

• Матрица идентичности
• Карта включения
• Функция индикатора

Ссылки

1. Кнапп, Энтони В. (2006), Основы алгебры , Springer, ISBN 978-0-8176-3248-9
2. Мапа, Садхан Кумар (7 апреля 2014 г.). Высшая алгебра, абстрактная и линейная (11-е изд.). Sarat Book House. стр. 36. ISBN 978-93-80663-24-1.
3. Труды симпозиумов по чистой математике. Американское математическое общество. 1974. стр. 92. ISBN 978-0-8218-1425-3. ...тогда диагональное множество, определяемое M, является отношением тождества...
4. Нел, Луис (2016). Теория непрерывности. стр. 21. doi :10.1007/978-3-319-31159-3. ISBN 978-3-319-31159-3.
5. Росалес, JC; Гарсиа-Санчес, Пенсильвания (1999). Конечно порожденные коммутативные моноиды. Издательство Нова. п. 1. ISBN 978-1-56072-670-8Элемент 0 обычно называют элементом идентичности, и если он существует, то он уникален .
6. Антон, Говард (2005), Элементарная линейная алгебра (версия приложений) (9-е изд.), Wiley International
7. TS Shores (2007). Прикладная линейная алгебра и матричный анализ. Бакалаврские тексты по математике. Springer. ISBN 978-038-733-195-9.
8. D. Marshall; E. Odell; M. Starbird (2007). Теория чисел через исследование . Учебники математической ассоциации Америки. Математическая ассоциация Америки. ISBN 978-0883857519.
9. Джеймс У. Андерсон , Гиперболическая геометрия , Springer 2005, ISBN 1-85233-934-9 
10. Коновер, Роберт А. (2014-05-21). Первый курс топологии: Введение в математическое мышление. Courier Corporation. стр. 65. ISBN 978-0-486-78001-6.
11. Конференции, Мичиганский университет Инженерное лето (1968). Основы инженерии информационных систем. мы видим, что элемент тождества полугруппы является идемпотентным.