тождество Лагранжа

О произведениях сумм квадратов

В алгебре тождество Лагранжа , названное в честь Жозефа Луи Лагранжа , выглядит следующим образом: ^{[1] [2]} которое применяется к любым двум множествам { a ₁ , a ₂ , ..., an _} и { b ₁ , b ₂ , ..., b _n } действительных или комплексных чисел (или, в более общем смысле, к элементам коммутативного кольца ). Это тождество является обобщением тождества Брахмагупты–Фибоначчи и специальной формой тождества Бине–Коши . $${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}\right)\left(\sum _{k=1}^{n}b_{k}^{2}\right)-\left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\right)^{2}&=\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}\left(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\right)^{2}\\&\left(={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1,j\neq i}^{n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})^{2}\right),\end{aligned}}}$$

В более компактной векторной записи тождество Лагранжа выражается как: ^[3] где a и b являются n -мерными векторами с компонентами, которые являются действительными числами. Расширение на комплексные числа требует интерпретации скалярного произведения как внутреннего произведения или эрмитова скалярного произведения. Явно, для комплексных чисел тождество Лагранжа можно записать в виде: ^[4] с использованием абсолютного значения . ^{[5] [6]} $${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}=\sum _{1\leq i<j\leq n}\left(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\right)^{2}\,,}$$ $${\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{n}|a_{k}|^{2}\right)\left(\sum _{k=1}^{n}|b_{k}|^{2}\right)-\left|\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\right|^{2}=\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}\left|a_{i}{\overline {b}}_{j}-a_{j}{\overline {b}}_{i}\right|^{2}}$$

Поскольку правая часть тождества явно неотрицательна, из нее следует неравенство Коши в конечномерном действительном координатном пространстве R ⁿ и его комплексный аналог C ⁿ .

Геометрически тождество утверждает, что квадрат объема параллелепипеда, натянутого на набор векторов, является определителем Грама векторов.

Тождество Лагранжа и внешняя алгебра

В терминах произведения клиньев тождество Лагранжа можно записать $${\displaystyle (a\cdot a)(b\cdot b)-(a\cdot b)^{2}=(a\wedge b)\cdot (a\wedge b).}$$

Следовательно, это можно рассматривать как формулу, которая дает длину клиновидного произведения двух векторов, которая является площадью параллелограмма, который они определяют, в терминах скалярных произведений двух векторов, как $${\displaystyle \|a\wedge b\|={\sqrt {(a\cdot a)(b\cdot b)-(a\cdot b)^{2}}}={\sqrt {\|a\|^{2}\|b\|^{2}-(a\cdot b)^{2}}}.}$$

Тождество Лагранжа и векторное исчисление

В трех измерениях тождество Лагранжа утверждает, что если a и b являются векторами в R ³ с длинами | a | и | b |, то тождество Лагранжа можно записать в терминах векторного произведения и скалярного произведения : ^{[7] [8]} $${\displaystyle |\mathbf {a} |^{2}|\mathbf {b} |^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}=|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |^{2}}$$

Используя определение угла, основанное на скалярном произведении (см. также неравенство Коши–Шварца ), левая часть равна , где θ — угол, образованный векторами a и b . Площадь параллелограмма со сторонами | a | и | b | и углом θ , как известно из элементарной геометрии, равна , поэтому левая часть тождества Лагранжа — это квадрат площади параллелограмма. Векторного произведения, появляющегося в правой части, определяется как , который является вектором, компоненты которого равны по величине площадям проекций параллелограмма на плоскости yz , zx и xy соответственно. $${\displaystyle \left|\mathbf {a} \right|^{2}\left|\mathbf {b} \right|^{2}\left(1-\cos ^{2}\theta \right)=\left|\mathbf {a} \right|^{2}\left|\mathbf {b} \right|^{2}\sin ^{2}\theta }$$ $${\displaystyle \left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {b} \right|\left|\sin \theta \right|,}$$ $${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\left(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\right)\mathbf {i} +\left(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\right)\mathbf {j} +\left(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\right)\mathbf {k} }$$

Семь измерений

Для a и b как векторов в R ⁷ тождество Лагранжа принимает тот же вид, что и в случае R ^{3 [9]} $${\displaystyle |\mathbf {a} |^{2}|\mathbf {b} |^{2}-|\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} |^{2}=|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |^{2}\ ,}$$

Однако, перекрестное произведение в 7 измерениях не разделяет все свойства перекрестного произведения в 3 измерениях. Например, направление a × b в 7 измерениях может быть таким же, как c × d, даже если c и d линейно независимы от a и b . Также семимерное перекрестное произведение несовместимо с тождеством Якоби . ^[9]

Кватернионы

Кватернион p определяется как сумма скаляра t и вектора v : $${\displaystyle p=t+\mathbf {v} =t+x\ \mathbf {i} +y\ \mathbf {j} +z\ \mathbf {k} .}$$

Произведение двух кватернионов p = t + v и q = s + w определяется как $${\displaystyle pq=(st-\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} )+s\ \mathbf {v} +t\ \mathbf {w} +\mathbf {v} \times \mathbf {w} .}$$

Кватернионное сопряжение q определяется как , а квадрат нормы равен $${\displaystyle {\overline {q}}=t-\mathbf {v} ,}$$ $${\displaystyle |q|^{2}=q{\overline {q}}=t^{2}\ +\ x^{2}+\ y^{2}\ +\ z^{2}.}$$

Мультипликативность нормы в кватернионной алгебре обеспечивает для кватернионов p и q : ^[10] $${\displaystyle \left|pq\right|=\left|p\right|\left|q\right|.}$$

Кватернионы p и q называются мнимыми, если их скалярная часть равна нулю; эквивалентно, если $${\displaystyle p=\mathbf {v} ,\quad q=\mathbf {w} .}$$

Тождество Лагранжа есть просто мультипликативность нормы мнимых кватернионов, поскольку, по определению, $${\displaystyle |\mathbf {v} \mathbf {w} |^{2}=|\mathbf {v} |^{2}|\mathbf {w} |^{2},}$$ $${\displaystyle |\mathbf {v} \mathbf {w} |^{2}=(\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} )^{2}+|\mathbf {v} \times \mathbf {w} |^{2}.}$$

Доказательство алгебраической формы

Векторная форма следует из тождества Бине-Коши, устанавливая c _i  =  a _i и d _i  =  b _i . Вторая версия следует, позволяя c _i и d _i обозначать комплексно сопряженные числа a i _и b i _, соответственно,

Вот также прямое доказательство. ^[11] Разложение первого члена в левой части:

Это означает, что произведение столбца a s и строки b s дает (сумму элементов) квадрата a b s , который можно разбить на диагональ и пару треугольников по обе стороны от диагонали.

Второй член в левой части тождества Лагранжа можно разложить следующим образом:

Это означает, что симметричный квадрат можно разбить на его диагональ и пару равных треугольников по обе стороны от диагонали.

Чтобы разложить сумму в правой части тождества Лагранжа, сначала разложим квадрат внутри суммы: $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})^{2}=\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}\left(a_{i}^{2}b_{j}^{2}+a_{j}^{2}b_{i}^{2}-2a_{i}b_{j}a_{j}b_{i}\right).}$$

Распределим сумму по правой стороне, $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})^{2}=\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}a_{i}^{2}b_{j}^{2}+\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}a_{j}^{2}b_{i}^{2}-2\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}a_{i}b_{j}a_{j}b_{i}.}$$

Теперь поменяем местами индексы i и j второго члена справа и переставим множители b третьего члена, получив:

Вернемся к левой части тождества Лагранжа: оно имеет два члена, заданных в развернутом виде уравнениями ( 1 ) и ( 2 ). Первый член в правой части уравнения ( 2 ) в конечном итоге отменяет первый член в правой части уравнения ( 1 ), что дает

что то же самое, что и уравнение ( 3 ), поэтому тождество Лагранжа действительно является тождеством, QED

Доказательство тождества Лагранжа для комплексных чисел

Нормированные алгебры с делением требуют, чтобы норма произведения была равна произведению норм. Тождество Лагранжа демонстрирует это равенство. Тождество произведения, используемое здесь в качестве отправной точки, является следствием равенства нормы произведения с произведением нормы для алгебр скатора. Это предложение, первоначально представленное в контексте деформированной метрики Лоренца, основано на преобразовании, вытекающем из операции произведения и определения величины в гиперболической алгебре скатора. ^[12] Тождество Лагранжа можно доказать различными способами. ^[4]

Пусть — комплексные числа, а черта сверху обозначает комплексно-сопряженные числа. ${\displaystyle a_{i},b_{i}\in \mathbb {C} }$

Тождество произведения сводится к комплексному тождеству Лагранжа, если рассмотреть члены четвертого порядка в разложении в ряд. $${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}\left(1-a_{i}{\bar {a}}_{i}-b_{i}{\bar {b}}_{i}+a_{i}{\bar {a}}_{i}b_{i}{\bar {b}}_{i}\right)=\prod _{i=1}^{n}\left(1-a_{i}{\bar {a}}_{i}\right)\prod _{i=1}^{n}\left(1-b_{i}{\bar {b}}_{i}\right)}$$

Чтобы доказать это, разложим произведение в левой части тождества произведения по рядам до четвертого порядка. Для этого напомним, что произведения вида можно разложить по суммам как , где означает члены с порядком три или выше в . ${\displaystyle \left(1+x_{i}\right)}$ $${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}\left(1+x_{i}\right)=1+\sum _{i=1}^{n}x_{i}+\sum _{i<j}^{n}x_{i}x_{j}+{\mathcal {O}}^{3+}(x),}$$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}^{3+}(x)}$ ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}\left(1-a_{i}{\bar {a}}_{i}-b_{i}{\bar {b}}_{i}+a_{i}{\bar {a}}_{i}b_{i}{\bar {b}}_{i}\right)=1-\sum _{i=1}^{n}\left(a_{i}{\bar {a}}_{i}+b_{i}{\bar {b}}_{i}\right)+\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\bar {a}}_{i}b_{i}{\bar {b}}_{i}+\sum _{i<j}^{n}\left(a_{i}{\bar {a}}_{i}a_{j}{\bar {a}}_{j}+b_{i}{\bar {b}}_{i}b_{j}{\bar {b}}_{j}\right)+\sum _{i<j}^{n}\left(a_{i}{\bar {a}}_{i}b_{j}{\bar {b}}_{j}+a_{j}{\bar {a}}_{j}b_{i}{\bar {b}}_{i}\right)+{\mathcal {O}}^{5+}.}$$

Два фактора в правой части также записаны в виде ряда $${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}\left(1-a_{i}{\bar {a}}_{i}\right)\prod _{i=1}^{n}\left(1-b_{i}{\bar {b}}_{i}\right)=\left(1-\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\bar {a}}_{i}+\sum _{i<j}^{n}a_{i}{\bar {a}}_{i}a_{j}{\bar {a}}_{j}+{\mathcal {O}}^{5+}\right)\left(1-\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\bar {b}}_{i}+\sum _{i<j}^{n}b_{i}{\bar {b}}_{i}b_{j}{\bar {b}}_{j}+{\mathcal {O}}^{5+}\right).}$$

Произведение этого выражения до четвертого порядка равно Подстановка этих двух результатов в тождество произведения дает $${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}\left(1-a_{i}{\bar {a}}_{i}\right)\prod _{i=1}^{n}\left(1-b_{i}{\bar {b}}_{i}\right)=1-\sum _{i=1}^{n}\left(a_{i}{\bar {a}}_{i}+b_{i}{\bar {b}}_{i}\right)+\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\bar {a}}_{i}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\bar {b}}_{i}\right)+\sum _{i<j}^{n}\left(a_{i}{\bar {a}}_{i}a_{j}{\bar {a}}_{j}+b_{i}{\bar {b}}_{i}b_{j}{\bar {b}}_{j}\right)+{\mathcal {O}}^{5+}.}$$ $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}{\bar {a}}_{i}b_{i}{\bar {b}}_{i}+\sum _{i<j}^{n}\left(a_{i}{\bar {a}}_{i}b_{j}{\bar {b}}_{j}+a_{j}{\bar {a}}_{j}b_{i}{\bar {b}}_{i}\right)=\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\bar {a}}_{i}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\bar {b}}_{i}\right).}$$

Произведение двух сопряженных рядов можно выразить как ряд, включающий произведение сопряженных членов. Таким образом, произведение сопряженного ряда равно $${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}{\bar {x}}_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\bar {x}}_{i}+\sum _{i<j}^{n}\left(x_{i}{\bar {x}}_{j}+{\bar {x}}_{i}x_{j}\right),}$$ $${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}{\overline {a_{i}b_{i}}}\right)-\sum _{i<j}^{n}\left(a_{i}b_{i}{\bar {a}}_{j}{\bar {b}}_{j}+{\bar {a}}_{i}{\bar {b}}_{i}a_{j}b_{j}\right)+\sum _{i<j}^{n}\left(a_{i}{\bar {a}}_{i}b_{j}{\bar {b}}_{j}+a_{j}{\bar {a}}_{j}b_{i}{\bar {b}}_{i}\right)=\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\bar {a}}_{i}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\bar {b}}_{i}\right).}$$

Члены последних двух рядов в левой части сгруппированы следующим образом : $${\displaystyle a_{i}{\bar {a}}_{i}b_{j}{\bar {b}}_{j}+a_{j}{\bar {a}}_{j}b_{i}{\bar {b}}_{i}-a_{i}b_{i}{\bar {a}}_{j}{\bar {b}}_{j}-{\bar {a}}_{i}{\bar {b}}_{i}a_{j}b_{j}=\left(a_{i}{\bar {b}}_{j}-a_{j}{\bar {b}}_{i}\right)\left({\bar {a}}_{i}b_{j}-{\bar {a}}_{j}b_{i}\right),}$$ $${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}{\overline {a_{i}b_{i}}}\right)+\sum _{i<j}^{n}\left(a_{i}{\bar {b}}_{j}-a_{j}{\bar {b}}_{i}\right)\left({\overline {a_{i}{\bar {b}}_{j}-a_{j}{\bar {b}}_{i}}}\right)=\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\bar {a}}_{i}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\bar {b}}_{i}\right).}$$

С точки зрения модулей, $${\displaystyle \left|\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right|^{2}+\sum _{i<j}^{n}\left|a_{i}{\bar {b}}_{j}-a_{j}{\bar {b}}_{i}\right|^{2}=\left(\sum _{i=1}^{n}\left|a_{i}\right|^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}\left|b_{i}\right|^{2}\right).}$$

Тождество Лагранжа для комплексных чисел было получено из простого тождества произведения. Вывод для действительных чисел, очевидно, еще более лаконичен. Поскольку неравенство Коши–Шварца является частным случаем тождества Лагранжа, ^[4] это доказательство является еще одним способом получения неравенства CS. Члены более высокого порядка в ряду производят новые тождества.

Смотрите также

• Тождество Брахмагупты–Фибоначчи
• Тождество Лагранжа (краевая задача)
• Тождество Бине–Коши

Ссылки

1. Эрик В. Вайсштейн (2003). CRC concise encyclopedia of mathematics (2nd ed.). CRC Press. ISBN 1-58488-347-2.
2. Роберт Э. Грин ; Стивен Г. Кранц (2006). "Упражнение 16". Теория функций одной комплексной переменной (3-е изд.). Американское математическое общество. стр. 22. ISBN 0-8218-3962-4.
3. Владимир А. Бойченко; Геннадий Алексеевич Леонов; Фолькер Райтманн (2005). Теория размерности обыкновенных дифференциальных уравнений. Vieweg+Teubner Verlag. п. 26. ISBN 3-519-00437-2.
4. J. Michael Steele (2004). "Упражнение 4.4: тождество Лагранжа для комплексных чисел". Мастер-класс Коши-Шварца: введение в искусство математических неравенств . Cambridge University Press. стр. 68–69. ISBN 0-521-54677-X.
5. Грин, Роберт Э.; Кранц, Стивен Г. (2002). Теория функций одной комплексной переменной . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . стр. 22, упражнение 16. ISBN 978-0-8218-2905-9.
6. Палка, Брюс П. (1991). Введение в теорию комплексных функций . Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . стр. 27, упражнение 4.22. ISBN 978-0-387-97427-9..
7. Howard Anton; Chris Rorres (2010). "Связи между скалярными и векторными произведениями". Elementary Linear Algebra: Applications Version (10th ed.). John Wiley and Sons. стр. 162. ISBN 978-0-470-43205-1.
8. Pertti Lounesto (2001). Алгебры Клиффорда и спиноры (2-е изд.). Cambridge University Press. стр. 94. ISBN 0-521-00551-5.
9. Door Pertti Lounesto (2001). Алгебры Клиффорда и спиноры (2-е изд.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-00551-5.См. в частности § 7.4 Перекрестные произведения в R7, стр. 96.
10. Джек Б. Кёйперс (2002). "§5.6 Норма". Кватернионы и последовательности вращения: учебник с приложениями к орбитам . Princeton University Press. стр. 111. ISBN 0-691-10298-8.
11. См., например, Фрэнк Джонс, Университет Райса, стр. 4 в главе 7 книги, которая еще не опубликована.
12. М. Фернандес-Гуасти, Альтернативная реализация для композиции релятивистских скоростей , Оптика и фотоника 2011, т. 8121 из Природа света: Что такое фотоны? IV, стр. 812108–1–11. SPIE, 2011.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Личность Лагранжа». Математический мир .